几何证明选讲学案.docx

几何证明选讲知识梳理11几个基本定理(1)若点D在直线AB上，点C是直线AB外任意一点，则 .(2)若 ,则.反之，若，并且A、X在直线BC同侧，则.(3)（平行截割定理）两直线分别与3条平行线顺次交于点A、B、C和X、Y、Z，则 .(4)(共边定理)若直线PQ、AB交于M，则.(5)（共角定理）若 与 相等或互补，则. (6)（射影定理）设CD是Rt斜边AB上的高，则有：; .1 2相似三角形(1)相似三角形的判定判定定理a两角对应相等的两个三角形相似b两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似c三边对应成比例的两个三角形相似推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似直角三角形相似的特殊判定斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似(2)相似三角形的性质相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方1 3圆的切线（1）（切线特征定理）直线L是的切线的充要条件，是它经过上一点D并且和过点D的半径OD垂直。(2) （切线长定理）从圆外一点作圆的两条切线，其切线长相等；该点到圆心的连线，平分这两条的夹角.(3)（球的切线特征定理）直线L是球O的切线的充要条件，是它经过球O上点D并且和过点D的球半径OD垂直.（4）（球的切线长定理）从球外一点作球的若干条切线，其切线长相等；该点到求心的连线和每条切线的夹角相等.（5）（球的切平面特征定理）平面p是球O的切平面的充要条件，是它经过球O上一点D并且和过点D的球半径OD垂直。（6）（球的切线和切平面之间的关系）球的切平面内的每一条过切点A的直线，都是球的切线；反过来，球的每一条过点A的切线，都在与球相切于点A的切平面内.1 4 圆周角定理(1)（弦切角定理）：弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半弦切角的度数，等于所夹狐的度数的一半.(2)（圆周角定理）：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半(3)圆周角定理的推论同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等半圆(或直径)所对的圆周角是90；90的圆周角所对的弦是直径（4）四边形内接于圆的充要条件是其对角互补.（5）四边形内接于圆的充要条件是其外角都等于其内对角.1 5 圆幂定理(1)（圆幂定理）过定点的直线与定圆交于两点。则此定点到两点距离的乘积等于它到此定圆的幂的绝对值.(2)（相交弦定理）圆的两弦AB、CD相交于P，则有 .(3)（切割线定理）自圆外一点P作圆的切线PC，又作圆的割线与圆交于A、B，则有 .(4)（割线定理）从圆外一点P引圆的两条割线，分别与圆交于A、B和C、D.则.一、平行截割定理与相似三角形考向一平行截割定理的应用【例1】在梯形ABCD中，ADBC，AD2，BC5，点E、F分别在AB、CD上，且EFAD，若，则EF的长为_【训练1】在ABC中，DEBC，EFCD，若BC3，DE2，DF1，则AB的长为_考向二相似三角形的判定和性质的应用【例2】已知，在ABC中，ABAC，BDAC，点D是垂足求证：BC22CDAC.【训练2】如图，在ABC中，DEBC，DFAC，AEAC35，DE6，则BF_. 考向三直角三角形射影定理的应用【例3】已知圆的直径AB13，C为圆上一点，过C作CDAB于D(ADBD)，若CD6，则AD_.【训练3】 在ABC中，ACB90，CDAB于D，ADBD23.则ACD与CBD的相似比为_二、圆周角定理与圆的切线考向一圆周角的计算与证明【例1】如图，AB为O的直径，弦AC、BD交于点P，若AB3，CD1，则sinAPB_.【训练1】 如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB4，ACB30，则圆O的面积等于_考向二弦切角定理及推论的应用【例2】如图，梯形ABCD内接于O，ADBC，过B引O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC8，CD5，AF6，则EF的长为_ 【训练2】如图，已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)ACEBCD； (2)BC2BECD.三、圆幂定理与圆内接四边形考向一相交弦定理的应用【例1】如图，半径为2的O中，AOB90，D为OB的中点，AD的延长线交O于点E，则线段DE的长为_ 【训练1】如图，AB、CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD，OAP30，则CP_. 考向二切割线定理的应用【例2】如图所示，PA为O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA10，PB5，BAC的平分线与BC和O分别交于点D和E， 则ADAE= 【训练2】 如图，O与O外切于P，两圆公切线AC，分别切O、O于A、C两点，AB是O的直径，BE是O的切线，E为切点，连AP、PC、BC. 求证：APBCBEAC.考向三圆内接四边形性质的应用【例3】已知四边形PQRS是圆内接四边形，PSR90，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K.(1) 求证：Q、H、K、P四点共圆；(2)求证：QTTS.【训练3】 如图所示，AB是O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作O的切线，切点为H.求证：(1)C，D，F，E四点共圆；(2)GH2CEGF.高考题练习1（2008广东，15）（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R= 。2（2007广东，15）（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3。过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E，则DAC= ，线段AE的长为 。3(2010年高考天津卷理科14)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P。若，则的值为 。PTOAB图1 4. (2010年高考湖南卷理科10)如图所示，过外一点P作一条直线与交于A，B两点，已知PA2，点P到的切线长PT 4，则弦AB的长为_.5（2010年高考陕西卷理科15）(几何证明选做题)已知的两条直角边的长分别为,以为直径的圆与交于点,则. 6（2010年高考北京卷理科12）如图，的弦ED，CB的延长线交于点A。若BDAE，AB4, BC2, AD3,则DE ；CE 。7、2012湖北卷如图所示，点D在O的弦AB上移动，AB4，连结OD，过点D作OD的垂线交O于点C，则CD的最大值为_8、2012北京卷ACB90，CDAB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()ACECBADDBBCECBADABCADABCD2DCEEBCD29、2012广东卷圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足ABC30，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA_.10 2012湖南卷 如图，过点P的直线与O相交于A，B两点若PA1，AB2，PO3，则O的半径等于_11、 2012陕西卷如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EFDB，垂足为F，若AB6，AE1，则DFDB_.12、2012天津卷 如图所示，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF3，FB1，EF，则线段CD的长为_ 综合训练一、选择题1. 若三角形三边上的高为，这三边长分别为6、4、3，则（ ）A. B. C. D. 2. 在中，将分成面积相等的两部分，那么（ ）A. B. C. D. 3. 圆内接三角形角平分线延长后交外接圆于，若，则（ ）A. 3 B. 2 C. 4 D. 14. 在中，是边的中点，交的延长线于，则下面结论中正确的是A. B. C. D. 5. 在中，为直角，垂足为，则下列说法中不正确的是（ ）A. B. C. D. 是外接圆的切线6. 已知矩形ABCD，R、P分别在边CD、BC上，E、F分别为AP、PR的中点，当P在BC上由B向C运动时，点R在CD上固定不变，设，那么下列结论中正确的是（ ）A. y是x的增函数 B. y是x的减函数 C. y随x先增大后减小 D. 无论x怎样变化，y是常数7. 一圆锥侧面展开图为半圆，平面与圆锥的轴成角，则平面与该圆锥侧面相交的交线为A. 圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 椭圆8. 如图，AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，那么（ ）A. B. C. D. 二、填空题9. 平面，直线与依次交于，直线 与依次交于，则_（填）10. 如图，是的直径，是的弦，则两点到直线的距离之和等于_ (第10题图) (第11题图)11. 如图，过的圆心，与交于两点，在上，延长线交于点，延长线交于，则_12. 相交两圆与的公共弦长，延长到作切于，切于，若，则_13. 如图，AB的延长线上任取一点C，过C作圆的切线CD，切点为D，的平分线交AD于E,则_ (第13题图) (第14题图)14. 如图，是的直径，是上一点，为的中点，的弦与的延长线相交于，若则_15. 梯形中，底为中位线，对角线与分别交于，则_16. 如图，分别是的两条高，则(1) 四点_（是否共圆）(2) _(,),为什么？(3) ，则_17、如图，是的切线， 为切点，为割线，则_ (第17题图) (第18题图)18、如图的外接圆的切线交的延长线于，若，则_.19、如图，为半圆的直径，