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天津大学试卷专用纸学院 专业 班 年级 学号 姓名 共 3页 第 1页20092010学年第一学期期末考试试卷矢量分析与场论(A卷 共 3 页)(考试时间:2009年11月13日)题号一二三四五六七成绩核分人签字得分一、(1)将空间曲线表示为以其为失端曲线的矢量函数;(2)求上述曲线在点处的切线方程。(10分)二、已知空间数量场,为数量场中的一个点,(20分)a) 求过点的等值面方程;b) 求在点处的梯度;c) 求在点处沿矢径方向的方向导数;d) 求在点处沿曲线朝 增大一方的方向导数;e) 求在点处沿其等值面朝轴负向一方的法线方向的方向导数。天津大学试卷专用纸学院 专业 班 年级 学号 姓名 共 3 页 第 2 页三、已知矢量场, (16分)(1)求沿空间曲线逆时针方向(从轴正向往下看)的环量;(2)求从内向外穿过半球面的通量。四、验证矢量场是有势场,求其势函数,并判断其是否为调和场。(10分)五、已知矢量场,(1)求过点的矢量线方程;(2)计算的散度和旋度;(3)求过点朝轴正向一方的环量面密度。(16分)天津大学试卷专用纸学院 专业 班 年级 学号 姓名 共 3 页 第 3 页六、验证下列公式:(1) ; (2),其中所给数量场和都具有二阶连续偏导数。(8分)七、以点电荷为原点,在其所产生的电场中,任一点处的电位移矢量为,其中为矢径向量,(20分) (1)求从内向外穿过球面的电通量; (2)求此矢量场在除原点外任一点处的散度; (3)证明:从内向外穿过任意包含电荷在内的闭曲面的通量与(1
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