二次函数的综合应用（2）.docx

专题复习 二次函数的综合应用（2）教学目标：综合二次函数与几何的结合运用教学重点：二次函数和性质教学难点：点的坐标如何转化为线段、角等的数量教学课时：1节教学内容：1、已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PMAM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PMAM|的最大值【答案】（1）；（2）存在，P（5，3）；（3）M（1，0）或（5，）时，|PMAM|的值最大，为5【分析】（1）设抛物线的解析式为，把A，B，C三点坐标代入求出a，b，c的值，即可确定出所求抛物线解析式；（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：根据OA，OB，OC的长，利用勾股定理求出BC与AC的长相等，只有当BP与AC平行且相等时，四边形ACBP为菱形，可得出BP的长，由OB的长确定出P的纵坐标，确定出P坐标，当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形；（3）利用待定系数法确定出直线PA解析式，当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PMAM|PA，当点M与点P、A在同一直线上时，|PMAM|=PA，当点M与点P、A在同一直线上时，|PMAM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，联立直线AP与抛物线解析式，求出当|PMAM|的最大值时M坐标，确定出|PMAM|的最大值即可【解析】（1）设抛物线的解析式为，A（1，0）、B（0，3）、C（4，0），解得：a=，b=，c=3，经过A、B、C三点的抛物线的解析式为；（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：OB=3，OC=4，OA=1，BC=AC=5，当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，BP=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB，点P的坐标为（5，3），当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，则当点P的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形；（3）设直线PA的解析式为y=kx+b（k0），A（1，0），P（5，3），解得：k=，b=，直线PA的解析式为，当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PMAM|PA，当点M与点P、A在同一直线上时，|PMAM|=PA，当点M与点P、A在同一直线上时，|PMAM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，解方程组：，得或，点M的坐标为（1，0）或（5，）时，|PMAM|的值最大，此时|PMAM|的最大值为52、在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90，得到平行四边形ABOC（1）若抛物线经过点C、A、A，求此抛物线的解析式；（2）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，AMA的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；（3）若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标【答案】（1）；（2）当x=2时，AMA的面积最大，最大值SAMA=8， M（2，6）；（3）P1（0，4），P2（3，4），P3（，4），P4（，4）；N（0，0）或（3，0）【分析】（1）由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90，得到平行四边形ABOC，且点A的坐标是（0，4），可求得点A的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点C、A、A的抛物线的解析式；（2）首先连接AA，设直线AA的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AA的解析式，再设点M的坐标为：（x，），继而可得AMA的面积，继而求得答案；（3）分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案（2）连接AA，设直线AA的解析式为：y=kx+b，解得：，直线AA的解析式为：y=x+4，设点M的坐标为：（x，），则SAMA=4（x+4）=，当x=2时，AMA的面积最大，最大值SAMA=8，M的坐标为：（2，6）；（3）设点P的坐标为（x，），当P，N，B，Q构成平行四边形时，平行四边形ABOC中，点A、C的坐标分别是（0，4）、（1，0），点B的坐标为（1，4），点Q坐标为（1，0），P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点当BQ为边时，PNBQ，PN=BQ，BQ=4，=4，当=4时，解得：=0，=3，P1（0，4），P2（3，4）；当=4时，解得：=，=，P3（，4），P4（，4）；当BQ为对角线时，BPQN，BP=QN，此时P与P1，P2重合；综上可得：点P的坐标为：P1（0，4），P2（3，4），P3（，4），P4（，4）；如图2，当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为：（0，0）或（3，0）3、如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断ABC的形状；（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1），直角三角形；（2）；（3）M1（，），M2（，），M3（，），M4（，）【分析】（1）先确定出点A，B坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；用勾股定理逆定理判断出ABC是直角三角形；（2）根据运动表示出OP=2t，CQ=10t，判断出RtAOPRtACQ，得到OP=CQ即可；（3）分三种情况用平面坐标系内，两点间的距离公式计算即可【解析】（1）直线y=2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，A（5，0），B（0，10），抛物线过原点，设抛物线解析式为，抛物线过点B（0，10），C（8，4），抛物线解析式为，A（5，0），B（0，10），C（8，4），=125，=100，=25，ABC是直角三角形（2）如图1，当P，Q运动t秒，即OP=2t，CQ=10t时，由（1）得，AC=OA，ACQ=AOP=90，在RtAOP和RtACQ中，AC=OA，PA=QA，RtAOPRtACQ，OP=CQ，2t=10t，t=，当运动时间为时，PA=QA；（3）存在，抛物线的对称轴为x=，A（5，0），B（0，10），AB=设点M（，m）；若BM=BA时，m1=，m2=，M1（，），M2（，）；若AM=AB时，m3=，m4=，M3（，），M4（，）；若MA=MB时，m=5，M（，5），此时点M恰好是线段AB的中点，构不成三角形，舍去；点M的坐标为：M1（，），M2（，），M3（，），M4（，）4、如图，抛物线的图象经过点A（2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD（1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足ECD=ACO的点E的坐标；（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长【答案】（1）；（2）E（1，），（3，）；（3）【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可（2）分点E在直线CD上方的抛物线上和点E在直线CD下方的抛物线上两种情况，用三角函数求解即可；（3）分CM为菱形的边和CM为菱形的对角线，用菱形的性质进行计算；【解析】（1）抛物线的图象经过点A（2，0），点B（4，0），点D（2，4），设抛物线解析式为y=a（x+2）（x4），8a=4，a=，抛物线解析式为y=（x+2）（x4），即；（2）如图1，点E在直线CD上方的抛物线上，记E，连接CE，过E作EFCD，垂足为F，由（1）知，OC=4，ACO=ECF，tanACO=tanECF，=，设线段EF=h，则CF=2h，点E（2h，h+4）点E在抛物线上，h=0（舍）h=，E（1，），点E在直线CD下方的抛物线上，记E，同的方法得，E（3，），点E的坐标为（1，），（3，）；（3）CM为菱形的边，如图2，在第一象限内取点P，过点P作PNy轴，交BC于N，过点P作PMBC，交y轴于M，四边形CMPN是平行四边形，四边形CMPN是菱形，PM=PN，过点P作PQy轴，垂足为Q，OC=OB，BOC=90，OCB=45，PMC=45，设点P（m，），在RtPMQ中，PQ=m，PM=m，B（4，0），C（0，4），直线BC的解析式为y=x+4，PNy轴，N（m，m+4），PN=，m=0（舍）或m=，菱形CMPN的边长为=CM为菱形的对角线，如图3，在第一象限内抛物线上取点P，