容斥原理专题训练.doc

容斥原理专题训练知识梳理： 在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 公式1. 如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数既是A类又是B类的元素个数。公式2. 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数既是A类又是B类的元素个数既是A类又是C类的元素个数既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。例题精讲：1. 某大楼里有125盏灯，按1,2，3，,125编号，每盏灯有一个拉线开关，拉一次灯亮，再拉一次灯熄。工程师做实验，他先把所有号码是4的倍数的灯的开关拉1次，再把所有号码是6的倍数的灯的开关拉1次，同时再拉1次号码是4的倍数、但不是6的倍数的灯开关，问：现在有多少盏灯是亮的？ 解：号码是4的倍数的灯有4，8，12，124，共31盏；号码是6的倍数的灯有6，12，18，120，共20盏；号码是4的倍数也是6的倍数的灯有12，24，36，120，共10盏。号码是4的倍数，但不是6的倍数的灯有31-10=21盏。则亮的灯数是20-10=10(盏)。2. A、B、C三位质检员对流水线上的书包进行检查，A每3个书包抽查1个，B每5个书包抽查1个，C每7个书包抽查1个，一共有250个书包通过流水线，假定A、B、C首个抽查到的书包分别是第三个、第五个和第七个，试求：(1)没被抽查到的书包数。(2)在A或B抽查到的书包中，没被C抽查到的书包数。解：(1)250内，3的倍数有83个，5的倍数有50个，7的倍数有35个，15的倍数有16个，21的倍数有11个，35的倍数有7个，105的倍数有2个，没被抽查到的书包有250-83-50-35+16+11+7-2=114(个)。(2)是3或5的倍数，但不是7的倍数的有83+50-16-11-7+2=101(个)。3. 学校举行趣味运动会，班里的同学有20人报名。参加障碍过河比赛的有10人，参加自行车慢骑的有13人，参加“袋鼠跳”比赛的有15人，障碍过河、“袋鼠跳”都参加的有9人，障碍过河、自行车慢骑都参加的有6人，自行车慢骑、“袋鼠跳”都参加的有8人，你能画出参加比赛的人数文氏图吗？ 解：三项比赛都参加的人数为：20-10-13-15+9+8+6=5(人)。文氏图如下：4. 某体育学校的运动员中，会游泳的有15人，会跳高的有12人，会跳远的有9人，以上三个项目只会其中两种的有13人，会三种的有5人，则只会其中两种的人分别有多少可能？ 解：设只会游泳、跳高的有x人，只会游泳、跳远的有y人，只会跳高、跳远的有z人，则共有6组解：(1)x=7,y=4,z=2；(2)x=7,y=3,z=3；(3)x=7,y=2,z=4；(4)x=6,y=4,z=3；(5)x=6,y=3,z=4；(6)x=5,y=4,z=4。专题特训：1. 在1,2，3，,100这100个自然数中，能被5或9整除的数有( )。2. 在1,2，3，100这100个自然数中，能被2和3整除，但不能被5整除的数有( )个。3. 500以内既是完全平方数也是完全立方数的数有( )个。4. 在一所中学的实验班里，60个学生参加过竞赛。其中参加过数学竞赛的有30人，参加过英语竞赛的有25人，参加过作文比赛的有17人，参加过数学竞赛和英语竞赛的有12人，参加过英语竞赛和作文比赛的有10人，参加过数学竞赛和作文比赛的有7人，则三种竞赛都参加过的学生有 ( )人。5. 以60为分母的最简真分数共有 ( )个。6. 某学校数学竞赛的加试题有2道。结果全校参赛的210人中，第一题得满分的有40人，第二题没得满分的有150人，两道都得满分的有10人。则两题都没得满分的人数有 ( )人。7. 某兴趣小组有50人，有的会画画，有的会书法，有的两样都不会，有的两样都会，其中会画画的有25人，会书法的有21人，都不会的有14人。那么既会画又会书法的有( )人。8. 90以内是3或7的倍数的自然数有( )个。9. 在1100这100个自然中，不能被2、3、5中任何一个数整除的数有( )个。10. 1300之间既不是完全平方数也不是完全立方数的数有( )个。答案与解析1. 解： 能被5整除的数是5，10，15，100，共20个；能被9整除的数是9，18，27，99；共11个；能被45整除的数是45，90。则能被5或9整除的数有20+11-2=29(个)。2. 解：能被2和3整除的数有6，12，18，96；共16个；其中能被5整除的数有30，60，90，则能被2和3整除，但不能被5整除的数有16-3=13(个)。3. 解：有2个。500以内既是完全平方数也是完全立方数的数有1、64。因为1和4是完全平方数，那么它们的立方就是完全平方数，而9的立方超过500了。4. 解：三种竞赛都参加过的人有：60-30-25-17+12+10+7=17(人)。5. 解：只需要考察其中分子的个数即可；并且分子要满足与60互质，即分子不是2、3、5中任何一个数的倍数。在60以内，2的倍数有30个，3的倍数有20个，5的倍数有12个，2和3的公倍数有10个，2和5的公倍数有6个，3和5的公倍数有4个，2、3和5的公倍数有2个，则最简真分数共有60-(30+20+12-10-6-4+2)=16(个)。6. 解：150-(40-10)=120(人)7. 解：10。50-14=36(人)画画、书法至少会一样，则21+25-36=10(人)既会画画又会书法。8. 解：38。90以内是3的倍数的自然数有3，6，9，90，共30个；90以内是7的倍数的自然数有7，14，21，,84共12个；90以内是21的倍数的自然数有21，42，63，84，共4个。90以内是3或7的倍数的自然数的个数有30+12-4=38(个)。9. 解：26。1100中，能被2整除的数有2，4，6，8，100，共50个；能被3整除的数有3，6，9，99，共33个；能被5整除的数有5，10，15，100，共20个；能同时被2、3整除的数有6，12，18，96，共16个；能同时被2、5整除的数有10，20，30，100，共10个；能同时被3、5整除的数有15，30，45，90，共6个；能同时被2、3、5整除的数有30，60，90，共3个。由容斥原理可得，不能被2、3、5中任何一个数整除的数有：100-5