第一章 概率论的基本概念.doc

长沙理工大学备课纸概率论与数理统计第一章 概率论的基本概念1 随机事件、样本空间1、随机试验在个别试验中其结果出现不确定性；在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，称之为随机现象.概率论是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科.对随机现象进行的观察或实验称为随机试验.若一个试验具有下列三个特点：（1） 在相同条件下可重复进行.（2） 每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以知道试验的所有可能结果.（3） 进行一次试验之前，不能确定会出现哪一个结果.则把这一试验称为随机试验，常用E表示.例1 从一批产品中任取8件，观察其中的正品件数，则这一试验的样本空间为：W =0，1，2，3，4，5，6，7，8引入下列随机事件:A=正品件数不超过3=0，1，2，3;B=取到2件至3件正品=2，3;C=取到2件至5件正品=2，3，4，5;D=取到的正品数不少于2且不多于5=2，3，4，5;E=取到的正品数至少为4=4，5，6，7，8;F=取到的正品数多于4=5，6，7，8.2、 随机事件与样本空间随机事件（简称事件）：在随机试验中，可能发生也可能不发生的结果,通常用大写字母A、B,表示。随机事件分为基本事件与复合随机事件,基本事件（或称为样本点,本书中用表示）是指随机试验中最简单的随机事件(或称最简单的结果); 复合随机事件是指由若干个基本事件构成随机事件.样本空间：随机试验E的全体基本事件组成的集合。记为=.为方便讨论我们也将下列两个事件称为随机事件：每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件S.每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件.基本事件是样本空间的单点集.必然事件包含一切样本点，它就是样本空间.不可能事件不含任何样本点，它就是空集.3、 事件间的关系及其运算表示事件A包含于事件B或称事件B包含事件A,指事件A发生必然导致事件B发生.表示事件A与事件B中至少有一个事件发生,称此事件为事件A与事件B的和（并）事件.个事件的和记为 ，也可简记为.在可列无穷的场合，用表示事件“诸事件至少有一个发生.”表示事件A与事件B同时发生, 称为事件A与事件B的积（交）事件，或记为AB。积事件AB是由A与B的公共样本点所构成的集合.个事件的积记为，也可简记为. 在可列无穷的场合，用 表示事件“诸事件同时发生.”表示事件A发生但事件B不发生,称为事件A与事件B的差事件.显然有.对于任意两事件A，B总有如下分解：表示事件A与B不可能同时发生,称A和B是互不相容的或互斥的.基本事件是两两互不相容的.60表示事件A与B在随机试验中一定会发生一个也可能发生一个,称A和B互为对立事件，或称A与B互为逆事件.事件A的逆事件记为 , 表示“A不发生”这一事件.显然有 .事件的运算律（1）交换律：AB=AB，AB=BA;（2）结合律（AB）C=A（BC）;（AB）C=A（BC）;（3）分配律：A （BC）= （AB）（ A C ）;A（B C）=（AB）（AC）.（4） 德摩根律（De Morgan）：（5）例2: 设A，B，C为三个事件，试用A，B，C表示下列事件：（1）A发生且B与C至少有一个发生；（2）A与B都发生而C不发生；（3）A，B，C恰有一个发生；（4）A，B，C中不多于一个发生；（5）A，B，C不都发生；（6）A，B，C中至少有两个发生.解：2概率、古典概率1、概率定义1: 在相同条件下，进行了n次试验.若随机事件A在这n次试验中发生了k次，则比值 称为事件A的频率，记为频率具有下列性质：(1) 对于任一事件A，有; (2) 对必然事件;历史上著名的统计学家蒲丰（Buffon）和皮尔逊（Pearson）曾进行过大量抛硬币的试验，其结果如表所示.可见出现正面的频率总在0.5附近摆动.随着试验次数的增加,它会逐渐稳定于0.5.定义2: 设事件A在n次重复试验中发生了k次, n很大时,频率稳定在某一数值p的附近波动,而随着试验次数n的增加，波动的幅度越来越小，则称p为事件A发生的概率，记为.2、概率的公理化定义 设为样本空间,A为事件对于每一个事件A赋予一个实数P(A),且满足以下公理：(1) 非负性：;(2) 规范性：;(3) 可列可加性：对于两两互不相容的多个事件有,则称实数P(A)为事件A的概率.3、概率的性质：性质1：.性质2：对于两两互不相容的多个事件有.性质3：设是两个事件A,B, 若,则有(可减性),从而有.性质4：对任事件,有性质5：对任事件,有.性质6：对任事两个事件A,B,有.4、古典概型定义4：设随机试验E满足如下条件:(1)试验的样本空间只有有限个样本点，即;(2) 每个样本点的发生是等可能的，即;则称试验为古典概型，也称为等可能概型。例3 从0,1,2, ,9共10个数字中随机地有放回地接连取4个数字,并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概率：(1) 4数字排成一个偶数；(2) 4数字排成一个四位数;(3) 4数字中0恰好出现两次.解：(一个古老的问题)一对骰子连掷25次.问出现双6与不出现双6的概率哪个大? 5、几何概型也称的事件A几何概率.例4： (约会问题)甲、乙两人相约在某一段时间T内在预定地点会面。先到者等候另一人，经过时间t(tT)后即离去,求甲乙两人能会面的概率.(假定他们在T内任一时刻到达预定点是可能的) 0 例6平面上画有等距离为a的一些平行线，向平面上任意投一长为l(l0,则有 P(AB)=P(A)P(BA).同样,当P(B)0时,有 P(AB)=P(B)P(AB). 乘法定理可推广至任意有限个事件的情形:例2： 设袋中有a只白球,b只黑球.任意取出一球后放回,并再放入与取出的球同色的球c只,再取第二次,如此继续,共取了n次,问前次取出黑球,后次取白球的概率是多少?解：.4、 全概率公式与贝叶斯公式5、全概率公式贝叶斯公式例3 某工厂由甲,乙,丙三台机器生产同一型号的产品,它们的产量各占30%,35%,35%,废品率分别为5%,4%,3%.产品混在一起.(1)从该厂的产品任取一件,求它是废品的概率.(2)若取出产品是废品,求它是由甲,乙,丙三台机器生产的概率各是多少?例4 对以往的数据分析结果表明,当机器调整良好时,产品的合格率为90%,而机器未调整良好时,其合格率为30%.每天机器开动时,机器调整良好的概率为75%.试求已知某日生产的第一件产品是合格品,机器调整良好的概率是多少?解: 设A=机器调整良好,B=生产的第一件产品为合格品.已知,2独立性1、 事件的独立性定义7: 定理 定义8:若三个事件满足下列条件定义9: 对个事件,若以下个等式都成立：其中是1,2,数字中任意个数字的任意排列,则称这个事件相互独立.例1 假设我们掷两次骰子,并定义事件A=第一次掷得偶数,B=第二次掷得奇数,C=两次都掷得奇数或偶数,证明A,B,C两两独立,但A,B,C不相互独立.证明： 容易算出例2： 甲、乙两射手射击同一目标,他们击中目标的概率分别为0.9与0