离散型随机变量及分布函数ppt课件.ppt

1 二 随机变量的概念 一 随机变量的引入 1 随机变量 第二章随机变量及其分布 2 1 有些试验结果本身与数值有关 本身就是一个数 例如 掷一颗骰子面上出现的点数 十月份绵阳的最高温度 每天从绵阳下火车的人数 3 2 在有些试验中 试验结果看来与数值无关 但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果 也就是说 把试验结果数值化 正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样 二者建立了一种对应关系 4 二 随机变量的概念 1 定义 e X e R 5 随机变量随着试验的结果不同而取不同的值 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率 因此随机变量的取值也有一定的概率规律 2 随机变量的取值具有一定的概率规律 随机变量是一个函数 但它与普通的函数有着本质的差别 普通函数是定义在实数轴上的 而随机变量是定义在样本空间上的 样本空间的元素不一定是实数 2 说明 1 随机变量与普通的函数不同 6 随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内 或者说 随机事件是从静态的观点来研究随机现象 而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象 3 随机变量与随机事件的关系 7 例1掷一个硬币 观察出现的面 共有两个结果 若用X表示掷一个硬币出现正面的次数 则有 即X e 是一个随机变量 8 例2在有两个孩子的家庭中 考虑其性别 共有4个样本点 若用X表示该家女孩子的个数时 则有 可得随机变量X e 9 例3设盒中有5个球 2白3黑 从中任抽3个 则 是一个随机变量 例4设某射击手每次射击打中目标的概率是0 8 现该射手射击了30次 则 是一个随机变量 且X e 的所有可能取值为 且X e 的所有可能取值为 10 例5某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过 如果某人到达该车站的时刻是随机的 则 是一个随机变量 且X e 的所有可能取值为 11 随机变量 离散型 连续型 所有取值可以一一列举 有限或无穷可列个 所有取值不能一一列举 但能连续的充满一个区间 非离散型 其它 3 随机变量的分类 取到次品的个数 电话交换台在单位时间内收到的呼叫数 电视机的寿命 测量误差 12 一 离散型随机变量的分布律 二 常见离散型随机变量的概率分布 三 小结 第二节离散型随机变量及其分布律 13 性质 一 离散型随机变量的分布律 定义 非负性 归一性 这两条性质可作为分布律的判定 14 例2 袋中有5个球 编号为1 2 3 4 5 从中任意取3个球 求取出的3个中的最大号数X的分布律 解 X的所有可能取值为3 4 5 15 例3 一汽车沿一街道行驶 需要通过三个均设有红绿信号灯的路口 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立 且红绿两种信号灯显示的时间相等 以X表示该汽车遇到红灯前已通过的路口的个数 求X的分布律 解 依题意 X可取值0 1 2 3 16 二 常见离散型随机变量的概率分布 设随机变量X只可能取0与1两个值 它的分布律为 则称X服从 0 1 分布或两点分布 1 0 1 分布或两点分布 17 例1 抛硬币 试验 观察正 反两面情况 随机变量X服从 0 1 分布 18 例2200件产品中 有190件合格品 10件不合格品 现从中随机抽取一件 那末 若规定 则随机变量X服从 0 1 分布 19 两点分布是最简单的一种分布 任何一个只有两种可能结果的随机现象 比如新生婴儿是男还是女 明天是否下雨 种籽是否发芽等 都属于两点分布 说明 20 等可能分布 如果随机变量X的分布律为 实例抛掷骰子并记出现的点数为随机变量X 21 1 伯努利试验 2 n重伯努利试验 22 例1抛一枚硬币观察得到正面或反面 若将硬币抛n次 就是n重伯努利试验 例2抛一颗骰子n次 观察是否 出现1点 就是n重伯努利试验 23 称这样的分布为二项分布 记为 2 二项分布 24 例如在相同条件下相互独立地进行5次射击 每次射击时击中目标的概率为0 6 则击中目标的次数X服从b 5 0 6 的二项分布 25 例2 解 26 解 因此 例3 27 有一繁忙的汽车站 每天有大量汽车通过 设每辆汽车在一天的某段时间内 出事故的概率为0 0001 在每天的该段时间内有1000辆汽车通过 问出事故的次数不小于2的概率是多少 例4 故所求概率为 28 Poisson定理说明若X b n p 则当n较大 p较小 而适中 则可以用近似公式 问题如何计算 29 其中 n100 np10时近似效果就很好 实际计算中 等式右端给出的概率分布 是又一种重要的离散型分布 泊松分布 历史上 泊松分布是作为二项分布的近似 于1837年由法国数学家泊松引入的 30 3 泊松分布 31 32 电话呼唤次数 交通事故次数 商场接待的顾客数 地震 火山爆发 特大洪水 33 又如在某个时段内 医院急诊病人数 一个容器中的细菌数 一本书一页中的印刷错误数 一匹布上的瑕疵点个数 放射性物质发出的粒子数 34 实例设某批产品的次品率为p 对该批产品做有放回的抽样检查 直到第一次抽到一只次品为止 在此之前抽到的全是正品 那么所抽到的产品数X是一个随机变量 求X的分布律 解 称X服从几何分布 35 4 几何分布 若随机变量X的分布律为 则称X服从几何分布 说明几何分布可作为描述某个试验 首次成功 的概率模型 36 离散型随机变量的分布 两点分布 等可能分布 二项分布 泊松分布 几何分布 二项分布 三 小结 37 38 39 40 一 分布函数的概念 二 分布函数的性质 第三节随机变量的分布函数 41 1 分布函数的定义 一