数学建模论文医疗保障基金的分配.doc

医疗保障基金的分配摘要本文主要应用了最小二乘法、拟合等方法建立了三种数学模型，以完成对医疗保障基金在四个子公司的合理分配，同时科学的应用了函数逼近法，来检测三种分配方案的优缺点，以达到最优资金分配。三种分配模型：模型一：利用表中所给的数据，算出四个子公司每年医疗保障费用占当年总额度的比例，再计算出1984-2009年各子公司此比例的平均值。2010年医疗保障总资金就按此平均比例分配至四个子公司模型二：如若不考虑通货膨胀指数，先将四个子公司在19842009年的支出利用拟合法预测出2010年每个公司医疗保障基金的理论支出额度，求出理论总额，这样就能求出所占的理论比例，用此比例来分配2010年的160万元的医疗保障资金。模型三：考虑通货膨胀指数，先根据19842009的通货膨胀数据利用多项式拟合法预测出2010年的通货膨胀指数，再将每个子公司分配的额度以1984年通货膨胀指数为标准转化，由拟合法算出2010年的每个子公司的理论值，利用2010年通货膨胀指数转化，算出各个公司所占比例，来分配总的资金额度。利用最小二乘法、拟合法的预测方法来预测2010年的数据，并利用方差（代表波动范围、越低越好）的方法来验证分配方案的合理性。关键词：拟合法；数学模型；通货膨胀；资金分配；理论值；预测；合理性一、问题重述设某公司下设的四个分公司（甲、乙、丙、丁）的财务分别独立核算。各分公司都实施了对员工的医疗保障计划，全部医疗保障费用由各分公司自行承担。假设各分公司的员工人数及每个年龄段的员工比例在各年度都保持相对稳定。其各年度的医疗保障费用支出见附表。现总公司规定，在2009年年底，各分公司均需以银行活期存款的方式，设立医疗保障基金，此基金专门用于支付2010年度员工的医疗保障费用。且各分公司的医疗保障基金只能供本分公司使用。设2009年银行活期存款的年利率为0.0036。总公司考虑各种因素，确定设立2009年度医疗保障基金总额度为160万元，这一额度在四个分公司之间分配。对于各分公司，如果2009年度总的医疗保障费用支出在该分公司医疗保障基金的额度内，则员工可以得到及时医疗保障报销。否则，某些员工可能无法及时报销。试确定160万元医疗保障基金在四个分公司之间的分配方案，并论证方案的优良性。二、问题分析考虑到通货膨胀等诸多客观因素影响医疗保障资金的分配，为了保证分配的合理性、可靠性，我们根据所给的数据（附录一）利用拟合、比例分析等数学方法来建立分配模型，同时通过对数据的处理和Mathlap等软件，画出图合理预测了2010年的医疗保障分配问题，有现实意义。 2.1解决问题的难点和关键1、应该怎样筛选数据，怎样预测2010年的通货膨胀指数。2、建立何种数学模型，何种才算合理。3、各种数学模型间优良性比较方法的选取。2.2 解决问题的思路根据附录一中的数据，我们可以算出19842009年的各项数据，通过拟合等数学方法我可以合理预测2010年每个子公司的理论分配额和当年的通货膨胀指数，然后利用比例分析法，按比例分配2010年的资金总额，同时分考虑通货膨胀数和不考虑通货膨胀数两种，按方差的方法来计算模型的合理性。三、名词解释及符号说明3.1名词解释：1. 最小二乘法：又称最小平方法，是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。2.方差：在概率论和数理统计中，方差（英文Variance）用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。在许多实际问题中，研究随机变量和均值之间的偏离程度有着很重要的意义。方差越大，则偏离程度越大；反之，则偏离程度越小。3.多项式拟合：指用多项式函数逼近一个函数，常用方法为最小二乘法或利用泰勒公式，将函数展开为拉格朗日级数、麦克劳林级数等等。3.2 符号说明：第(=1,2,3,4)个子公司在第年的医疗费用支出占该年总支出的比例；：第(=1,2,3,4)个子公司在2010年的医疗费用支出理论值；：预测的2010年各分公司医疗保障费用支出额；：1984年标准下2010年各分公司医疗保障费用支出额；：1984年的通货膨胀指数；：预测的2010年的通货膨胀指数；：2010年银行活期存款年利率为0.0036；：第(=1,2,3,4)个子公司医疗费用支出所占比例的平均值；：2010年年底各子公司可以从银行取出的最大金额； ：2010年初医疗保障基金总额160万元；：各公司分配额对需求额满足率的方差。四、模型假设1、假设每个子公司独立核算，医疗费用有各子公司独立承担；2、假设各分公司的员工人数及每个年龄段的员工比例在各年度保持相对稳定；3、假设2010年银行活期存款的年利率为0.0036；4、假设各子公司在2009年底才发放医疗保障基金；5、假设在2010年没有大规模的客观不利条件的出现；五、模型的建立和求解关于资金的合理分配，我们建立了三个模型，同时比较了模型的优良性。5.1模型一 ：平均比例分配模型方法：利用附表1中所给的数据，算出四个子公司每年医疗保障费用占当年总额度的比例，再计算出1984-2009年各子公司此比例的平均值。2010年医疗保障总资金就按此平均比例分配至四个子公司。模型实现：由附表1的数据，作出甲乙丙丁四个子公司各年度医疗保障费用支出图（程序见附录代码1），如下：图1利用附表1的数据，算出四个子公司每年医疗保障费用占当年总额度的比例（见附表2），计算19842009甲乙丙丁子公司比例的平均值，公式为：，代入数据得：=0.227276438; =0.224768729; =0.250129369; =0.297825464。将以上求出的比例作为2010年各子公司医疗保障费用支出占总支出的比例的预测值。将160万的医疗保障基金按这一比例分配给四个子公司：（单位：万元）计算公式：=*(=1,2,3,4),代入数据得:甲公司分配基金额度为：=160*=36.36423011；乙公司分配基金额度为：=160*=35.96299664；丙公司分配基金额度为：=160*=40.02069905；丁公司分配基金额度为：=160*=47.6520742。2010年年底各子公司可以从银行取出的最大金额（单位：万元） ：甲公司为：=+*=36.49514134；乙公司为：=+*=36.09246343；丙公司为：=+*=40.16477357；丁公司为：=+*=47.82362166。5.2模型二：拟合预测模型方法：不考虑通货膨胀指数，先将四个子公司在19842009年的医疗保障支出利用多项式拟合法预测出2010年各公司医疗保障基金的理论支出额度，求出所占的理论比例，用此比例来分配2010年的160万元的医疗保障基金。模型实现：利用附表1数据，通过Matlab的多项式拟合函数，拟合出各子公司历年医疗保障费用支出曲线（程序见附录代码2）：图2图中以绿色方块表示预测的2010年各分公司医疗保障费用支出额：=39.8992;=34.4486;=47.4161;=38.7011。计算各子公司预测支出额占总支出比例的公式为：，代入数据得=0.248647369；=0.214679837；=0.295491852；=0.241180943。将160万的医疗保障基金按这一比例分配给四个子公司（单位：万元）：分配公式：= *。甲公司分配基金额度为：=160*=39.78357897；乙公司分配基金额度为：=160*=34.34877388；丙公司分配基金额度为：=160*=47.27869629；丁公司分配基金额度为：=160*=38.58895086。2010年年底各子公司可以从银行取出的最大金额（单位：万元） ：甲公司为：=+*=39.92679986；乙公司为：=+*=34.47242946；丙公司为：=+*=47.4488996；丁公司为：=+*=38.72787108。5.3模型三：膨胀拟合预测模型方法：考虑通货膨胀指数，先按通货膨胀指数的比例将每个子公司各年的医疗保障支出转换为1984年的标准（见附表3），在该标准下由拟合法预测出2010年各子公司应分配的医疗保障基金的理论值。再根据19842009的通货膨胀数据预测出2010年的通货膨胀指数，将1984年标准下的基金分配理论值转换为2010年标准的理论值，求出所占的理论比例，用此比例来分配2010年的160万元的医疗保障基金。模型实现：利用附表3数据，通过Matlab进行多项式拟合，得到出各子公司各年医疗保障费用支出曲线（程序见附录代码3）：图3图中以绿色方块表示预测的1984年标准下2010年各分公司医疗保障费用支出额：=16.0624;=13.3717;=17.7972;=14.3743。根据19842009的通货膨胀数据预测出2010年的通货膨胀指数（程序见附录代码4）：图4图中以绿色方块表示预测的2010年的通货膨胀指数：=265.8828。将预测的1984年标准下2010年各分公司医疗保障费用支出额转化为2010年标准下的理论值，公式为，代入数据得=42.70716;= 35.55305037;= 47.31969368;= 38.21879132。计算各子公司预测支出额占总支出比例的公式为：，代入数据得=0.26073；=0.21705332；=0.288889322；=0.233327814。将160万的医疗保障基金按这一比例分配给四个子公司（单位：万元）：分配公式：= *。甲公司分配基金额度为：=160*=41.71673；乙公司分配基金额度为：=160*=34.72853117；丙公司分配基金额度为：=160*=46.22229148；丁公司分配基金额度为：=160*=37.3324503。2010年年底各子公司可以从银行取出的最大金额（单位：万元） ：甲公司为：=+*=41.86691；乙公司为：=+*=34.85355388；丙公司为：=+*=46.38869173；丁公司为：=+*=37.46684712。六、模型的检验本文建立了三个模型，用了三种分配方案，我们求出三个模型下，各公司分配额对需求额满足率的方差。计算公式为：，代入数据得：模型一方差：不考虑通货膨胀：= 12.25120561考虑通货膨胀：= 13.50280622模型二方差：= 0.055875754模型三方差：= 1.620957371模型一不管在考虑通货膨胀还是不考虑通货膨胀的情况下，各公司分配额对需求额满足率的方差都很大，说明模型一的分配方案不稳定，波动大，这种方案较差。模型二中的各公司分配额对需求额满足率的方差很小，接近于0，说明各子公司都基本达到100%满足率，故模型二的分配方案比较合理。模型三较之于模型二方差略大，说明通货膨胀指数与各子公司医疗保障费用支出的相关性不是很大，故而对方案的稳定性产生了影响。综上所述，模型二中的分配方案最合理（单位：万元）：甲公司分配基金：39.78357897；乙公司分配基金：34.34877388；丙公司分配基金：47.27869629；丁公司分配基金：38.58895086。七、模型的推广和应用1、本文建立的模型不光可以应用在四个子公司的资金分配上，也可以推广至多个部门的资金、资源分配；2、如果对待预测对象有影响的各因素基本稳定不变（如本文中假定子公司人数、年龄结构不变），则模型一能简便而准确的预测出结果。参考文献1高学军; 王振友，多元统计回归模型在医疗保障基金数额分配中的应用，广东工业大学应用数学学院，2009-05-102 罗建军，MATLAB教程，北京：电子工业出版社，2005.3 刘方; 侯琳; 黄芳，对医疗保障基金分配问题的决策分析，第六届中国青年运筹与管理学者大会论文集，2004-07-014 周芬，浙江省农村医疗保障基金管理研究，复旦大学，2009-04-205 王文，山西煤炭发展基金分配方案确定，地质勘查导报，2008-03-116 李志兴，新型农村合作医疗 基金分配，石林年鉴，2008-01-01附录附表1 各分公司年度医疗保障费用支出情况（单位：万元）年度甲分公司乙分公司丙分公司丁分公司当年通货膨胀指数198413.2514.112.8316.8100198514.5715.5114.1218.48110.25198616.5617.6216.0421120.75198717.5218.6216.7221.52134.4198818.5820.8218.422.68136.5198921.4623.2221.0225.78147199021.7622.7821.426.4157.5199122.6825.0622.428.48158.55199223.9427.1626.0229.8159.6199324.0427.426.4830.56168199424.3226.6427.6430.4183.75199525.6628.6429.4833.92189199627.831.6834.6638.46190.05199729.4229.343741.98191.1199832.2229.9835.4446.44198.45199932.829.1236.946.38200.55200034.1429.139.5448.08206.85200133.9229.639.1247.44210200233.7630.8239.449.76220.5200334.431.5241.0454.68221.55200439.7433.5245.0256.24225.75200540.3835.3646.256.76227.8520064034.6646.4857.62229.95200739.6234.0646.4453.42237.3200838.833.947.5239.64245.45200940.9633.324740.96255注：通货膨胀指数以1984年为基数100，即1984年价格100元的物品，2009年为255元。附表2四个子公司1984-2009年医疗保障费用支出占总支出的比例年度甲分公司乙分公司丙分公司丁分公司19840.232537733 0.247455247 0.225166725 0.294840295 19850.232450542 0.247447352 0.225271219 0.294830887 19860.232518955 0.247402415 0.225217635 0.294860994 19870.235547190 0.250336112 0.224791611 0.289325087 19880.230864811 0.258697813 0.228628231 0.281809145 19890.234586795 0.253825973 0.229777000 0.281810232 19900.235650856 0.246696989 0.231752220 0.285899935 19910.229973636 0.254106672 0.227134455 0.288785236 19920.223905724 0.254021698 0.243359521 0.278713056 19930.221607670 0.252581121 0.244100295 0.281710914 19940.223119266 0.244403670 0.253577982 0.278899083 19950.218011895 0.243330501 0.250467290 0.288190314 19960.209653092 0.238914027 0.261387632 0.290045249 19970.213590823 0.213010019 0.268622042 0.304777116 19980.223625763 0.208078845 0.245974459 0.322320933 19990.225895317 0.200550964 0.254132231 0.319421488 20000.226302532 0.192894074 0.262097309 0.318706085 20010.226012793 0.197228145 0.260660981 0.316098081 20020.219591518 0.200468323 0.256276831 0.323663328 20030.212818609 0.195001237 0.253897550 0.338282603 20040.227710291 0.192069677 0.257964703 0.322255329 20050.225965305 0.197873531 0.258533856 0.317627308 20060.223763706 0.193891251 0.260013426 0.322331618 20070.228304714 0.196265991 0.267604011 0.307825285 20080.242712373 0.212060553 0.297260103 0.247966971 20090.252465483 0.205374753 0.289694280 0.252465483 附表3各分公司医疗保障费用转为1984年标准（单位：万元）年度甲分公司乙分公司丙分公司丁分公司当年通货膨胀指数198413.2514.112.8316.8100198513.2154214.06802712.80725616.761905110.25198613.71428614.59213313.28364417.391304120.75198713.03571413.85416712.44047616.011905134.4198813.61172215.25274713.47985316.615385136.5198914.59863915.79591814.2993217.537415147199013.81587314.46349213.58730216.761905157.5199114.30463615.8057414.12803517.962788158.5519921517.01754416.30325818.671679159.6199314.30952416.30952415.76190518.190476168199413.23537414.49795915.04217716.544218183.75199513.5767215.15343915.59788417.94709189199614.6277316.66929818.23730620.23678190.05199715.39508115.35321819.36159121.967556191.1199816.23582815.1070817.85840323.401361198.45199916.35502414.5200718.39940223.126402200.55200016.50471414.06816519.11530123.243897206.85200116.15238114.09523818.62857122.590476210200215.31065813.97732417.86848122.566893220.5200315.52696914.22703718.52403524.680659221.55200417.60354414.84828319.94241424.912514225.75200517.72218615.51898220.27649824.911126227.85200617.39508615.07284220.2130925.057621229.95200716.69616514.35313919.57016422.511589237.3200815.807713.81136719.36035916.149929245.45200916.06274513.06666718.43137316.062745255代码1year=1984:1:2009;comp1=13.25,14.57,16.56,17.52,18.58,21.46,21.76,22.68,23.94,24.04,24.32,25.66,27.8,29.42,32.22,32.8,34.14,33.92,33.76,34.4,39.74,40.38,40,39.62,38.8,40.96;comp2=14.1,15.51,17.62,18.62,20.82,23.22,22.78,25.06,27.16,27.4,26.64,28.64,31.68,29.34,29.98,29.12,29.1,29.6,30.82,31.52,33.52,35.36,34.66,34.06,33.9,33.32;comp3=12.83,14.12,16.04,16.72,18.4,21.02,21.4,22.4,26.02,26.48,27.64,29.48,34.66,37,35.44,36.9,39.54,39.12,39.4,41.04,45.02,46.2,46.48,46.44,47.52,47;comp4=16.8,18.48,21,21.52,22.68,25.78,26.4,28.48,29.8,30.56,30.4,33.92,38.46,41.98,46.44,46.38,48.08,47.44,49.76,54.68,56.24,56.76,57.62,53.42,39.64,40.96;hold on;plot(year ,comp1 ,-rs ,LineWidth,2);plot(year ,comp2 ,-gd ,LineWidth,2);plot(year ,comp3 ,:b ,LineWidth,2);plot(year ,comp4 ,-.ko,LineWidth,2);grid on;xlabel(年份(年),Position,2009,6,0)text(1978,62,医疗支出(万元)title(1984-2009各分公司年度医疗保障费用支出,Position,1995,62,0) legend(甲分公司,乙分公司,丙分公司,丁分公司,2)代码2year=1984:1:2009;comp1=13.25,14.57,16.56,17.52,18.58,21.46,21.76,22.68,23.94,24.04,24.32,25.66,27.8,29.42,32.22,32.8,34.14,33.92,33.76,34.4,39.74,40.38,40,39.62,38.8,40.96;comp2=14.1,15.51,17.62,18.62,20.82,23.22,22.78,25.06,27.16,27.4,26.64,28.64,31.68,29.34,29.98,29.12,29.1,29.6,30.82,31.52,33.52,35.36,34.66,34.06,33.9,33.32;comp3=12.83,14.12,16.04,16.72,18.4,21.02,21.4,22.4,26.02,26.48,27.64,29.48,34.66,37,35.44,36.9,39.54,39.12,39.4,41.04,45.02,46.2,46.48,46.44,47.52,47;comp4=16.8,18.48,21,21.52,22.68,25.78,26.4,28.48,29.8,30.56,30.4,33.92,38.46,41.98,46.44,46.38,48.08,47.44,49.76,54.68,56.24,56.76,57.62,53.42,39.64,40.96;subplot(2,2,1);p1=polyfit(year,comp1,5);y1=polyval(p1,year);plot(year ,comp1 ,k+ ,year ,y1,b-);hold onplot(2010,polyval(p1,2010),rs,LineWidth,2,MarkerEdgeColor,k,MarkerFaceColor,g,MarkerSize,10)text(2011,polyval(p1,2010),num2str(polyval(p1,2010)xlabel(年份(年)ylabel(医疗支出(万元)title(甲分公司年度医疗保障费用支出,Position,1995,53,0) grid on;subplot(2,2,2);p2=polyfit(year,comp2,4);y2=polyval(p2,year);plot(year ,comp2 ,k+ ,year ,y2,b-);hold onplot(2010,polyval(p2,2010),rs,LineWidth,2,MarkerEdgeColor,k,MarkerFaceColor,g,MarkerSize,10)text(2011,polyval(p2,2010),num2str(polyval(p2,2010)xlabel(年份(年)ylabel(医疗支出(万元)title(乙分公司年度医疗保障费用支出,Position,1995,43,0) grid on;subplot(2,2,3);p3=polyfit(year,comp3,5);y3=polyval(p3,year);plot(year ,comp3 ,k+ ,year ,y3,b-);hold onplot(2010,polyval(p3,2010),rs,LineWidth,2,MarkerEdgeColor,k,MarkerFaceColor,g,MarkerSize,10)text(2011,polyval(p3,2010),num2str(polyval(p3,2010)xlabel(年份(年)ylabel(医疗支出(万元)title(丙分公司年度医疗保障费用支出,Position,1995,53,0) grid on;subplot(2,2,4);p4=polyfit(year,comp4,3);y4=polyval(p4,year);plot(year ,comp4 ,k+ ,year ,y4,b-);hold onplot(2010,polyval(p4,2010),rs,LineWidth,2,MarkerEdgeColor,k,MarkerFaceColor,g,MarkerSize,10)text(2011,polyval(p4,2010),num2str(polyval(p4,2010)xlabel(年份(年)ylabel(医疗支出(万元)title(丁分公司年度医疗保障费用支出,Position,1995,63,0) grid on;代码3year=1984:1:2009;comp1=13.25 ,13.22 ,13.71 ,13.04 ,13.61 ,14.60 ,13.82 ,14.30 ,15.00 ,14.31 ,13.24 ,13.58 ,14.63 ,15.40 ,16.24 ,16.36 ,16.50 ,16.15 ,15.31 ,15.53 ,17.60 ,17.72 ,17.40 ,16.70 ,15.81 ,16.06 ;comp2=14.10 ,14.07 ,14.59 ,13.85 ,15.25 ,15.80 ,14.46 ,15.81 ,17.02 ,16.31 ,14.50 ,15.15 ,16.67 ,15.35 ,15.11 ,14.52 ,14.07 ,14.10 ,13.98 ,14.23 ,14.85 ,15.52 ,15.07 ,14.35 ,13.81 ,13.07 ;comp3=12.83 ,12.81 ,13.28 ,12.44 ,13.48 ,14.30 ,13.59 ,14.13 ,16.30 ,15.76 ,15.04 ,15.60 ,18.24 ,19.36 ,17.86 ,18.40 ,19.12 ,18.63 ,17.87 ,18.52 ,19.94 ,20.28 ,20.21 ,19.57 ,19.36 ,18.43 ;comp4=16.80 ,16.76 ,17.39 ,16.01 ,16.62 ,17.54 ,16.76 ,17.96 ,18.67 ,18.19 ,16.54 ,17.95 ,20.24 ,21.97 ,23.40 ,23.13 ,23.24 ,22.59 ,22.57 ,24.68 ,24.91 ,24.91 ,25.06 ,22.51 ,16.15 ,16.06 ;subplot(2,2,1);p1=polyfit(year,comp1,3);y1=polyval(p1,year);plot(year ,comp1 ,k+ ,year ,y1,b-);hold onplot(2010,polyval(p1,2010),rs,LineWidth,2,MarkerEdgeColor,k,MarkerFaceColor,g,MarkerSize,10)text(2011,polyval(p1,2010),num2str(polyval(p1,2010)xlabel(年份(年)ylabel(医疗支出(万元)title(甲分公司年度医疗保障费用支出,Position,1995,18,0) grid on;subplot(2,2,2);p2=polyfit(year,comp2,4);y2=polyval(p2,year);plot(year ,comp2 ,k+ ,year ,y2,b-);hold onplot(2010,polyval(p2,20