直线方程及其应用.doc

直线方程及其应用一. 教学内容： 直线方程及其应用【教学要求】 1. 理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练求出直线方程。 2. 掌握两直线平行、垂直的条件；掌握两条直线所成角的公式和点到直线的距离公式。 3. 了解二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会简单应用。二. 知识串讲：（一）基本公式 1. 有向线段 设P1（x1，y1），P2（x2，y2） P为内分点，0；P为外分点，0。 例如：设ABC，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3） 2. 直线l的倾斜角（直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角） （二）直线方程 1. 直线方程： （1）点斜式：yy0k（xx0）（已知：点P0（x0，y0），斜率k） （2）斜截式：ykxb（已知：斜率k及纵截距b） （3）两点式： （4）截距式： （5）一般式：AxByC0（A、B不同时为0） 2. 两条直线的位置关系： （5）夹角：按逆时针方向从l1转到l2所成的角，叫做l1到l2的角。 两条直线相交所成的锐角或直角，叫做两条直线的夹角。 3. 点到直线的距离公式： P（x0，y0）是已知点，l：AxByC0是已知直线，则 4. 对称点： 5. 直线系方程： （1）过定点（x1，y1）的直线系方程： （2）平行于直线AxByC0的直线系方程： （3）垂直于直线AxByC0的直线系方程： 系方程： （三）简单的线性规划 1. 二元一次不等式表示平面区域 一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域。 只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0，y0）从Ax0By0C的正、负即可判断AxByC0表示直线哪一侧的区域。（若C0时，可取原点（0，0） 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。 2. 线性规划： I. 基本概念： （1）线性约束条件：由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组，是对x，y的约束条件。 （2）目标函数： 线性目标函数：关于x，y的一次解析式。 （3）可行解：满足线性约束条件的解（x，y）。 （4）可行域：所有可行解组成的集合。 （5）最优解：使目标函数达到最值的可行解。 （6）线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最大（小）值问题。 II. 用图解法解线性规划的步骤： （1）分析并将已知数据列出表格； （2）确定约束条件； （3）确定线性目标函数； （4）画出可行域； （5）利用线性目标函数，求出最优解； （6）实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解。 例如：已知动点（x，y）所在区域是如图所示的阴影部分（包括边界），则目标函数zx2y的最小值和最大值分别为_。 解：作直线x2y0平移此直线经过第一个点是（1，0） 再往上平移到最后一点为（4，4） 【典型例题】 例1. 解析： 选C 例2. 解析1：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得斜率的范围，进而得到倾斜角的范围。解析2： 例3. 一条直线经过点P（2，3），并且分别满足下列条件，求直线方程： （1）倾斜角是直线x4y30的倾斜角的2倍。 （2）与x，y轴的正半轴交于A、B两点，且AOB的面积最小。 解：（1）设所求直线的倾斜角为，已知直线的倾斜角为，则 例4. 证明一：以B为坐标原点，直线BC为x轴，建立如图所示的直角坐标系。取|BC|为单位长1，则各点坐标为：APCP证明二：以B为坐标原点，直线BC为x轴，建立如图所示的直角坐标系，过D作DFBE交AC于F点，取|BC|为单位长1，则 APCP说明：数形结合强调的是将代数问题几何化，而解析法则是通过坐标系将几何问题代数化。 例5. 已知直线l1：mx8yn0与l2：2xmy10互相平行，求过点 解： 例6. 解： 解法1：在直线l1上取一点B（2，0），设点B关于直线l的对称点C的坐标为C（x0，y0） 解法2：到角公式）： 例7. 解：（由三角形两边之差小于第三边）且为1。注： 例8. A. 只能是（-3，0）B. 只能是（0，6）C. 只能是（-3，0）或（0，6）D. 有无数个解析：则平移向量为（-3，0），就可能误选A。显然（h，k）不唯一确定选D 例9. 解：带状区域，但不包括直线x1和x3上的点。 所以，原不等式组表示的区域如图所示： 例10. 某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产量不少于15t，已知生产甲产品1t，需煤9t，电力4kWh，劳动力3个；生产乙产品1t需煤4t，电力5kWh，劳动力10个。甲产品每1t利润7万元，乙产品每1t利润12万元，但每天用煤不超过300t，电力不超过200kWh，劳动力只有300个，问每天各生产甲、乙两种产品多少，能使利润总额达到最大？分析：将已知数据列成表：解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x t，y t，利润总额为z万元如图作出可行域，作出一组平行直线7x12ym（m为参数）中，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线，此直线过4x5y200和3x10y300的交点A（20，24），即生产甲、乙两种产品分别为20t、24t时，利润总额最大，【模拟试题】一. 选择题。 1. 直线经过二、三、四象限，的倾斜角为，斜率为k，则（ ） A. B. C. D. 2. 经过点（10，）且倾斜角的余弦值为的直线方程是（ ）A. B. C. D. 3. 直线过点P（1，2）且与两坐标轴围成等腰三角形，则的方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 已知两条直线，其中a为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 5. 点A（4，5）关于直线的对称点为，则的方程为（ ）A. B. C. D. 6. 在约束条件下，目标函数（ ） A. B. C. D. 二. 填空题。 7. 从M（2，2）射出一条光线，经过x轴反射后过点N（，3），则反射点P的坐标为_。 8. 已知过点及Q（0，b）的直线的倾斜角介于120与150之间，则b的取值范围是_。 9. 如果直线与直线平行，那么系数a等于_。 10. 如果直线与直线互相垂直，那么a的值为_。 11. 直线过点（2，1），且原点到的距离是1，则的方程是_。三. 解答题。 12. 如图，已知ABC的三边方程分别为，BC：，CA：，求：（1）B的大小；（2）BAC的内角平分线所在直线的方程；（3）AB边上的高所在直线的方程。 13. 若一直线被直线和截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线的方程。 14. 预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子、椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行。【试题答案】一. 选择题。 1. B2. A3. B 4. C提示：直线的倾斜角为依题意的倾斜角的取值范围为即从而的斜率的取值范围为答：选C。 5. B6. C二. 填空题。 7. 8. 提示： 9. 10. 11. 或三. 解答题。 12. 解：（1）由已知得：B是直线BA到BC的角（2）设为BAC平分线上任意一点，则解得：或（一条为BAC内角平分线，另一条为外角平分线）由图形知即为所求。（3）先求出BC与AC的交点，AB边上的高线的斜率为，即 13. 由于两已知直线在y轴上的截距不是互为相反数，故所求直线不是y轴，设所求直线方程为，由得交点为因为A点关于原点对称点在直