等比数列的定义教案.doc

1等比数列的定义 如果数列 满足： 是常数），则称这个数列 为等比数列，常数 叫做等比数列的公比 在理解等比数列的定义时注意：例如 （1）若 是等比数列，则其各项均不为零，公比 也不为零。其任意一项与它“隔项”（ 例如：与 ）的符号相同。（2）定义给出了等比数列 的一个递推关系： （3）定义给出了证明一个数列是否为等比数列的方法，即：当时，证明 是否等于一个不等于零的常数来判断这个数列是否为等比数列2等比数列的通项公式等比数列的通项公式为： （其中 是第一项， 是公比）因为等比数列的通项公式可以写成 ，所以可以这样认为：如果数列 中 是n的指数形式的函数，则这个数列是等比数列当 时，如果 （或 ），这个数列是递增（或递减）的；当 时，如果 （或 ），这个数列是递减（或递增）的；当 时，这个数列是常数列；当 时，这个数列是摆动数列3等比中项等比中项：若三个数 成等比数列，那么G叫做 的等比中项，且 （或 ）也可以得出这样的结论：a、b、c成等比数列 （a、b、c均不为零）（注：若不注明a、b、c不为零， 只能是a、b、c为等比数列的必要条件）4等比数列的表示如果一个数列是等比数列，公比为 ，那么该数列可表示为： 列举法： ，可简写成 （ ）通项公式法： （ ）递推公式法：已知 （或数列任一项），及 图象法：表示数列 （ ）的各点均在函数 的图象上（其中 ）且是一些孤立的点 5等比数列的判定方法 （1） （ 为常数； 为等比数列 （2） （ 为公比，C为非零常数， 为等比数列 （3） 为等比数列【有关等比数列概念和公式的题目】 例1 在正数 、 之间（ ）插入 个实数，使它们成为一个等比数列，求公比 分析 在正数 、 之间（ ）插入 个实数形成一个数列，此时 是这个数列的第一项， 是这个数列的第 项解：由题意，知 当 为奇数时， 当 为偶数时， 说明 两个正数之间插入奇数个实数，使它成为等比数列， 就有两种可能，因为可构成两个等比数列。例2 在等比数列 中，已知 ，求该数列的第11项 解：设首项为 ，公比为 ，则 （2）（1）得： ，将 代入（1），得 ，所以， 说明 在等比数列中，有五个元素： ，其中 与 是两个基本的量，数列中其他各项可以用 与 表示，由通项公式，前 项和公式及已知条件列出方程及方程组是解决这一类问题的基本方法。例3 在等比数列 中，（1） ，则 ；（2） ，则 ；解：（1） ， （2） 说明：小题（1）使用了等比中项的概念，也可推广为：若 成等差数列，则 成等比数列。小题（2）可考虑用特殊数列法，设 为常数列 ，则有 ，所以 例4 已知：四个正数成等比数列，其积为16，中间两项的和为5，求公比及这四个数。解：因为四个数都是正数，可设四个数为 、 、 、 所以 ，可得 又因为 ，所以 ，或 ，这数列的公比为4，或 。由上可知，这四个数为 ，1，4，16；或16，4，1， 。点评： 已知三个数成等比数列，且已知三个数之积时，一般设此三个数为 ， ， ，其中 为公比，这样立即就可求出 的值，从而减少解题的计算量。但若已知四个数成等比数列及这四个数的积，一般不将这四个数设成 ， ， ，因为这种设法即假设四个数的公比为 ，容易漏掉公比为负数的情况，造成漏解。本题因为题设中已知四个数都为正数，所以也可以像上面一样去解。如果题目改为：有四个数依次成等比数列，其积为 ，中间两项和为4，求这四个数和公比。解： 设这四个数为 、 、 、 ，则 由（2）得： （3） 得： ，所以 （4）由（4）可解出： ，或 将 的值代入（2），可得 或 所以，这四个数为16，8，4，2；或2，4，8，16。说明：本题如假设四个数为 ，则 由（1）可知： ，由（2）知： ，消 得： ，因此 ，所以 不存在，故公比不存在，这四个数也不存在。很明显，后一种解法是错误的，原因就在于公比为负数，而假设中的公比一定为正。例5 设数列 是各项为正的等比数列，公比 ，且 ，问数列 是等差数列还是等比数列？并请说明理由？解：设 的首项为 ，则： 因为数列 是各项为正的等比数列，所以公比 ，所以 不为零，此时 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列说明：（1）判断一个数列是不是等比数列，一般情况下可以从定义出发，即对任意正整数 都有 （其中 为不等于零的常熟）；（2）题目条件改变：“数列 是等比数列，且公比 ”，其它条件不变，问数列 是等差数列还是等比数列解： ，当 时， ，此时 ，所以数列 市以 为首项， 为公比的等比数列；当 时， ，此时 是各项为0的等差数列（本题中有同学会遗漏 的情况，因为 时，首项为0,这时数列就不是等比数列）【等差数列、等比数列的综合题目】 例1 设 ，则数列 （ ）A是等差数列但不是等比数列B是等比数列但不是等差数列C既是等差数列又是等比数列D既不是等差数列又不是等比数列解：观察条件，不难注意到 ，得 ，故 则可排除（B）、（D），又因（C）是错误的，否则如果（C）正确，易得 ，这与题设 相矛盾。故选A。例2 三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，也可以成等比数列，已知这三个数的和等于6，求此三个数。分析：解此类问题的通常解法是设三数为 ，用两个字母表示三个数，由于三数虽成等比数列，但是没有明确可作为等比数列三数的顺序，因此要区分不同的情况求解。解：由已知，可设三个数为 ， ，依题意，故 （1）若 为等比中项，得 ，故 （不合题意，舍）。（2）设 为等比中项，得，得 ，则三个数为8，2，4。（3）设 为等比中项，得则三个数为4，2，8。例3 已知等差数列 的公差 ，且 成等比数列，则 解：将等差数列中的各项化成基本量 由 成等比数列，得 即 因此 说明 本题运用了等差数列中最基本的方法，利用基本量求出数列的各项，同时，利用等比数列的定义求出 和 这两个基本量之间的关系，从而达到化简的目的。例4 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数。解一 设四个数依次为 ，依题意 整理得： ， 解得： 代入（1）式， 从而求出四个数为0，4，8，16；或15，9，3，1。解二 设四个数依次为 ，依题意，得 整理得： ，解得： 代入（1）式， 所以，求出四个数为0，4，8，16；或15，9，3，1。说明 解一是利用等差数列、等比数列的条件选设未知数，解二是利用“和”的关系选设未知数。可见，充分分析题设条件中量与量的关系，从而确定运用哪些条件设未知数，哪些条件列方程是解这类问题的关键所在。【等比数列应用题】 例：某工厂三年的生产计划，规定从第二年起每年比上一年增产的产值相同，三年的总产值为300万元；如果第一年、第二年、第三年分别比原计划的产值多10万元、10万元、11万元，那么每年比上一年的产值增长的百分率相同，求原计划中每一年的产值 解：因为从第二年起每年比上一年增长的产值相同，故原计划中三年产值组成等差数列，设原计划中三年的产值分别为 ， ， ，则有 因为变化后的三年，每年比上一年的产值增长的百分率相同，故变化后三年的产值组成等比数列，则有：由和，解得： 答：原计划中第一年、第二年、第三年的产值依次为90万元、100万元、110万元说明解数列应用题，应理解和运用一些日常用语，如“增长的产值相同”，即告知此数列是“等差数列”；“增长的百分率相同”，即告知此数列为“等比数列”一、 填空题1等比数列 中， ，则 。2已知数列 前三项之和为2，后三项成等比数列，则 ， 3某工厂生产总值月平均增长率为 ，求该工厂平均每年增长率是 。4在等比数列 如，（1）若 ，则 ；（2）若 ，则 ；（3）若 ，且 ，则 。5在2和30之间插入两个正数，使前三个成为等比数列，后三个成等差数列，则这两个正数之和是 。二、解答题6有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成公差是30的等差数列，求这四个数。7在 和 之间插入 个正数，使这 个数依次成等比数列，求所插入的 个数之积。8一个等比数列有三项，如果第二项加4还作为第二项，所得的三项成等差数列；如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成等比数列，求原来的三个数。9在4和64之间插入三个正数 ，使 与 依次成等比数列，且 依次成等差数列，求 的值10浓度为20%的酒精20升，倒出1升后加入