一维抛物线偏微分方程数值解法(3)(附图及matlab程序).doc

一维抛物线偏微分方程数值解法（3） 上一篇参看 一维抛物线偏微分方程数值解法（2）（附图及matlab程序）解一维抛物线型方程(理论书籍可以参看孙志忠：偏微分方程数值解法）Ut-Uxx=0, 0x1,0t0) U(x,0)=ex, 0=x=1,U(0,t)=et,U(1,t)=e(1+t), 0t xlabel(x);ylabel(t);zlabel(e); title(误差曲面)plot(x,e)plot(t,e) 误差较向前欧拉法减小一半但是运行时间较长，约39秒,而前两次运行只需l秒左右；u p e x t=CN(0.01,0.01,100,100);运行需三分钟左右,误差比前次提高五倍,运算量也提高五倍u p e x t=CN(0.1,0.1,10,10);surf(x,t,e) 运行需要2秒；精度还是挺高的；u p e x t=CN(0.1,0.2,10,5);surf(x,t,e)误差还可以接受此种方法精度高，计算量较大二：用迭代法解线性方程组：Matlab程序如下：function u e p x t k=CN1(h1,h2,m,n,kmax,ep)% 解抛物线型一维方程 C-N格式 （Ut-aUxx=f(x,t),a0)%用g-s(高斯-赛德尔)迭代法解%kmax为最大迭代次数%m,n为x,t方向的网格数，例如（2-0）/0.01=200;%e为误差，p为精确解syms temp;u=zeros(n+1,m+1);x=0+(0:m)*h1;t=0+(0:n)*h2;for(i=1:n+1) u(i,1)=exp(t(i); u(i,m+1)=exp(1+t(i);end for(i=1:m+1) u(1,i)=exp(x(i);endfor(i=1:n+1) for(j=1:m+1) f(i,j)=0; endenda=zeros(n,m-1);r=h2/(h1*h1); %此处r=a*h2/(h1*h1）；a=1for(k=1:kmax) for(i=1:n) for(j=2:m) temp=(r/2*u(i,j-1)+(1-r)*u(i,j)+r/2*u(i,. j+1)+h2*f(i,j)+r/2*u(i+1,j-1)+r/2*u(i+1,j+1)/(1+r); a(i+1,j)=(temp-u(i+1,j)*(temp-u(i+1,j); u(i+1,j)=temp;%此处注意是u(i+1,j),而不是u(i+1,j+1)% end end a(i+1,j)=sqrt(a(i+1,j); if(kkmax) break; end if(max(max(a)ep) break; endendfor(i=1:n+1) for(j=1:m+1) p(i,j)=exp(x(j)+t(i); e(i,j)=abs(u(i,j)-p(i,j); endendu e p x t k=CN1(0.1,0.005,10,200,10000,1e-10);运行速度：1秒迭代次数k =81surf(x,t,e)第二幅图为三角追赶法解方程作出的图，两者几乎一样；由于迭代法速度很快，所以可以将区间分得更小u e p x t k