数列的综合应用(第二课时).doc

数列的综合应用考纲要求：1掌握数列问题的综合应用 2掌握数列与其它知识的交汇点考点回顾1数列的概念，数列的通项公式与递推关系式；等差等比数列的有关公式和性质。2判断和证明数列是等差（等比）数列常用三种方法：(1)定义法：对于n2的任意自然数,验证为同一常数。(2) 通项公式法： 若，则为等差数列；若，则为等比数列。(3)中项公式法：验证都成立。3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法、累加累乘法、归纳猜想证明法等。4.数列的综合应用： 函数思想、方程思想、分类讨论等思想在解决数列综合问题时常常用到。数列与函数、数列与不等式的综合、数列与解析几何的综合等内容。典题解析考点二：数列与函数、方程、向量等的联系例题3.在平面直角坐标系中，已知三个点列An，Bn，Cn，其中,，满足向量与向量共线，且点（B，n）在方向向量为（1，6）的线上 （1）试用a与n表示； （2）若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，试求a的取值范围。分析：第（1）问实际上是求数列的通项；第（2）问利用二次函数中求最小值的方式来解决。解：（1）又Bn在方向向量为（1，6）的直线上， （2）二次函数是开口向上，对称轴为的抛物线又因为在a6与a7两项中至少有一项是数列an的最小项，对称轴点评：本题是向量、二次函数、不等式知识和交汇题，要解决好这类题是要有一定的数学素养的。例题4.已知，若数列an 成等差数列. （1）求an的通项an; （2）设 若bn的前n项和是Sn，且分析：观察数列特征，利用等差数列基本条件，得出通项公式，进而求解.解：解：设2，f(a1), f(a2), f(a3),，f(an),2n+4的公差为d，则2n+4=2+(n+21)dd=2,， （2）， 点评：本题考查等差、等比数列的性质，数列的求和，不等式的放缩，有一定的综合性。考点三：数列与解析几何的联系例题5. 过曲线上的点作曲线C的切线l1与曲线C交于，过点P2作曲线C的切线l2与曲线C交于点，依此类推，可得到点列：，（1）求点P2、P3的坐标； （2）求数列的通项公式.（3）记点到直线的距离为，求证：.解：（1） （2）曲线C上点处的切线的斜率为，故得到的方程为 联立方程消去y得：化简得： 所以：由得到点Pn的坐标由就得到点的坐标所以： 故数列为首项为1，公比为2的等比数列所以： （3）由（2）知：所以直线的方程为：化简得： 所以 强化训练1在等比数列中， 和 是二次方程 的两个根，则的值为 （ ） （A） （B） （C） （D）【答案】A解析：根据韦达定理，有，又因为，则，所以。2. 设函数f（x）满足f（n+1）=（nN*）且f（1）=2，则f（20）为（）A95B97C105D192【答案】Bf（n+1）f（n）=相加得f（20）f（1）=（1+2+19）f（20）=95+f（1）=973. 已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为,则的取值范围是（ ）A B C D 【答案】D 设三边为则，即 得，即4. 在中,是以为第三项, 为第七项的等差数列的公差,是以为第三项, 为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（ ）A钝角三角形 B锐角三角形 C等腰直角三角形 D以上都不对【答案】B ，都是锐角5弹子跳棋共有颗大小相同球形弹子，现在棋盘上将它们叠成正四面体形球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子共有 （ ） （A）颗 （B）4颗 （C）颗 （D）颗【答案】B解析：最上面一层放1个，设最上一层是第一层，由上而下共有层，第层弹子数为，总弹子数为，由得，故时剩余最小，且剩余颗。6三个数成等比数列，且，则的取值范围是 （ ） （A） （B） （C） （D）【答案】D解析：设，则有。当时，而，；当时，即，而，则，故。7设点(，0)，和抛物线：yx2an xbn(nN*)，其中an24n，由以下方法得到：x11，点P2(x2，2)在抛物线C1：yx2a1xb1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，点在抛物线：yx2anxbn上，点(，0)到的距离是到 上点的最短距离 ()求x2及C1的方程 ()证明是等差数列8解：()由题意,得A(1,0),C1：y=x2-7x+b1.设点P(x,y)是C1上任意一点,则|A1P|=令f(x)=(x-1)2+(x2-7x+b1)2,则由题意得,即又P2(x2,0)在C1上,2=x22 -7x2+b1解得x2=3,b1=14.故C1方程为y=x2-7x+14.()设P(x,y)是C1上任意一点,则|AnP|=令g(x)=(x-xn)2+(x2+anx+bn)2,则,由题意得, 即=0,又,(xn+1-xn)+2n(2xn+1+an)=0(n1), 即(1+2n+1)xn+1-xn+2nan=0, (*)下面用数学归纳法证明xn=2n-1. 当n=1时,x1=1,等式成立. 假设当n=k时,等式成立,即xk=2k-1.则当n=k+1时,由(*)知(1+2k+1)xk+1-xk+2kak=0, (*) 又ak=-2-4k-,.即当n=k+1,时等式成立. 由知,等式对nN+成立,xn是等差数列.9. 已知f(x)=(x-1)2，g(x)=4(x-1)，数列an满足a1=2，(an+1-an)g(an)+f(an)=0。(1)用an表示an+1；（2）求证：an-1是等比数列；（3）若bn=3f(an)-g(an+1)，求bn的最大项和最小项。18.解：（1）(an+1an)g(an)+f(an)=0，f(an)（an1）2，g(an)4（an1），（an1）（4an13an1）0, 又a1=2，。（2），an-1是以a1-1=1为首项，为公比的等比数列。（3）由（2）可知：an-1，an1。从而bn= 3f(an)g(an+1)因为y=为减函数，所以bn中的最大项为b1 =0, 又bn，当n为整数时，所以只须考虑接近于。当n=3时，与相差，当n=4时，与相差而，所以bn中最小项为.19已知抛物线，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点，又过点作斜率为的直线交抛物线于点，再过作斜率为的直线交抛物线于点，如此继续，一般地，过点作斜率为的直线交抛物线于点，设点（）令，求证：数列是等比数列（）设数列的前项和为，试比较与的大小解：（1）因为、在抛物线上，故，又因为直线的斜率为，即，代入可得，故是以为公比的等比数列；（2），故只要比较与的大小方法（一），当时，；当时；当时，方法（二）用数学归纳法证明，其中假设时有,则当时, .温馨提示1“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果2归纳猜想证明体现由具体到抽象，由特殊到一般，由有限到无限的辩证思想学习这部分知识，对培养学生的逻辑思维能力，计算能力，熟悉归纳、演绎的论证方法，提高分析、综合、抽象、概括等思维能力，都有重大意义3解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题4数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解方法总结1. 求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项。2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式；数学归纳法；有的还要用到条件不等式。3. 数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向。热点分析：1. 数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意 与的关系。关于递推公式，在考试说明中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”。但实际上，从近两年各地高考试题来看，是加大了对“递推公式”的考查。2. 探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给