第5章 力系的简化.doc

第5章 力系的简化思考题解答思考题5-1图 (b)ABDCaOM思考题5-1图 (a)ABDCaO5-1 将图(a)所示平面结构中作用于B处的力平移到D处，并按力的平移定理加上相应的附加力偶M = Fa，如图(b)所示，试问它们对结构的作用效应是否相同？为什么？5-1 解答它们对结构的作用效应是不同的。因为杆OA与杆AB不是同一刚体，而是组成了刚体系统，在简化前力作用于杆AB上，而简化后力作用于杆OA上，虽然按力的平移定理施加了相应的附加力偶，但也是不等效简化。5-2 如图所示，半径为r的两个均质圆盘均处于平衡状态，试问：(1) 图(a)中能否说力偶M与力作用效果相反？图(b)中能否说力与力作用效果相反？为什么？思考题5-2图 (b)Or思考题5-2图 (a)OMr5-2 解答：(1) 对于图(a)，不能说“力偶M与力作用效果相反”，因为力偶和一个力都是力系的最简形式，因而力偶和一个力不能相互平衡，因此不能说力偶和一个力的作用效果相同或相反。(2) 对于图(b)，不能说“力和力作用效果相反”，均质圆盘处于平衡状态，所以，即两个力的大小相等、方向相同，但两个力的作用点不同，因此不能说“力和力作用效果相反”。应该说“力对点O的矩和力对点O的矩的大小相等、转向相反”。5-3 试问力系的主矢和对某点的主矩与力系的合力和合力偶的概念有什么区别？有什么联系？5-3 解答：待解答5-4 某空间力系对不共线的三点的主矩均为零，能否说该力系一定是平衡力系？为什么？5-4 解答：某空间力系对不共线的三点的主矩均为零，不能判断该力系一定平衡。因为空间平衡力系有六个独立的平衡方程，对不共线的三点的主矩为零只满足了三个独立的平衡方程，因此不能就此判断该空间力系是平衡力系。5-5 图示力系，已知F1 = F2 = F3 = F，沿边长为a的正方体的棱边作用，方向如图所示，试问该力系向点O简化的结果是什么？思考题5-5图ABCOxyzD5-5 解答：力系的主矢为力系对点O的主矩为力系的第二不变量为则力系向点O简化的结果为右手力螺旋。力螺旋参数（力系的第三不变量）为 右手力螺旋中力的大小和方向与相同，力的作用线过坐标原点O；右手力螺旋中心轴方程为 5-6 设Oxyz为一个直角坐标系，若某空间力系满足条件，则该力系简化的最简形式可能是什么？5-6 解答：力系的主矢为 力系对点O的主矩为 力系的第二不变量为 可见该力系简化的最简形式是合力。5-7 设Oxyz为一个直角坐标系，某空间平行力系各力平行于z轴，已知，则该力系简化的最简形式可能是什么？5-7 解答：力系的主矢为 力系对点O的主矩为 可见该力系简化的最简形式是合力偶，其合力偶矩矢量与y轴平行。5-8 图示作用于正方体上各空间力系均由两个大小相等的力组成，试问图(a)图(j)所示力系简化的最终结果是什么？你发现什么规律？思考题5-8图 (d)思考题5-8图 (c)思考题5-8图 (e)思考题5-8图 (b)思考题5-8图 (h)思考题5-8图 (j)思考题5-8图 (a)思考题5-8图 (g)思考题5-8图 (f)思考题5-8图 (i)5-8 解答：思考题5-8图 (a)令：，正立方体的边长为a。(a)力系的主矢为 ，力系对任意点的主矩为 ，可见，该力系为平衡力系（二力平衡）。(b)建立图示直角坐标系Oxyz，思考题5-8图 (b)xyzOB力系的主矢为，力系对点O的主矩为，力系的第二不变量为，可见，该力系简化的最简形式为合力。下面求该力系的合力作用线方程：假设该力系的合力作用线经过点B，则，点B的坐标为，合力作用线方程为 (c)思考题5-8图 (c)xyzO建立图示直角坐标系Oxyz，力系的主矢为，力系对点O的主矩为，力系的第二不变量为，可见，该力系简化的最简形式为合力。下面求该力系的合力作用线方程：假设该力系的合力作用线经过点B，则，点B的坐标为，合力作用线方程为 思考题5-8图 (c)xyzO另一种简便的方法：建立图示直角坐标系Oxyz，力系的主矢为，力系对点O的主矩为 ，可见，该力系简化的最简形式为合力。合力作用线方程为 思考题5-8图 (d)xyzO(d)建立图示直角坐标系Oxyz，力系的主矢为 力系对点O的主矩为 ，可见，该力系简化的最简形式为合力。合力作用线方程为 O思考题5-8图 (e)xyz(e)建立图示直角坐标系Oxyz，力系的主矢为 ，力系对点O的主矩为 ，可见，该力系简化的最简形式为合力。合力作用线方程为 (f)思考题5-8图 (f)xyzABCDM因为，且，反向，所以力系的主矢为 ，建立图示直角坐标系Axyz，力系对任意点的主矩为可见，该力系简化的最简形式为合力偶，该合力偶作用于对角面ABCD上，其合力偶矢量为，如图所示。(g)思考题5-8图 (g)xyzABCDM因为，且，反向，所以力系的主矢为 ，建立图示直角坐标系Axyz，力系对任意点的主矩为可见，该力系简化的最简形式为合力偶，该合力偶作用于对角面ABCD上，其合力偶矢量为，如图所示。(h)思考题5-8图 (h)xyzOBA建立图示直角坐标Oxyz，力系的主矢为 ，力系对点O的主矩为，力系的第二不变量为 ，可见，该力系简化的最简形式为右手力螺旋。下面求该力系的力螺旋的中心轴方程：力系的力螺旋参数（第三不变量）为 ，假设该力系的合力作用线经过点B，则，点B的坐标为，该力系的力螺旋的中心轴方程为 (i)思考题5-8图 (i)xyzOAB建立图示直角坐标系Oxyz，力系的主矢为 ，力系对点O的主矩为 ，力系的第二不变量为 ，可见，该力系简化的最简形式为右手力螺旋。下面求该力系的力螺旋的中心轴方程：力系的力螺旋参数（第三不变量）为，假设该力系的合力作用线经过点B，则，点B的坐标为，该力系的力螺旋的中心轴方程为 思考题5-8图 (j)xzyOBA(j)建立图示直角坐标Oxyz，力系的主矢为 ，力系对点O的主矩为 ，力系的第二不变量为 ，可见，该力系简化的最简形式为左手力螺旋。下面求该力系的力螺旋的中心轴方程：力系的力螺旋参数（第三不变量）为，假设该力系的合力作用线经过点B，则，点B的坐标为，该力系的力螺旋的中心轴方程为 思考题5-9图 (b)5-9 图示边长为a的各正方体上作用有四个大小相等的力，试分别判断其简化的最简形式是什么？思考题5-9图 (a)思考题5-9图 (c)思考题5-9图 (f)思考题5-9图 (e)思考题5-9图 (d)5-9 解答：(a)思考题5-9图 (a)xzyO建立图示直角坐标系Oxyz，力系的主矢为力系对点O的主矩为 可见，力系简化的最简形式为合力。(b)思考题5-9图 (b)xyzO力和力形成力偶 ，力和力形成力偶 ，则力系的合力偶为可见，力系简化的最简形式为合力偶。(c)思考题5-9图 (c)xzyO建立图示直角坐标系Oxyz，力系的主矢为力系对点O的主矩为力系的第二不变量为 可见，力系简化的最简形式为合力。(d)建立图示直角坐标系Oxyz，思考题5-9图 (d)xzyO力系的主矢为力系对点O的主矩为 力系的第二不变量为 可见，力系简化的最简形式为右手力螺旋。思考题5-9图 (e)xzyO(e)建立图示直角坐标Oxyz，力系的主矢为力系对点O的主矩为思考题5-9图 (f)xyzO力系的第二不变量为 可见，力系简化的最简形式为合力。(f)建立图示直角坐标系Oxyz，力系的主矢为 力系对点O的主矩为可见，该力系为平衡力系。思考题5-10图ABCOD5-10 图示铰盘有三个等长的柄，长度都为l，其间夹角均为120，每个柄端各作用一垂直于柄的力、，它们的大小均为F，试问：(1) 向中心点O简化的结果是什么？(2) 向BC连线的中点D简化的结果是什么？这两个结果说明什么问题？5-10 解答：力系的主矢为，力系无论向哪一点简化，其最简形式为合力偶，合力偶的大小为 ，其转向为逆时针。思考题5-11图 (a)ABCD60xyM5-11 图示边长为a的菱形木板的四个边上分别作用大小都为F的四个力，若分别选A、B为简化中心，试求该力系简化的最简结果分别是什么？这两个结果说明什么问题？思考题5-11图 (b)ABCD60xy思考题5-11图ABCD605-11 解答：(1) 力系向点A简化：建立直角坐标系Axy，如图(a)所示。力系的主矢为 ，力系对点A的主矩为 （顺时针），则力系简化的最简结果：过简化中心点A的合力，其矢量为主矢；合力偶（顺时针），如图(a)所示。(2) 力系向点B简化：建立直角坐标系Bxy，如图(b)所示。力系的主矢为 ，力系对点B的主矩为 ，则力系简化的最简结果：过简化中心点B的合力，其矢量为主矢,如图(b)所示。(3) 结论：对于不同的简化中心力系简化结果是不同的。对于第一种简化情况的力系第二不变量为零，所以力系还可以进一步简化为第二种情况（相当于“力的平移定理”的逆定理），才是力系简化的最简形式。5-12 图示平面力系中、的作用线相互平行，但不与的作用线平行，试判断该力系简化的最简形式是什么？思考题5-12图5-12 解答：该力系简化的最简形式是合力。因为 (1) 、为平面力系；(2) 、是平行平面力系，必存在一个合力；(3) 和构成平面汇交力系，也存在一个合力。5-13 图示圆板上受到四个力的作用，作用点分别为A、B、C、D，且乘积F1AB = F2BC = F3CD = F4DA，试问该力系的合力作用线位置在何处？思考题5-13图OABCD思考题5-13图ABCD5-13 解答：5-14 图示三个大小相同的三角板上各作用一个力系，试问有没有力系相互等效？思考题5-14图 (a)5N5N60Nm6m3m思考题5-14图 (b)5N5N30Nm思考题5-14图 (c)5N10N5Nm2m5N思考题5-14图 (a)5N5N60Nm6m3mxyO5-14 解答：情况(a)：主矢 对点O的主矩第二不变量为 力系简化的最简形式为合力。假设该力系的合力作用线经过点B，则，点B的坐标为，该力系的力螺旋的中心轴方程为 思考题5-14图 (b)5N5N30NmxyO情况(b)：主矢 对点O的主矩第二不变量为 力系简化的最简形式为合力。假设该力系的合力作用线经过点B，则，点B的坐标为，该力系的力螺旋的中心轴方程为 情况(c)：思考题5-14图 (c)5N10N5Nm2m5NxyO主矢 对点O的主矩第二不变量为 力系简化的最简形式为合力。结论：由此可见，情况(b)与情况(c)相互等效。5-15 图示力和力偶可用一等效力来代替，为使此等效力的作用线通过点G，试问角度应如何选取？思考题5-15图100NA100N400NBCDGr5-15 解答：根据题意可知道 5-16 图示阴影平板是由半径为r的等厚均质圆盘去掉一个三角形而得到，为使重心仍在圆心处，可在圆盘上再去掉一个小圆，试问小圆的圆心在何处？小圆的半径应为多少？思考题5-16图xyr3r/43r/43r/45-16 解答：由对称性知道，为使重心仍在圆心处，圆盘上再去掉一个小圆，小圆的圆心一定在x轴上，令小圆的圆心距原点的距离为x，小圆的半径为，如图所示。思考题5-16图xyr3r/43r/43r/4x 讨论：两种极端情况(1) 小圆最靠近坐标原点：当时， (2) 小圆最靠近大圆的右边缘：满足 5-17 图示两杆AB、BC在B处光滑铰接，置于光滑水平地面上，在A、C两端各作用一个力、，试问：(1) 能否在杆AB、BC上各加一力使之平衡？(2) 能否在杆AB、BC上各加一力偶使之平衡？(3) 能否在杆AB上加一力，在杆BC上加一力偶使之平衡？思考题5-17图ABC思考题5-17图 (a)ABC5-17 解答：(1) 在杆AB、BC上各加一力使之平衡，这是可能的，如图(a)所示。杆AB和杆BC都为三力平衡杆件，对于杆AB，铰链B处的约束力的作用线经过力和的交点；对于杆BC，铰链B处的约束力的作用线经过力和的交点。(2) 在杆AB、BC上各加一力偶使之平衡，这是不可能的，如图(b)所示。思考题5-17图 (c)ABC就整体而言，主动力和、主动力偶和相平衡，这样主动力和必形成力偶才能维持这样的平衡，但是主动力和并不平行不可能形成力偶。思考题5-17图 (b)ABC(3) 在杆AB上加一力，在杆BC上加一力偶使之平衡，这是可能的，如图(c)所示。杆AB为三力平衡杆件，主动力、铰链B处的约束力和主动力汇交于一点并平衡；杆BC为力偶平衡，铰链B处的约束力和主动力形成力偶，与主动力偶相平衡。5-18 图示边长为a的立方体作用有图示力系，其中三个力的大小都为F，上表面和右表面作用的力偶矩的大小均为Fa，若欲使该立方体平衡，只需在某处施加一个力即可，试问如何施加？思考题5-18图ACOxyzBM1M25-18 解答：（确定与力系等效的合力的大小、方向和作用线位置，按其合力的反向施加一个力，可使立方体平衡）。力系的主矢为力系对点O的主矩为力系的第二不变量为 可见，力系简化的最简形式为合力。下面确定力系等效的合力作用线方程：假设力系的合力经过点B，则，点B的坐标为 ，合力的作用线方程为 结论：过点施加一个与主矢的大小相等而反向的力，即该合力的矢量为，该力与原力系平衡，可以使立方体处于平衡状态。5-19 不计自重和摩擦，试画出图示平面结构中杆AB和杆CD的受力图（要确定约束力的正确方向和约束力偶矩的正确转向，图(b)中杆AB和杆CD在E处相互铰接）。思考题5-19图 (b) ADBCE思考题5-19图 (a) ADBC60M5-19 解答：情况(a)：思考