不完全缓和曲线的计算.doc

不完全缓和曲线的计算1不完全缓和曲线特性对于回旋参数为A的缓和曲线,完全缓和曲线是半径从无穷大到R或从R到无穷大,而不完全缓和曲线是完全缓和曲线的一部分,即曲率半径从R1到R2,下面讨论它的一些特性。如图1,设不完全缓和曲线回旋参数为A,起点曲率半径为R1,终点曲率半径为R2,R1R2,不完全缓和曲线长为ls。把不完全缓和曲线的一端O1 (曲率半径为R1)顺延至曲率半径为的O处,形 成完全缓和曲线,这样就可用完全缓和曲线计算公式 推导不完全缓和曲线计算公式。O至O1的曲线长为ls1=A2R1-1o至O2的曲线长为ls2=A2R2-1如果知道了O1或O2或交点JD在 路线测量坐标系中的坐标和切线方位角,就能通过坐标旋转公式求出任意点P在路线测量坐标系中的坐标,采用极坐标法在测量控制点上放样出P点。4 算例 图5为某互通立交中一匝道内的一段不完全缓和曲线,已知: JD(94381701,47221546),O1JD=24201006,JD-O2 =30549480,A=60,R1=400。 图5 通过计算得 =6348474 R2=40,ls=81ls1=9,ls2=90 切线长为TJDO1=551868,TJDO2=331426 外矢距为E=111091,曲线O1Q=511994则主点坐标O1(94641915,47711882), O2(94581268,46951445) 设P点到O1的曲线长l=23119,则P=7 36044P在O1切线坐标中坐标为 x1P=231139 y1P=11248P在O2切线坐标中坐标为 x2P=461754 y2P=291891 P在路线测量坐标系中的坐标为 XP=94551162 YP=47501869 上面都是通过电算程序计算所得。 本文所讨论的内容对于互通立交匝道的设计和施工放样有很大参考作用。 A2=ls R1R2 R1-R2 (1) 即对于不完全缓和曲线参数:A、ls、R1、R2,只要知道其中任意3个参数就能确定另外一个。设不完全缓和曲线上任意点P距起点O1曲线长为l,曲率半径为R。下面确定不完全缓和曲线上任意点切线与起点切线夹角P(这里称之为不完全缓和曲线转角)。如图1所示。 ls1+l= A 2R O1= ls21 2A2 O2= ls2 2 2A2 OP= (ls1+l)2 2A2 P=OP- O1=(ls1+l)2 2A2 - ls2 1 2A2 P=lR1+l2 2A2 (2) 若R1R2,把不完全缓和曲线的一端O1(曲率 半径为R1)顺延至曲率半径为 的O处,形成完全缓和曲线,假设在O1和O2处分别接上半径为R1和R2的圆曲线,统一在O处建立切线坐标系,则在O1处的曲线的内移值p1和切线增长值q1为 p1=yO1-R1(1-cosO1) q1=xO1-R1sinO1(xO1,yO1)为O1点在O点处切线坐标系中的坐 标。 xO1=ls1-ls3 1/40R2 1+ yO1=ls2 1/6R1+ 从图中可看出 SOJD1=q1+(R1+P1)tg(O1/2)-p1/sin O1SO1JD1=(R1+P1)tg(O1/2)+p1ctgO1同理,在O2处 p2=yO2-R2(1-cosO2) q2=xO2-R2sinO2 SOJD2=q2+(R2+P2)tg(O2/2)-p2/sin O2SO2JD2=(R2+P2)tg(O2/2)+p2ctgO2 则 SJD1JD2=SOJD2-SOJD1 在三角形JDJD1JD2中,按正弦定理 SJDJD1= SJD1JD2 sin sin(180-2) SJDJD2= SJD1JD2 sin sin1 故不完全缓和曲线的切线长为 TO1=SJD2O1=SJD2JD1-SO12JD1 TO2=SJD2O2=SO22JD2-SJD2JD2(2)外矢距计算 图3 在路线中,曲线的外矢距起到控制曲线的作用,这里定义不完全缓和曲线外矢距就是交点JD到曲线的最短距离,由于道路设计中采用的都是凹曲线或凸曲线,所以JD一定在曲线上某点Q的法线上。 由于计算的复杂性,这里采用迭代法确定Q点并计算外矢距E。如图3建立以O1为原点的切线坐 公路交通科技 2002年 第1期标系,则:(xJD,yJD)=(TO1,0),在曲线上取一点P,距O1点曲线长为l,则P点坐标(xp,yp)由第3部分中的(4)式计算。 PJD=arctgyJD-yP xJD-xP =P-PJD这里PJD为PJD的方位角,P为P点处切线与x轴的夹角,即P点处切线的方位角。当90时,在PO2之间重取另外一点P),重复上述过程,直到相邻的两个P点间距小于允许值(以实际需要精度而定),则P点即为Q点(迭代法时一般采用二分法)。 E=(xJD-xQ)2+(yJD-yQ)2 图4 3 不完全缓和曲线的测设 如图4,建立以不完全缓和曲线起点O1为原点的切线坐标系,下面按完全缓和曲线坐标公式推导方式,导出不完全缓和曲线上任意点P在此坐标系中的坐标。设P点到O1的曲线长为l。 dx=dlcosdy=dlsin由(2)式知 =lR1+l22A 2 2 =l2R21+l3R1A2+l44A 4 3 =l3R31+3l42R21A2+3l54R1A4+l6 8A64 =l4R41+2l5R31A2+3l62R21A 4+l72R1A6+l816A85 =l5R51+5l62R41A2+5l72R31A4+5l84R2A6+5l916A8 R1+l10 32A10 将sin和cos按级数展开dx=1-22!+ 44!+dldy=-33!+ 55! +dl把、2等代入上式得 dx=1-l22R21-l3 2R1A2-l4 8A4+l4 24R41+l5 12R31A2+l6 16R21A4+l7 48R1A6+l 8 384A8 +dldy=lR1+l22A2-l36R31-l44R21A2-l58R1A4-l648A6+l5120R51+l648R41A2+l748R3A4+l896R21A6+l9384R1A8+l10 3840A10+dl将上式积分并略去高次项(略去项不影响测设精度)后,得 x=l-l36R21-l48R1A2-l540A4+l5120R41+l672R31A2+l7112R21A 4+l8384A6R1+l9 3456A8+y=l2 2R1+l3 6A2-l4 24R31+l5 20R21A2-l6 48R1A4-l7 336A6+l6720R51+l7336R41A2+l8 384R31A4+l9 864R21A6+l 10 3840R1A8 - l 11 42240A10 + 如以R2小半径建立切线支距坐标系(l为P点到O2的曲线长),则 =lR2-l2 2A 2 x=l-l36A22+l48R2A2-l540A4+l5120R42-l672R32A2+l711