平面向量(附例题,习题及答案).doc

向量的线性运算一教学目标1.理解向量的概念；2.掌握向量的线性运算；3.理解向量线性运算的几何意义、向量共线的含义、平行向量基本定理；4.理解平面向量基本定理，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示、平面向量的坐标运算；5.理解用坐标表示平面向量的共线条件。二知识清单1.向量基本概念（1）向量的定义：既有 又有 称为向量；（2）向量的大小（或称模）：有向线段的 表示向量的大小；（3）零向量与单位向量： 叫做零向量， 叫做单位向量；（4）共线向量与相等向量： 叫做共线向量（或平行向量）， 叫做相等向量。2.向量的线性运算（1）向量的加法a.向量加法的三角形法则、平行四边形法则和多边形法则。b.向量加法满足的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c).（2）向量的减法a.定义：a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。 一个向量等于终点位置向量减始点位置向量，即=-。b.三角形法则：“共始点，连终点，指向被减”。（3）数乘向量a.定义：一般地，实数和向量a的乘积是一个向量，记作a.b.数乘向量满足的运算律： （+）a= （a）= （a+b）= 3.向量共线的条件与轴上向量坐标运算（1）向量共线的条件 平行向量基本定理：如果 ，则 ；反之，如果 ，且 ，则一定存在 ，使 。（2）轴上向量的坐标运算4. 向量的分解与向量的坐标运算（1）平面向量基本定理 如果 是一平面内的 的向量，那么该平面内的任一向量a，存在 ，使 。（2）平面向量的正交分解 定义： 把一个向量分解为 ，叫做把向量正交分解。（3）向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个_作为基底。对于平面内的任一个向量， 由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y使得_，这样，平面内的任一向量a都可由 _唯一确定，我们把有序数对_叫做向量的坐标，记作_此式叫做向量的坐标表 示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标。（4）向量的坐标运算 向量坐标的加减与数乘 若a=(a1，a2），b=（b1，b2），则a+b=（a1+b1，a2+b2），a-b=（a1-b1，a2-b2），a=（a1,a2）.（5）用平面向量坐标表示向量共线条件 两个向量a， b平行的条件： a=b，b0. 若a=（a1，a2），b=（b1，b2），代入上式，得（a1，a2）=（b1，b2）=（b1，b2）， 即 a1=b1，a2=b2,，整理得 a1b2-a2b1=0 式就是两个向量平行的条件。 若向量b不平行于坐标轴，即b10，b20，式可化为a1:b1=a2:b2，即两个向量平行的条件是，相应坐标成 比例。三典型例题例1.给出下列命题：若|a|=|b|，则a=b； 若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件； 若a=b，b=c，则a=c； a=b的充要条件是|a|=|b|且ab； 若ab，bc，则ac。 其中，正确命题的序号是_例2已知ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点设a，b，求 例3. 已知向量a=2e13e2，b=2e1+3e2，c=2e19e2，其中e1、e2不共线，求实数、，使c=a+b. 例4. 设a，b是两个不共线向量，若a与b起点相同，tR，t为何值时，a，tb，(ab)三向量的终点在一条直线上？例5.已知点A（2，3），B（1，5），且，求点C的坐标 例6. 已知向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，|ab|，求cos()的值 例7. 已知向量a(1, 2)，b(x, 1)，e1a2b，e22ab，且e1e2，求x 例8. 在平行四边形ABCD中，A(1，1)，(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点PAMBCDP(1) 若(3，5)，求点C的坐标；(2) 当|时，求点P的轨迹四巩固练习1等于_2若向量a（3，2），b（0，1），则向量2ba的坐标是_ 3已知A（1，2），B（2，4），C（4，3），D（x ，1），若与共线，则|的值等于_ 4.已知向量（）ABCD5已知向量a（3，-1），b（-1，2），则-3a-2b的坐标是（ ）A（7，1）B（-7，-1）C（-7，1）D（7，-1）6已知a（-1，3），b（x，-1），且ab，则x等于（）A3B-3CD- 7在平行四边形ABCD中，若，则必有( )AB或 CABCD是矩形DABCD是正方形8将按向量a=（- ，1）平移后的函数解析式是( )A BCD9已知，求线段AB的中点C的坐标。10设平面三点A（1，0），B（0，1），C（2，5）试求向量2的模。五作业反馈1将点A（2，4）按向量a（5，2）平移后，所得到的对应点A的坐标是_2已知，则x+2y的值为_.3点（-3，4）关于点B（-6，5）的对称点是（ ）A（-3，5）B（0，4.5）C（-9，6）D（3，-0.5）4已知点C在线段AB的延长线上，且等于( )A3BCD- 5设两个非零向量a，b不共线，且ka+b与a+kb共线，则k的值为( )A1B-1CD06已知向量a=()（）,b=()（1）当为何值时，向量a、b不能作为平面向量的一组基底；（2）求|ab|的取值范围。答案例1：；例2：解：()ab例3：解:29(22)(33)222，且339 2，且1例4：解：设 (R)化简整理得： ， 故时，三向量的向量的终点在一直线上例5：解(1，)，(1, )，即C(1, )例6：解:|coscos()例7：解:(12x，4)，(2x，3)，3(12x)4(2x)x例8：解：(1)设点C的坐标为(x0，y0)， 得x010 y06 即点C(10，6)(2) 点D的轨迹为(x1)2(y1)236 (y1)M为AB的中点P分的比为设P(x，y)，由B(7，1) 则D(3x14，3y2)点P的轨迹方程为巩固练习：1. 0；2. （-3，4）；3. ；4. D；5.B；6.C；7.C；8.A；9. 解：设 10. 解： （01，10）（1，1），（21