第3章习题解a.doc

第三章 机械能守恒3-1 有一列火车，总质量为M，最后一节车厢质量为m若m从匀速前进的列车中脱离出来，并走了长度为s的路程之后停下来。若机车的牵引力不变，且每节车厢所受的摩擦力正比于其重量而与速度无关。问脱开的那节车厢停止时，它距列车后端多远。解：每节车厢所受的阻力为，牵引力; 节车厢的前进力为 . 方法一：在以匀速v0前进的参照系看，落后一节车厢停止时落后的距离为， 节车厢多走的距离为; 此时最后一节车厢与列车后端相距. 方法二：以地面为参考系， 则，；且. 由此解得 ，；最后得 .3-2 一质点自球面的顶点由静止开始下滑，设球面的半径为R，球面质点之间的摩擦可以忽略，问质点离开顶点的高度h多大时开始脱离球面。解：质点脱离球面时，要求球面对它的正压力N = 0. 由能量守衡 ，向心力公式 , 及角度关系 ;最后解得 3-3 如本题图，一重物从高度为h处沿光滑轨道滑下后，在环内作圆周运动。设圆环的半径为R，若要重物转至圆环顶点刚好不脱离，高度h至少要多少？解：由能量守恒和向心力公式 , ;最后解得 , 即高度h至少要为5R/2.3-4 一物体由粗糙斜面底部以初速v0冲上去后又沿斜面滑下来，回到底部时的速度减为v1，求此物体达到的最大高度。解：设滑动摩擦力为fr , 则由功能原理 , ; 可解得 .3-5 如本题图，物体A和B用绳连接，A置于摩擦系数为m的水平桌面上，B在滑轮下自然下垂。设绳与滑轮的质量都可忽略，绳不可伸长。已知两物体的质量分别为mA和mB，求物体B从静止下降一个高度h后所获得的速度，解：由滑动摩擦力 , 及功能原理 ; 可解得 .3-6 用细线将一质量为m的大圆环悬挂起来。两个质量均为M的小圆环套在大圆环上，可以无摩擦地滑动。若两小圆环沿相反方向从大圆环顶部自静止下滑，求在下滑过程中，q 角取什么值时大圆环刚能升起。解：大圆环上升时,细线的拉力T= 0. 此时小环对大环而施一向上压力N, 且.又小环受一向下压力N , 其运动方程为 ; 再加上能量守恒公式 ;可解得 3-7 如本题图，在劲度系数为k的弹簧下挂质量分别为m1和m2 的两个物体，开始时处于静止。若把m1、m2之间的连线烧断，求m1的最大速度解：设弹簧原长为y0 , m1+m2处于静止时长为y2 , m1静止时长为y1 ,剪断m2后，m1经过其平衡位置时，速度最大，记为vmax . 由弹性力公式知 ， ；与机械能量守恒公式 一起，解得 .3-8 劲度系数为k的弹簧一端固定在墙上，另一端系一质量为mA的物体。当把弹簧的长度压短x0后，在它旁边紧贴着放一质量为mB的物体。撤去外力后，设下面是光滑的水平面，求：(1)A、B离开时，B以多大速率运动；(2) A距起始点移动的最大距离。解：（1）设B离开时的速率为vB , 则由机械能量守恒公式 , 可解得 （2）若A距平衡位置的最大距离为x0m , 则由机械能量守恒公式, 可解得 ; 故A距起始点移动的最大距离为 .3-9 如本题图，用劲度系数为k的弹簧将质量为mA和mB的物体连接，放在光滑的水平面上。mA紧靠墙，在mB上施力将弹簧从原长压缩了长度x0，当外力撤去后，求：(1) 弹簧和mA、mB所组成的系统的质心加速度的最大值；(2) 质心速度的最大值。解：(1) 外力撤去的瞬间， m B受到向右的弹性力, mA受到向左的弹性力和向右的来自墙体的作用力N；由于此时A静止，故. 这样，系统(mA+mB+弹簧)受到的外力仅为 ，故有： .当mA离开墙体后， .（2）当弹簧恢复到原长时，mA静止, mB的动能最大：, 即 .此后系统在没有外力的作用下运动，质心速度不变, 质心最大速度vcmax服从关系式：, 即： .此时 其中 为A, B 相对于质心系的动能.3-10 如本题图，质量为m1和m2的物体以劲度系数为k的弹簧相连，竖直地放在地面上，m1在上，m2在下。(1) 至少先用多大的力F向下压m1，突然松开时m2才能离地？(2)在力F撤除后，由m1、m2和弹簧组成的系统质心加速度ac何时最大？何时为0？m2刚要离地面时ac=？解：（1）已知未加力时弹簧被压的长度为 ，加力F后弹簧被压的长度为 ；若弹簧伸长l 2 时，m2方能离地（此时对地的压力为N = 0）， 则 .加上机械能守恒公式 ，可导出 .（2）力F撤除后，（m1+m2+弹簧）系统所的总受外力为 （以向上为正）, 即 , l0为弹簧原长.a) 当F刚撤除时，, (方向向上).b) 当 ; 即 c) 当 ，即弹簧伸长l2时，N = 0；;即 , 这便是m2刚要离地时的质心力加速度，方向向下。3-11 如本题图，质量为M的三角形木块静止地放在光滑的水平面上，木块的斜面与地面之间的夹角为q一质量为m的物体从高h处自静止沿斜面无摩擦地下滑到地面。分别以m、M和地面为参考系，计算在下滑的过程中M对m的支撑力N及其反作用力N 所作的功，并证明二者之和与参考系的选择无关，总是为0解：从p.105的2-17题可算出：, , , . 以m为参考系，m不动，其位移，故; . 以M为参考系，M不动，其位移 ，故; . 以地面为参考系，M的位移为，m的位移为, , 故 . 设有两参考系、，M和m的位移分别为、，相对的位移为, , ;在k 系, ，; 故 ; 在k系, , ; 由此可证明, 3-12 根不可伸长的绳子跨过一定滑轮，两端各拴质量为m和M的物体(M m)。M静止在地面上，绳子起初松弛。当m自由下落一个距离h后绳子开始被拉紧。求绳子刚被拉紧时两物体的速度和此后M上升的最大高度H。解： m下降距离h时，按机械能守恒公式有初速度 . 经（很短）时间后m , M具有相同的速度v ; 由动量定理， 对m有：; 对M有：. 绳子被拉紧的时间内，故可忽略; 即. 由此可得两物体的速度 . 设m再下降H，M上升H后，m , M的终端速度为0，按机械能守恒定律有,最后得 .又整个过程的能量损耗为 .3-13 如本题图，质量为m的物体放在光滑的水平面上，m的两边分别与劲度系数为k1和k2的两个弹簧相连，若在右边弹簧末端施以拉力f，问：(a) 若以拉力非常缓慢地拉了段距离l，它作功多少？(b) 若拉到距离l后突然不动，拉力作功又如何？解：(a) 拉力F拉得缓慢，从0增大，故是变力，不是恒力. 即 . 按功能原理 , 最后得 (b) 施力的方式比较复杂，现考虑两个极限情形：第一，如上述（a）的情形：A被分配到两弹簧上，此时A最小。第二，A只分配到上，这相当于拉力，为急速地拉动，此时及m都来不及变化和运动，故. 一般地，有： 3-14 质量为M的木块静止在光滑的水平面上。一质量为m的子弹以速率