测量误差基本数学模型及应用_过大江.pdf

第八卷 第二期 江南大学 学报 Vo l 8 No Z JOUR NAL01了JIANG NANUNIVERSIT Y 19 9 3 测量误差基本数学模型及应用 过 大江 摘要 本文采用 国 际通用计量学基本名词 中有关测量误 差的概念 建立测量误差的 基本数学模型 利用所建基本模型得到了诸如等精度模型 无偏差 模型 恒偏差模型 非恒 偏差模型 恒相对偏 差模型 非但相对偏 差模型等等 T c i各种特珠模 型 文章还以两种测量方 法为例 讨论了此数学模 型的具体应用 关健词 测量 误差测量 方法 数学模型 引言 不管何种测量 都受到测 量误差的影啊 测量误差的 定义是明确的 但其真值是未知的 处理方法也不尽相同 测 量误差处理的 差别决定于所建数学模型 而数学模型又随测量方法 不同而异 如何得到统一的 符合有关国际标准的基本数学模型是人们所希望的 有鉴 于 此 本文设想采用 国际通用计量学基本名词 中有关测量误差的概念 兼顾各类侧量误差 建立测量误差的基本数学模型 利用这样的模型能够方便得到各种测量误差特殊模型 为验 证其实用性 特以两种方法为例 讨论该数学模型 的具体应用 2 基本数学模型 按 国际通用计量学 基本名词 I 玉 定义 绝对 测量误差为 测量结果 减去被测量 的 约 定 真值 必须注意 绝对测 量误差 具有符 号 它不应与误差的绝对值棍淆 后者是误差 的模 而测量误差按其性质一般分为随机误 差 系统误差和粗大误差三类 其中粗大误差属 过失误差 建立误差模型时不予考虑 根据以上 名词 随机误差定义为 测量误差的分量 在同一被测量的多次测量过程 中 它以不 可 预知方式变化着 系统误 差定义为 测 量误 差 的分 量 在同一被测量的多次 测量过程 中 它保持常数或以可预知方 式变化着 系统误差中 误差保持常数的 可称 为 定值系统误差 误差以可预知方式变化着的 可称为变值系统误 差 结合儿何量精密测量而 言 如果环境温度呈无规则变化 则由温度变化引起的测量误差显然以不 可预知方式 变化 着 属于随机误差 而我们用立式光学计进行圆柱塞规直径测 量 的实验 作为基准的量块 其尺寸误差对测量结果引起的误差为常数 故可按定值系统误差处理 再如 用分度盘进行 一 67 一 角度测 量 由于分度盘刻线的几何 中心与分度盘旋转中心不重合对 测 量结果引起的误差 经 过分析 呈 正弦函数的规律变化 这就 可按变值系统误差处理 我们建立测量误差基本数学模型必须结合测量实际 必须包含以上各种误差 于是 我 们 设戈为观测值 即测量结果 为 系统误 差 为随机误 差 K为测量 系统的灵 敏度或 放大 倍数 拜为真值 假设测量系 统已作 归一化处理 输出量已按输入量定度 使K 二1 则无测 量误差时 显然有 戈 拜 1 有测量 误 差时 按定义有 乙 d 二另 一挤 2 可见 就测 量 系统的 灵敏度而言 名词 中测量误 差是在K 1的情况 下定义的 但是 即使对 于理论上K 二 1的测量系统 由于 系统归一 化处理不准 定度 有误 差等原因 实际上 K年1 于是这样的系统有误 差方程 乙 d二 劣 一K 拼 3 对上式作分析 假设系统误差八和 随机误差6不存在 则有 尤 K 终 亦 即 x 斗砰 按 名词 测量误差定义 说明仍有误差存在 这 个 误 差是由于 K斗1 而引 起 的 分析该误差的性质 是有规律的 它使观测值为真值的倍数 所以笔者认为式 3 中 K可作为系统误差 的另一参数处理 按传统的概念 灵敏度本身并没有引入任何误差 但同 本文内容比较 两者应用场合不同 概念不 同 处理也就不同 了 为建立 通用的基本数学模型 我们假设利用N种测量方法 依次对同一参数各 测量 次 则对第弓种测量方法 第夕次测量所得的观测值 可作如下表示 x一z 弓 1 2 N 户 二l 2 招 又对应于观测值月 的真值如以内表示 则 可得 冶 6 x 一K 件 4 式 中 乙 K 描述第云种测量方法 系统误差的参数 o 一一 第东种测量方法 第夕次测量 的随机误差 上式即是通用的测量误差基本数学模型 或称误差方程 对应的观测值方程即为 泣 K 脚 d 5 大量的统计资料表明 当测量次数趋近于无限多时 所有 随机误差气呈正态分布 其 平均数为零 方差为此 由文献 3 可得到以下数学期望值为零 石 d o 全部忿 j 6 石 d d 0 全部j和全部 名 瓦 数对 7 补 注 不同的测量 方法 的内涵可指测量 某被测量所采用的完全不 同的测量原 理 也可 指测量原理相 同 而所用的仪器设 备不同或者测量人员不 同 还可视为在不同实验室利用相 同原理 同类型仪器设 备 人员相同的浏量等等 一 68 一 E d 6 0 全部葱和全部 i 另外 随机误差d 平方的数学期望值即为方差 a 么 石 d牛 士 全部j 以下我们对测量误差基本数学模型作进一步分析 型 幻数对 8 9 以得到特 定条件下测量误差的特殊模 3 特殊模型 侧叼 一 等精度模型如果对于各种测 量方法 方差砖均相同 则测量误差模型为等精度模 型 无偏差模型如果对于第云种测量方法 式 4 中乙 二 K 二1 则有 d x 一均 10 即第东种测量方法的测量误差模型为无偏差模型 可见 无偏差模型实质为无系统误 差模型 恒偏差模型如果对于第名种测量方法 式 4 中 奔 K 1则有 八 d x 一拼 11 即第名种测量方法的测量误 差模型为恒偏差模型 恒偏差模型指仅有定值系统 误差 和随机误 差 的模型 非恒偏差模型如果对于第 种测量方法 式 4 中K 钾 1 则有式 4 或者 d 劣 r一K 拼 1 2 即第 种测量方法的 测量误差模型为非恒偏差模型 该模型存在变值系统误差 恒相对偏差模型如果对于第i和第化两种测量方法 有乙 今 山 K K 二l则得 乙 一 乙 d 一d 二 一二 当拼伪常数时 13 即该两种方法构成的偏差模型为恒相对偏差模型 亦即两种方法 的模型之间存在相对的定值 系统 误差 非恒相对偏差模型如果对于第主和第k两种测量方法 有K 年K 则得 一 d 一 一 一 尺 一 兀 当拼 为常数时 14 即该两种方法构成 的偏差模型为非恒相对偏 差模型 亦即两种方法的模型之 间存在相对的变 值系统误差 另外 如果式 4 中 是 一个 常数 则该模型为 固定模型 反之件 不是常数 而 通常作 正态分布处理 具有平均数件和 方差嵘的模型 则 为随机模型 例如 对 某 圆柱体直径进行 多次重复的精密测量 如果每次测量 严格地在同一部位 显 然拼 为常数 测量 误 差模型为 固 定模型 如果每次测量在不 同部位 则由于 圆柱体丧面 的形状误 差之存在 拼 就不同 如具 有正态分布的随机性 则该测量 误 差模型为 随机模型 4 应用分析 按统计学的概念 测量 误差 处理的关键在于 对方差试进行推断 并建立吠之间的 相互关 一 eg 一 系 这可利用木文的从本数学模型来进行 限于 篇幅 本文仅以两种测量方法的等精度模型 和恒相对偏差模型为例 进行应用分析 等精度模型 N 二2 试 口爹二 武 如何得到武的估计 可从计算以下 差依 禹着手 d j 二x j 一劣2 j 对于等精度 式 5 可简化为 x l 乙 x 林 d一 x Z 乙 拼 d 利用矩法对 估计 上式中有数学期望 n 15 16 E 6奎 二 E 6盖 I 口言 由式 1 5 16 得差值d 为 d 乙 一d d 一 一 d Zr 分析式 18 可见 在禹计算式中 并不 出现街 因此在这种情况下 不加区别 的平均数d则为 17 18 随机模型和 固定 模型可 式中 d 乙l 一乙 d 一 丙 镇 民 镇 二 19 20 21 式 18 19 相减 可消去系统误差参数乙 得 d 一d 6 一d z 一 O一d 由式 22 得如下期望值 2 2 Za若4a言20 若 n 一 E d 一 d 2端十 一 一 一 二 一一 一 23 炸 丹 式中一二一项为d 和d 的协方差以及d Z 和d Z的协 方差之和 而 r 叮 IJ 二 扒 一 4 一 而再戈 一 24 由式 23 24 得 a 舍的矩法估计 盖 为 a 毛 2 洁 身 d 一 25 如果系统误差乙 乙 则直接由式 18 得 s 好 Za盖 26 一 70 一 今 青郎 27 由式 2 6 27 得乙 二乙 时此的矩法估计 为 裕命如 2 8 2 恒相对偏差模型N 二2 d 年乙2 K 二K 1 这就不 同于等精度模型 在等精度模型 进行砖的推断中 不起作用 也无需对可推断 而恒 相对偏差模型则需对武 砖和嵘进行 推断 以下仅讨论格拉布斯 Gr ub加 估计 该估计亦建立在矩 法估计的基础上 它 的 玲 一 l 件倍与最 大似然估计相同 按统计学有关样本方差和样本协方差 的概念得 样本方差s 为 1 万 一 二 一丁 l实 一 熟 X 2 9 样本协方差S l 为 1 J 万 里 二 甲万一二 一 l 乞 乃一IL不几 尤 尤 一 习 劣 30 按格拉布斯估计 对于随机模型 和固定模型 都有数学期望值 E s釜 a忿 a 二 卜 1 2 31 E S a 二 于是 得出格拉布斯估计为 32 a 毛 S毛一S 云 1 2 33 a 二 s 万 对于N种测量方法 本文所建数学模型同样也可作统计分析 这 里 从略 参考文献 i BxPMxEC150oIMLInte rnatio n al vo eabl几la ryof Ba sie 姐d Ge n eral T e rms n Metr olo 中译 本 于渤等译 鲁绍曾校 计最出版社 19邪 仁2 过大江 建立测量误差基本数学模型的设想 江苏省几何测旦花四届学术讨论 介论文选 199夕 仁3 浙江大学数学系 筋等数学教研组编 概率论与数理统计 高等教育出版社 1989 41常 用计最名词术语及定义J J G川0 J 书2 下转第3 7页 一 7 1 一 卜厂 TheB est APPro x im atio no f Polyn o mial s withB ou n d Co effrie ents 夕 口肠公r 嘴声 和 粉努 华 Abstr舰t 一 Letx be ae om pa ct s uboetofan inter亏 al b o f ae ontinuo u f u l l c tio nd efin id on d eno te the 3et paperg 1Ves a n am ial o f best Of X By algebraie 二伽布习二 a j丫 a 采 系 内 l j牙 1 polyn om ial ha V ing bo u nde d c ocfficient 典 W e T h弓 f eharacte rization aPProx im ation theo r 皿 in fo r爪alt弓r耳a 红 pn f o r 拼扮 肠即 y to ffr o m K K eywords APPr o xim atio n with bo u nded c o effieients 即Pr o x im atio n Cha racte r i艺atio n 玄 妇 翔 Polyn o 丈 lzialof be st 汗 一 一一 一一份州一一一一卜份 分吮笋谙 份州丫 护一尸 一 接第7 1 页 乙 言 工 公 堵 A Ba sicM ahem ati ca l 从成 介 l f o 舔应血 一 丁 之 之 月 t 传m e拼 口 公拓 招 巍d 中 ItsAPPlieatio n G uo Dajia叫 Ab str aet 二 Th i s paperp re能n t g a b阳iem a尤 h ematieal m o d邸 伽 ba s edo n thedefinitio n s to m ea犯reme nte rror s give n in 15 0 OIML Inte r national V叱ab ula ry of Basie a nd G e n e r al IO gy With theba siem ode l s e ve r al Pecialca se softhe 卜 一 气 之 n 事月 3uremp取 弓r不o rs T h e 周PM I耽 T e rmS in M etro一 酬 the elare 尹bta种 ed 3ueh as the e om m on Pre eisio n m o del the un bia sm odel m odel the non 伪n就a n tbia s m闻el the e o湘t如t r d a止 i the n 加ongt antTe l垃tive b