1.函数项级数一致收敛的判别法 作者艾斯凯尔.doc

编号编号 学学士士学学位位论论文文 函数项级数一致收敛的判别法函数项级数一致收敛的判别法 学生姓名 艾斯凯尔 海力麦提 学 号 20050101041 系 部 数学系 专 业 数学与应用数学 年 级 2006 3 班 指导教师 托合提 赛都拉 完成日期 2011 年 4 月 30 日 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 摘要 函数项级数的一致收敛性是函数级数概念当中最基本最重要的问题 函 数级数和函数的分析性质一致收敛有关 因此本论文中提出了函数级数一致收敛的柯西一致收敛准则 魏 1 n k k ux 尔斯特拉斯判别法 M 判别法 狄利克雷判别法 阿贝尔判别法 精细的狄尼 Di ni 定理 确界判别法 导数判别法 比试判别法 根式判别法等几种重 要判别法 并应用函数项级数一致收敛的定义 柯西一致收敛准则和 M 判别法 给出了论文中所有结论的证明 关键词 关键词 一致收敛性 收敛 单调 一致有界 收敛准则 绝对收敛 聚 点定理 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 2 目 录 摘要摘要 1 引言引言 1 1 1 函数项级数定义函数项级数定义 1 2 2 函数项级数一致收敛的几种判别法函数项级数一致收敛的几种判别法 2 判别法判别法 1 1 函数项级数一致收敛的定义函数项级数一致收敛的定义 2 函数项级数一致收敛的几何意义函数项级数一致收敛的几何意义 3 判别法判别法 2 2 确界判别法确界判别法 4 判别法判别法 3 3 柯西一致收敛准则柯西一致收敛准则 5 判别法判别法 4 4 M M判别法判别法 7 判别法判别法 5 5 狄利克雷判别法狄利克雷判别法 9 判别法判别法 6 6 11 判别法判别法 7 7 12 判别法判别法 8 8 13 判别法判别法 9 9 14 判别法判别法 1010 16 判别法判别法 1111 16 判别法判别法 1212 17 判别法判别法 1313 18 判别法判别法 1414 导数判别法导数判别法 20 判别法判别法 1515 比试式判别法比试式判别法 21 判别法判别法 1616 根式判别法根式判别法 21 判别法判别法 1717 22 判别法判别法 1818 22 判别法判别法 1919 22 判别法判别法 2020 24 总结总结 26 参考文献参考文献 27 致谢致谢 28 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 1 引言引言 函数项级数一致收敛的条件下 可以讨论和函数连续性 可微性 可积性 函数项级数一致收敛时可以交换无穷和与导数 无穷和与积分的次序 通过交换不 同的两种运算能够解决函数项级数概念中的最基本问题 即利用函数项级数的一 致收敛性我们可以求出函数的和函数 因此 本论文中全面讨论函数项级数一致收 敛的条件 1 1 函数项级数定义函数项级数定义 定义定义 设是定义在数集 E 上的一个函数列表达式 n ux 1 12 n uxuxux xE 称为定义在 E 上的函数项级数 简称为函数级数 记作为或 1 n n ux n ux 称为函数项级数 1 的部分和函数列 1 n nk k Sxux 若函数项级数 2 收敛 即部分 0 xE 10200 n uxuxux 和 当时 极限存在 则称级数 1 在点收敛 称为 00 1 n nk k Sxux n 0 x 0 x 收敛点 级数 1 在 D 上的每一点与其所对应的数项级数 2 的和构成一个定x S x 义在 D 上的函数称为级数 1 的和函数 即 lim n n SxS x 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 2 2 2 函数项级数一致收敛的几种判别法函数项级数一致收敛的几种判别法 判别法判别法 1 1 函数项级数一致收敛的定义函数项级数一致收敛的定义 设函数级数在区间收敛于和函数 若 1 n n ux D S x 有 0 NNnNxD 则称函数级数在区间上一致 nn S xSxRx 1 n n ux D 收敛或一致收于和函数 S x 例例 1 1 证明函数项级数在区间 其中 一致收敛 0 n n x 1 1 01 证明 有 0 1x 0 1 1 k n n n k x Sxx x 1 lim 1 n n S xSx x 11 1111 n nn nn xxx S xSxR x xxxx 对 对要使不等式 1 1x 0 成立 1 1 n n nn x S xSxR x x 从而要不等式解得 取 于是 1 n ln ln 1 n ln ln 1 N 0 存在 有 ln ln 1 NN nN 1 1x 成立 nn S xSxRx 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 3 所以函数项级数在区间 其中 一致收敛 0 n n x 1 1 01 非一致收敛的定义 设函数项级数在区间非一致收敛于和函数 若 1 n n ux I S x 0 o 有 成立 NN 0 o nNxI 000 n S xSx 则称函数项级数在区间上非一致收敛或非一致收敛于 1 n n ux I S x 例例 2 2 证明函数项级数在区间 非一致收敛 0 n n x 1 1 证明证明 有 0 1 NN 0 0 1 11 1x n 0 0 0 000 0 0 1 1 1 1 1 1 n n nn n S xSxR xn n n 0 00 00 111 lim 1 1 1 nn n nNn nen 所以 使 即函数项级数在非一致收敛 0 n n x 1 1 函数项级数一致收敛的几何意义函数项级数一致收敛的几何意义 函数项级数在区间一致收敛于的几何意义是 不论给定的 1 n n ux I S x 以曲线为边界的带形区域怎样窄 总存在正整数 通用的 S xS x 与N 任意一个部分和的图像都位于这个带形区间内 如图 1 NnN n Sx 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 4 若函数项级数在某个区间不存在通用的 就是非一致收敛 N x y I 图 图 1图 S x S x Sn x S x O 判别法判别法 2 2 确界判别法确界判别法 函数项级数在数集上一致收敛于的充要条件 1 n n ux D S x limsup limsup 0 nn nn x Dx D R xS xSx 证明证明 已知函数项级数在区间一致收敛于 1 n n ux D S x 即有 0 NNnNxD n S xSx 从而 即 sup n x D S xSx limsup 0 n n x D S xSx 已知 即有 limsup 0 n n x D S xSx 0 NNnNxD sup n x D S xSx 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 5 从而有 即函数项级数在区间上xD n S xSx 1 n n ux D 一致收敛于 S x 例例 3 3 证明 函数项级数在内一致收敛 1 1 1 n xnxn 0 证明证明 1 1 1 n n k Sx xkxk 1 11 1 n k xkxk 11111111 122311xxxxxnxnxnxn 11 11xxn 0 x 111 limlim 111 n nn S xSx xxnx 1 limsup limsup0 1 n nn x D x D S xSx xn 所以函数级数在内一致收敛 1 1 1 n xnxn 0 判别法判别法 3 3 柯西一致收敛准则柯西一致收敛准则 函数级数在区间一致收敛 1 n n ux I 有 0 NNnNpNxI 12 nnn p uxuxux 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 6 证明证明 必要性已知函数级数在区间一致收敛 1 n n ux I 设其和函数是 即有 S x0 NNnNpNxI 也有 于是 n S xSx np S xSx 12 nnnpnpn uxuxuxSxSx npn SxS xS xSx 2 npn S xSxS xSx 充分性 已知 有 0 NNnNpNxI 12 nnnpnpn uxuxuxSxSx L 所以当时上述不等式有 P nn S xSxRx 即函数项级数在区间一致收敛 1 n n ux I 例 4 讨论函数项级数在区间的一致收敛性 1 1 1 nn n xx nn 1 1 解 应用柯西一致收敛准则 即 要使不等式 1 1x Q1 0 x 1223 1223 nnnn npn xxxx SxSx nnnn 1 1 npnp xx npnp L 11 11 1212 nnp nnp xxxx nnnn 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 7 112 111nnpn 成立 从不等式解得取于是 2 1n 2 1n 2 1N 0 有 2 1 N 1 1nNpNx npn SxSx 即函数级数在区间一致收敛 1 1 1 nn n xx nn 1 1 在这个例子中我们用确界判别法来也可以判断它的收敛性 方法 2 12231 1 12231 kknn n n k xxxxxxx Sxx kknn 1 1 n x x n lim n n SxS xx 故 1 1 11 1 1 lim sup lim suplim0 11 n n nnn xx x S xSx nn 所以函数级数在区间一致收敛 1 1 1 nn n xx nn 1 1 判别法判别法 4 4 M M判别法判别法 有函数项级数 是区间 若存在收敛的正项级数 1 n n ux I 1 n n anN 有 则函数级数在区间一致收敛 xI nn uxa 1 n n ux I 证明 正项级数收敛根据柯西一致收敛准则 即 1 n n a 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 8 有 0 NNnN pN 12nnnp aaa 由已知条件 有 xI 12nnnp uxuxux 12nnnp uxuxux 12nnnp aaa 即函数级数在区间一致收敛 1 n n ux I 例例 5 5 判断函数项级数在上是否一致收敛 1 1 n n x n xr r 解解 有 xr r 1 1 nn xr nn 令 则 1 n n r a n 1 1 1 limlimlim0 n n n nnn n arnr anrn A 所以是收敛 由判别法函数项级数在上一 1 n r n M 1 1 n n x n xr r 致收敛 例 6 证明在一致收敛 42 11n x n x R 证 有所以 即xR 2 2422 1 210n xn xn x 242 21n xn x 故已知优级级数收敛 根据 2 42 2 1 1 n x n x 2 424222 1211 1122 n x n xn xnn 2 1 1 2 n n 判别法 M 函数级数在中一致收敛 42 11n x n x R 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 9 注注 判别法是判别函数项级数一致收敛的很简使得判别法 但是这个方法M 有很大的局限性 凡能用判别法函数项级数必是一致收敛 此函数项级数必然M 是绝对收敛 如果函数项级数是一致收敛 而非绝对收敛 即条件收敛 那么就不能 使用判别法 M 判别法判别法 5 5 狄利克雷判别法狄利克雷判别法 若级数满足如下条件 1 nn n ax bx 1 函数列对每个是单调的且在区间一致收敛于 0 n axxI I 2 函数级数的部分和函数列在区间一致有界 则函数级 1 n n bx n BxI 数在一致收敛 1 nn n ax bx I 证明证明 已知函数列一致收敛于 0 即 n ax0 NN nN 有 xI 1n a 又已知函数级数的部分和函数列在区间一致有界 1 n n bx n BxI 即 有 从而有0 MnNxI n BxM 121 2 nnnpnnnpn bxbxbxBxBxBxBxM 根据阿贝尔变换 有xI 11221 2 nnnnnpnpn ax bxax bxax bxMax L 于是 有0 NNnNpNxI 1122 2 nnnnnpnp ax bxax bxax bxM L 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 10 即函数级数在区间一致收敛 1 nn n ax bx I 例例 7 证明 函数级数在区间一致收敛 1 cos n nx n 2 0 证证 2 xnN 11 1 cos2cossin 2 2sin 2 nn kk x kxkx x Q 1 111 sinsin 22 2sin 2 n k kxk x x 1315311 sinsin sinsin sin sin 222222 2sin 2 xxxnxn x x 11 sinsin 22 2sin 2 xnx x 11 11 sinsin 22 M x 即函数级数的部分和函数列在一致有界 而数列单 1 cos n nx 2 1 n 调减少趋近于 0 当然在也是一致收敛于 0 2 根据狄利克雷判别法 函数级数在区间一致收敛 1 sin n nx n 2 判别法判别法 6 6 若级数满足下面两个条件 1 nn n ax bx 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 11 1 函数列对每个是单调的且在区间一致有界 n axxI I 2 函数项级数在区间一致收敛 则函数级数在区 1 n n bx I 1 nn n ax bx 间一致收敛 I 证明证明 不妨设函数列在区间单调减少 已知它在区间一致有界 n axII 即 有 有0 MnNxI n axM 12n MaxaxaxM LL 从而 有xI 12 0 n axMaxMaxM LL 又已知函数级数在区间一致收敛 1 n n bx I 即 有0 NNnNxI 12nnnp bxbxbx L 由阿贝尔变换 有 1122nnnnnpnp axM bxaxM bxaxM bx L 1 2 n axMM 即函数项级数 在区间一致收敛 0 rI 已知函数项级数在区间一致收敛两个函数级数在区间都一致收 1 n n Mbx I 敛 因此 函数级数 11 nnnnnn nn ax bxax bxMbxMbx 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 12 11 nnn nn axM bxMbx 在区间一致收敛 I 例例 8 证明若函数级数 是常数 1 n n n a x n a 在收敛 则它在区间一致收敛 0 xr 0 r 证明证明 将函数项级数改写为 0 n n n a x 00 n nn nn nn x a xa r r 已知级数收敛 从而它在区间也是一致收敛 且函数列 0 n n n a r 0 r 在单调减少又一致有界 即存在 有 r x r 0 r1M 0 xr 0 xr 根据阿贝尔判别法 函数项级数在区间一致收敛 1 n x r 0 n n n a x 0 r 判别法判别法 7 7 若函数项级数在区间一致收敛 则在也一致收敛 1 n n ux I 1 n n ux I 证明证明 已知在一致收敛 由柯西一致收敛准则 1 n n ux I 有 0 NNnNpNxI 12nnnp uxuxux 于是 1212nnnpnnnp uxuxuxuxuxux 再根据柯西一致收敛准则 函数级数在一致收敛 1 n n ux I 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 13 例例 9 判断函数项级数在上的一致收敛性 1 1 1 n n x x 0 1x 解 122311 11 1 1 nn nkknnn kk x xxxxxxxxxxx 0 1x lim n n S xSxx 0 1 lim sup lim0 n n nn x S xSxx 0 1x 在区间上一致收敛 1 1 1 n n x x 0 1 所以由判别法 7 函数项级数在一致收敛 1 1 1 n n x x 0 1 判别法判别法 8 8 若函数项级数在一致收敛且在有界 则 1 n n ux a b x a b 在一致收敛 1 n n uxx a b 证明证明 已知函数项级数在上一致收敛 1 n n ux a b 由柯西收敛准则 有 0 NNnNpNxa b 12nnnp uxuxux 函数在有界 即 有 对函数级 x a b 0 Mxa b xM 数 有 1 n n uxx 0 NNnNpNxa b 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 14 12nnnp uxxuxxuxx 12nnnp uxuxuxxM 即函数级数在上一致收敛 1 n n uxx a b 例例 10 判断函数项级数在上的一致收敛性 12 22 1 1 n n x nx 0 x 解解 令 12 1 nxx 22 1 n ux nx 则对 任意 即 12 1 nxx 0 x 2 0Mx 2 xMx 故在上一致有界 12 1 nxx 0 x 对 有 22 1 1 n nx 0 x 数项级数在上收敛 222 11 n ux nxn 2 1 1 n n 0 x 故函数项级数在上一致收敛 根据判别法 8 函数项级 22 1 1 n nx 0 x 数在上一致收敛 12 22 1 1 n n x nx 0 x 判别法判别法 9 9 若函数项级数 都在区间一致收敛 则 1 n n ux 1 n n x I 在一致收敛 为常数 1 nn n auxbx Iab 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 15 证明证明 由已知级数与在区间都一致收敛 由柯西一致收敛 1 n n ux 1 n n x I 准则 对 有 11 0 NNnNpNxI 12nnnp uxuxux 同样的 对 有 2 0 NNnNpNxI 12nnnp xxx 取 有 12 max NNN 2 0 NNnNpNxI 12nnnp uxuxux 12nnnp auxauxaux 1 12nnnp a uxuxuxa 12nnnp xxx 12nnnp bxbxbx 2 12nnnp bxxxb 由 1 和 2 相加得 1122nnnnnpnp auxbxauxbxauxbx 12nnnp a uxuxux 12nnnp bxxxab 即函数级数在上一致收敛 1 nn n auxbx I 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 16 判别法判别法 1010 若函数与都绝对收敛 则函数级数在一 1 n n a 1 n n b 1 cossin nn n anxbnx R 致收敛 证明证明 与收敛 1 n n a 1 n n b 有 0 NNnNpN 12nnnp aaa 12nnnp bbb 有 0 NNnNpNxR 11 cos1sin1cossin nnnpnp anxbnxanp xbnp x 11 cos1sin1 nn anxbnx cossin npnp anp xbnp x 11 2 nnpnnp aabb 由柯西一致收敛准则 函数级数在上一致收敛 1 cossin nn n anxbnx R 判别法判别法 1111 若 函数在单调且与都绝对收敛 则nN n ux a b 1 n n ua 1 n n ub 在一致收敛 1 n n ux a b 证明证明 不妨设在单调增 所以 n ux a b nnn uauxubxa b 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 17 于是有 而与收敛 0 nnnn uxuaubuanN 1 n n ua 1 n n ub 可知收敛 1 nn n ubua 根据判别法 在上一致收敛 M 1 nn n ubua a b 最后得在上一致收敛 1 n n ux a b 同法可证 若在单调减少 即 则任意有 n ux a b nn u au b xa b 因为与都收敛 0 nnnn u au buxu b 1 n n ua 1 n n ub 所以也一致收敛 根据判别法可知函数项级数 1 nn n uaub M 在也一致收敛 1 n n ux a b 判别法判别法 1 12 2 设 在上连续 又在上收敛于连 0 n ux a b1 2 n 1 n n ux a b 续函数 则在上一致收敛于 f x 1 n n ux a b f x 证证 用反证法 若在上不一致收敛于 为级数部 1 n n ux a b f x n Sx 分和 则 及和使得 0 0 123k nnnn k n xa b 0 kkk nnn f xSx 对 应用聚点定理 得子列收敛于不妨设此子 k n xa b k n x 0 xa b 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 18 列即为 k n x 固定 当时 m k nm 0 k kmn f xSx 令 由于的连续性 因此 k m f xSx 000m f xSx 这与收敛于矛盾 故原命题成立 0 1 n n ux 0 f x 判别法判别法 1 13 3 设函数项级数定义在数集上 若存在一个函数 在 1 n n ux D f x 2 2 d f dx 处存在且 0 x 000f f 且对一切有xD 1 1 2 n uxfn n 则函数项级数在上一致收敛 1 n n ux D 证明证明 对于函数 有在处存在且令 f x 2 2 d f dx 0 x 000f f 01t 则 1 1 000 01 limlimlim 110 t tt xxx f xfxfxf x xt xtx 1 0 0 lim0 1 t x f x t 即 1 1 lim0 1 t n f n n 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 19 又因为对级数 有在是非负递减函数且非正常积 1 1 1 t n n 1 1 t f x x 1 分是收敛的 故是收敛的 因而由比较原则知是收敛的 1 1 1 t dx x 1 1 1 t n n 1 1 n f n 则根据判别法 2 函数级数在上一致收敛 1 n n ux D 例例 11 讨论级数在区间上的收敛性 2 1 cos n nx n 0 1 分析分析 对于此级数我们可以用判别法进行证明 即找到收敛的正项级数M 使得 同时也可以应用判别法 13 2 1 1 n n 22 cos1nx nn 证明证明 考虑函数 在处二阶导数存在且 2 f xx f x0 x 000f f 又有 2 sin1nx f nn 故级数在区间上一致收敛 0 1 例例 12 证明级数在上一致收敛 42 1 cos 1 n xx n x 1 分析分析 对此级数我们考虑函数 2 f xx 证明证明 对于函数 在处有二阶导数且 又 2 f xx f x0 x 000f f 有 4222 coscos11 1 xxxx f n xn xnn 故由判别法 13 可知级数在上一致收敛 42 1 cos 1 n xx n x 1 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 20 判别法判别法 1 14 4 导数判别法导数判别法 设函数列在区间上连续 可微 且存在一点使得 n ux a b 0 xa b 在点收敛 在上一致收敛 则函数项级数上一 1 n n ux 0 x 1 n n ux a b a b 致收敛 证明证明 已知在点收敛 在上一致收敛 即 1 n n ux 0 xa b 1 n n ux a b 使得时对有对有 0 i N i nN pN 0 1 n p k k n ux xa b 0 1 n p k k n ux 根据拉格朗日中值定理有 nNpNxa b 介于与之间 000 111 n pn pn p ikk k nk nk n u xuxux xxba x 0 x 于是 000 1111 n pn pn pn p kkkk k nk nk nk n uxuxuxux 00 111 n pn pn p kkk k nk nk n uxuxux 00 111 n pn pn p kkk k nk nk n uxuxux 1baba 故在上一致收敛 1 n n ux a b 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 21 判别法判别法 1515 比试式判别法比试式判别法 定理定理 1 1 设为定义在数集上正的函数列 记 存在 n uxD 1 n n n ux qx ux 正整数 使得 对任意成立 则函 q M 1 nn qxquxM nNxD 数项级数在上一致收敛 1 n n ux D 证明证明 易见 11 12 nnN nN nn uxuxux uxux uxuxu x 1 12 n N nnNN qxqxqxuxqM 而等比级数当公比时收敛 从而由函数项级数一致 nn N n N qMq 11q 收敛型的优级判别法 在上一致收敛 1 n n ux D 定理定理 设为定义在数集上正的函数列 记 若 n uxD 1 n n n ux qx ux 且在上一致有界 则函数项级数lim 01 n n x qxq xq n uxD 在上一致收敛 1 n n ux D 判别法判别法 1616 根式判别法根式判别法 设为定义在数集上的函数列 若存在在整数使得 n uxDN 使得成立 则函数项级数在 01 n n uxqq nN xD 1 n n ux 上一致收敛 D 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 22 证明证明 由定理条件 对 成立 而几何级数 n n uxq nN xD 收敛 由优级数判别法知 函数项级数在上一致收敛 n q 1 n n ux D 判别法判别法 1717 设定义在上的正函数列若 则函数项 n uxDlim 01 n n n uxq x 级数在上一致收敛 1 n n ux D 判别法判别法 1818 设为定义在数集上的函数列 若存在 那 n uxD ln lim ln n x ux p x n 么 1 若对 则函数项级数 1p xxD p xp 在 D 上一致收敛 1 n n ux 2 若对 则函数项级数 1p xxD p xp 在 D 上不一致收敛 1 n n ux 证明证明 由定理条件知 对 使得对 有0 N nN 即 则当 ln ln n ux p xp x n 11 n p xp x ux nn 对成立时 有 1p xp xD 1 n p ux n 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 23 判别法判别法 1919 若是区间上的连续函数 且函数列在区间 1 2 n uxn a b n ux 上单调递减收敛于 0 则在上一致收敛 a b 1 1 1 n n n ux a b 证明证明 因为是上的连续函数在上收敛于 0 n ux a b n ux a b 单调 是上一致收敛于 0 n xa bux n ux a b 又因为 故一致有界 1 1 11 n k k 1 1 1 n k k 且对单调 由判别法 5 可得函数项级数在 n xa bux 1 1 1 n n n ux 上一致收敛 a b 例例 13 考察在上的收敛性 1 1 sin 1 n n nx n 0 1 分析分析 首先注意到在上是一致收敛的 1 1 sin 1 n n nx n 0 1 用判别法 5 来判别证明无法找到收敛的 正项级数使得 用判别法 5 很难证明出 1 n n ax nn uxa 的一致收敛性 1 1 sin 1 n n nx n 用判别法 5 比较复杂 如用判别法 19 证明则可以得到 解解 记 则显然有在上连续又对于 sin n nx ux n n ux 0 1 1 2 n 有 0 1x 1 sinsin 1 nn nxxnx uxux nn 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 24 且 即对 单调递减收敛于 0 所以由判别法 19 lim0 n n ux 0 1x n ux 知级数在上一致收敛 1 1 sin 1 n n nx n 0 1 例例 14 证明级数在上一致收敛 2 1 2 1 1 1 n n n x x 证明证明 记 则显然有在上连续对于 2 2 1 nn x ux x n ux x 22 11 22 11 nnnn xx uxux xx 且 即对于 单调递减收敛于 0 故由判 lim0 n n ux x n ux 别法 19 知 级数在上一致收敛 2 1 2 1 1 1 n n n x x 判别法判别法 2020 若函数项级数在收敛且及 有 1 n n ux a b xa b nN 为正数 则在一致收敛 1 n k k uxM M 1 n n ux a b 证明证明 由题设 存在正整数 使得对每个正整数和每个 同时Mn xa b 成立不等式 对任意给定的 取区间的等距分划 1 n k k uxM 0 a b 其中充分大 使分划的