探究： 等比数列的基本性质.doc

探究：等比数列的基本性质教学思考：这节课师生将进一步探究等比数列的知识，以教材练习中提供的问题作为基本材料，认识等比数列的一些基本性质及内在的联系，理解并掌握一些常见结论，进一步能用来解决一些实际问题.通过一些问题的探究与解决，渗透重要的数学思想方法.如类比思想、归纳思想、方程思想以及一般到特殊的思想方法等.教学中以师生合作探究为主要形式，充分调动学生的学习积极性.教学重点 1.探究等比数列的性质;2.解决生活实际中的等比数列的问题.教学难点 渗透重要的数学思想.教具准备 多媒体课件、投影仪等三维目标一、知识与技能1.了解等比数列的性质;2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的在实际问题的中的应用;3.能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题.二、过程与方法1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;2.对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过程;3.当好学生学习的合作者的角色.三、情感态度与价值观1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值.教学过程导入新课师 教材中第53页练习第3题、第4题，上节课已经请大家课外进行活动探究，现在请同学们把你们的探究结果展示一下.生 由学习小组汇报探究结果.师 对各组的汇报给予评价.师 出示多媒体幻灯片一：第3题、第4题详细解答：第3题解答：(1)将数列an的前k项去掉，剩余的数列为a k+1，a k+2,.令bn=ak+n则数列a k+1,ak+2,ak+n,.可视为b1,b2，.，bn，.因为 ,所以，bn是等比数列，即a k+1，ak+2,是等比数列.(2) 取出数列an中的奇数项组成的数列是a1,a 3,a 5，a2n-1，。则 所以数列a1,a 3,a 5，a2n-1，。是以a1为首项，q2为公比的等比数列.(3)an中每隔10项取出一项组成的数列是a1,a 11,a 21，,则 (k1).所以数列a1,a 11,a21,是以a1为首项，q10为公比的等比数列.猜想：在等比数列an中，每隔k(k是一个正整数)项取出一项，组成一个新数列，这个数列是以a1为首项、qk为公比的等比数列.本题可以让学生认识到，等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列，可以让学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法.第4题解答：(1)设an的公比是q，则a52=(a1q4)2=a12q8,而a3a7=a1q2a1q6=a12q8,所以a52=a3a7.同理,a52=a1a9.(2)用上面的方法不难证明an2=a n-1a n+1(n1).由此得出，an是a n-1和a n+1的等比中项，同理可证an2=a n-kan+k(nk0).an是an-k和an+k的等比中项(nk0).师 和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多的性质，如果我们想知道的更多，就要对它作进一步的探究.推进新课合作探究师 出示ppt 在等差数列an中，从am(m1，mN*)项开始，每隔k(k是一个正整数)项取出一项，组成一个新数列，这个数列是以am为首项、kd为公差的等差数列.师 在等比数列中会有怎样的类似结论？生 猜想：对于等比数列an，类似的性质为：在等比数列an中，从am(mN*)项开始，每隔k(kN*)项取出一项，组成一个新数列，这个数列是以am为首项、qk为公比的等比数列.师 让学生给出上述猜想的证明.证明：设等比数列an公比为q，从am(m1，mN*)项开始，每隔k(kN*)项取出一项，组成的新数列为：am，am+k,am+2k,am+nk,.则： 所以数列am，am+k,am+2k,am+nk,.是公比为的等比数列。师 指出：经过上述猜想和证明的过程，已经得到了等比数列的一个新的性质.即:在等比数列an中，从am(m1，mN*)项开始，每隔k(k是一个正整数)项取出一项，组成一个新数列，这个数列是以am为首项、qk为公比的等比数列.合作探究师 出示ppt 在等差数列an中，若m+n=p+q(m,n,p,qN *)，则am+an=ap+aq.师 在等比数列中会有怎样的类似结论？生 猜想对于等比数列an，类似的性质为：m+n=p+t(m,n,p,tN*)，则aman=apat.师 让学生给出上述猜想的证明.证明：设等比数列an公比为q，则有ama n=a1qm-1a1qn-1=a12qm+n-2,apat=a1q p-1a1qt-1=a12qp+t-2.因为m+n=p+t,所以有aman=apat.师 指出：经过上述猜想和证明的过程，已经得到了等比数列的一个新的性质.即等比数列an中，若m+n=p+t(m,n,p,tN*)，则有aman=apat.师 下面有两个结论：(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；(2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方.你能将这两个结论与上述性质联系起来吗？生 思考、列式、合作交流，得到：结论(1)就是上述性质中1+n=(1+t)+(n-t)时的情形；结论(2)就是上述性质中k+k=(k+t)+(k-t)时的情形.师 引导学生思考，得出上述联系，并给予肯定的评价.师 上述性质有着广泛的应用.师 出示ppt：例题2例题2（1）在等比数列an中，已知a1=5,a9a 10=100,求a 18;（2）在等比数列bn中，b4=3,求该数列前七项之积；（3）在等比数列an中，a2=-2,a5=54,求a8.例题2三个小题由师生合作交流完成，充分让学生思考，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程.解答：(1)在等比数列an中，已知a1=5，a9a10=100，求a 18.解：a1a 18=a9a 10，a 18= =20.(2)在等比数列bn中，b4=3，求该数列前七项之积.解：b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.b42=b1b7=b2b6=b3b5，前七项之积(32)33=37=2 187.(3)在等比数列an中，a2=-2，a5=54，求a8.解：.a5是a2与a8的等比中项，542=a8(-2).a8=-1458.另解：a8=a5q3=a5=-1458.合作探究师 判断一个数列是否成等比数列的方法：1、定义法；2、中项法；3、通项公式法.例题3：已知anbn是两个项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格.从中你能得出什么结论？证明你的结论.anbnanbn判断anbn是否是等比数列例-52n-1是自选1自选2师 请同学们自己完成上面的表.师 根据这个表格，我们可以得到什么样的结论？如何证明？生 得到：如果an、bn是两个项数相同的等比数列，那么anbn也是等比数列.证明如下：设数列an的公比是p，bn公比是q，那么数列anbn的第n项与第n1项分别为a1p n-1b1qn-1与a1pnb1qn，因为它是一个与n无关的常数，所以anbn是一个以pq为公比的等比数列.教师精讲除了上面的证法外，我们还可以考虑如下证明思路：证法二：设数列an的公比是p，bn的公比是q，那么数列anbn的第n项、第n-1项与第n1项(n1,nN *)分别为a1p n-1b1q n-1、a1p n-2b1qn-2与a1pnb1qn，因为(anbn)2=(a1p n-1b1qn-1)2=(a1b1)2(pq) 2(n-1),(a n-1bn-1)(a n+1bn+1)=(a1pn-2b1qn-2)(a1pnb1qn)=(a1b1)2(pq)2(n-1),即有(anbn)2=(a n-1bn-1)(a n+1bn+1)(n1,nN *),所以anbn是一个等比数列.师 根据对等比数列的认识，我们还可以直接对数列的通项公式考察：证法三：设数列an的公比是p，bn公比是q