101分类计数原理与分步计数原理.doc

10.1分类计数原理与分步计数原理分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，在第n类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.例1.书架的第一层放有4本不同的计算机书，第二层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？例2.一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字号码？例3.要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？总结分类计数原理与分步计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题.区别在于：分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事.精选练习：1. 从数集到数集的不同的映射个数是多少？2. 4名运动员争夺三项冠军（无并列），不同的结果有多少种？34名运动员参加三项比赛，每人限报一项，不同的报名方式有多少种？4.1200的自然数中，有多少个各位数上都不含数字5的个数？5.的展开式中所有不同项的项数是多少个？10.2排列引入问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？（元素）问题2：从这4个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同排法？一般地，从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.（两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同）从n个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.对问题1，是求从3个不同元素中取出2个不同的元素的排列数，它记为，对问题2，是求从4个不同元素中取出3个不同的元素的排列数，它记为，问：从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少？呢？呢？（按依次填空位的方法来考虑）（）此公式称为排列数公式.（计算）n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列.这时排列数就记做,其中.正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示.所以一般地，即有排列数公式当时，为使上面公式在时继续适用，我们规定例1. 简单排列问题某年全国足球甲级(A组)联赛共有14对参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？ 例2.(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2) 有5种不同的书，要送3本给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？例3.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？例4.用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？精选练习：1. 某元素必(不)居某位7人排成一排，根据下列条件，分别求各有多少种不同的排法？(1) 甲只能排中间(2)甲、乙两人必须排两头(3)甲不在两头2. 某些元素(不)相邻四男三女排成一排，接下列要求各有多少种不同排法？ (1) 男女生各排在一起(2)女生一定不相邻(插空法)(3)甲、乙两人相邻，其它条件不限3. 数字排列问题用0到6七个数字组成没有重复数字的五位数，按下述要求，分别求出其个 数：(1)大于25000；(2)能被5整除；(3)偶数4两类元素互不相邻三男三女相间排列，求排列种数？5某些元素次序一定规定次序一定，求有多少种不同排法？6卡片问题现有0，3，4，5，6，7六张卡片，由这六张卡片可以组成多少个不同的3位数？（允许卡片6可当9用）（首位数非零）10.3组合引入问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的方法？一般地，从n个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.(组合与元素的顺序无关)从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.对于“从4个不同元素中取出3个元素的排列数”，可以这样理解：先考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有个；再对每一个组合中的3个不同元素作全排列，各有个.根据分步记数原理，得，因此，.一般地，得组合数公式：（其中）(计算：，；证明：；写出从5个元素中任取2个元素的所有组合)组合数性质一：，规定；性质二：例1.平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？有向线段呢？例2.一个口袋内装有大小相同的7个白球和一个黑球，从口袋内取出3个球，共有多少种取法？若须含一个黑球呢？若不含有黑球呢？某元素必在组合中例3.在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从中任意抽取3件，问：共有多少种不同的抽法？若恰有一件次品呢？若要求至少有一件次品呢？至少有某些元素练1.已知求n；已知求x；已知成等差数列，求.练2. 解不等式. 练3. ；计算.练4. 计算；(答案用组合数表示)练5. 分堆问题六本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法？(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本(2)分成三堆，每堆两本(3)分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本(4) 分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少得一本.练6.七个不同颜色的小球(1)放入两颜色不同的布袋(2) 放入两颜色相同的布袋，各有多少种不同的放法？练7.平面上有8个点，其中有4个点在一个圆上，其余任意四点不共圆，那么这8个点最多可确定的圆的个数是 （用数字作答）练8.5男4女共9人，他(她)们的身高各不相同，现排成一排，要求男、女生各从高到矮排列（左高右低或左低右高均可）.则共有 种不同的排法？练9.某幢楼从二楼到三楼的楼梯台阶共有10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则上楼梯的方法有 种.练10.9人组成篮球对，其中7人善打锋，3人善打卫，现选出5人(三锋两卫，且锋分左、中、右，卫分左、右)组对出场，有多少种不同的组队方法？10.4二项式定理二项式定理：(猜想加数学归纳法证明)其中右边的多项式叫做的二项展开式；叫做二项展开式的通项，为第项，记作，即；叫第项的二项式系数；展开式共有项；前面的字母次数由高到低逐渐降低，次数由低到高逐渐升高.特别地，令，则有：例1 展开.例2 展开.例3 求的展开式中的倒数第四项.例4 （1）求的展开式的第4项的系数；（2）求的展开式中的系数.补充习题：求特殊项等（1）求展开式中含的系数.2）求展开式中含的系数.（3）求展开式中的常数项.（4）若展开式中第三项含有，求n.（5）求展开式中的有理项.二项式系数的性质：（1） 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等；（2） 增减性与最大值：二项式系数是先增后减，在中间位置取到最大值.当n是偶数时，中间的一项取到最大值；当n是奇数时，中间的两项相等且同时取最大值.（3） 各二项式系数的和：（4） 在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.补充习题：1.求和：；小结：组合数系数成等比，则必为某一个二项式的展开式.问：组合数系数成等差呢？2. 求和：3.求的展开式中的二项式系数之和，奇数项(偶数项)二项式系数之和，系数之和.4.求展开后的系数和；求的展开系数和.5.求展开式的系数和，奇数项系数之和，偶数项系数之和.6.设， 求 .复习课课堂练习：1. 已知展开式中，第5，6，7三项系数成等差数列，求展开式中系数最大项.2.的展开式有 个有理项.3.求的展开式中的系数最大项.4. 计算（精确到）5.证明能被64整除.解排列问题的常用技巧解排列问题，首先必须认真审题，明确问题是否是排列问题，其次是抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行解答，同时，还要注意讲究基本策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解.（一）特殊元素的“优先安排法”对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其他元素.例1.用0,1,2,3,4这五个数字，组成没有重复数字的二位数，其中偶数共有 个.（二）总体淘汰法对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时应注意既不能多减也不能少减.例2.七人排成一列，规定甲不能站排头，问有多少种排法？（三）合理分类与准确分步解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏.例3.五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，则不同的站法有 种.（四）相邻问题：捆绑法对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个“大”的元素与其他元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列.例4.7人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人相邻，分别有多少种不同的排法？（五）不相邻问题：插空法对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可.例5.7人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人不相邻，分别有多少种不同的排法？（六）顺序固定问题用“除法”对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.例6.(1)五人排队甲在乙前面的排法有几种？(2)六人排队，甲乙丙顺序固定(可以不相邻)，问不同排法有几种？（七）分排问题用“直排法”把n个元素排成若干排的问题，若没有其他的特殊要求，可采取统一排成一排的方法来处理.例7.7人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则有 种排法？（八）实验题中附加条件增多，直接解决困难时，用试验逐步寻找规律有时也是行之有效的方法.例8.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有 种.（九）探索对情况复杂，不易发现其规律的问题需要仔细分析，探索出其中规律，再予以解决.例9.从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则不同的取法种数有 .（十）消序例10.有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列(可以不相邻)，有多少种排法？（十一）住店法解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复.另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解的方法称为“住店法”.例11.七名学生争夺五项冠军，获得冠军的可能的种数有 .（十二）对应例12.在100名选手之间进行单循环淘汰赛(即一场比赛失败要退出比赛)，最后产生一名冠军，问要举行几场？(一场比赛对应淘汰一名)（十三）特征分析研究有约束条件的排数问题，须紧扣题目所提供的数字特征、结构特征，进行推理、分析求解.例13.由1,2,3,4,5,6六个数可组成多少个无重复且是6的倍数的五位数.例14.按下列要求，求排法总数：1)6人排成一排，甲乙丙三人都不在两端；2)五男两女站成一排，要求女生不能站在两端，且又要相邻；3)5人排成一行，要求甲乙两人之间至少有一人；4)6人排成一排，要求甲乙两人之间必有2人；5)一排6张椅子上坐3人，每两人之间有一张空椅子；6)8张椅子排成一排，有4人就坐，每人一个座位，其中恰有3个连续空位；7)8名学生站成前后两排，每排4人，其中要求甲乙两人在后排，丙在前排；8)8人站成一列纵队，要求甲乙丙三人不在排头且互相隔开；9)8位同学，其中有3位是三好学生，他们和班主任合影，要求班主任坐中间，而且左右两边都要有三好学生；10)六人并排拍照，要求甲不坐最左边，乙不坐最右边.练习题：1(1).求满足方程且的解的个数.(2).某校高二年级有六个班，现需从中选出10名学生参加运动队，规定每班至少要入选1人，问有多少种不同的分配方案？（名额分配问题）(3)推广：求满足方程且且的解的个数. B 2 (1).从一楼到二楼的楼梯17级，上楼时可一步一级，也可一步两级，若要求11步走完这楼梯，则有多少种不同的走法？ (2).如图从方格中的顶点A到顶点B的最短路线有多少条？ A 3.一座桥上有编号为1,2,3,10的十盏灯,为节约用电又不影响照明,可以把其中的三盏关掉,但不能关掉相邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的路灯.问不同关灯方法有多少种？4.从1,2,3,14中,按数从小到大的顺序取出,使同时满足,则符合要求的不同取法有多少种？5.求四个杯子，四个杯盖均不对号入座的方法种数.6.有五件不同奖品发给4位先进工作者,每人至少一件,有多少种不同的发放方法？7.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法种数共有几种？8.从5个学生中选三人参加代表会，其中甲、乙两人至少一人在内，共有多少不同选法？9.将5列车停在5条不同的轨道上，其中列车不停在第一道上，列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有几种？10.平面上有11个相异的点，过其中任意两点相异的直线有48条.(1)这11点中，含3个或3个以上的点的直线有几条？(2)这11点构成几个三角形？11一直线和圆相离，这条直线上有6个点，圆周上有4个点，通过任意两点作直线，最少可作直线的条数是 （ ）A37 B19 C13 D712某团进行换届