概率论与数理统计(经管类)第三章课后习题答案.pdf

习题习题 3 1 1 判断下列各命题是否正确 1 由 X Y 的分布可确定 X 与 Y 的边缘分布 2 由 X Y 的两个边缘分布可确定 X 与 Y 的联合分布 X 3 若 X Y 离散型二维随机变量 则P X a Y b P X 其中 a b 是常数 X 2 填空 已知 X Y 的分布律为 1 2 3 0 0 1 0 2 0 3 1 0 15 0 0 25 则P X 1 0 6 P Y 2 0 25 P Y 2 0 45 P X 1 Y 2 0 25 3 袋中装有 10 个球 其中 8 个红球 2 个白球 从袋中随机摸两次球 每次一个 定义随机变量 X Y 如下 X 0 若第一次取出的是红球 1 若第一次取出的是白球 Y 0 若第二次取出的是红球 1 若第二次取出的是白球 在 1 有放回抽样 2 不放回抽样两种情形下 分别写出 X Y 的分布律与边缘分布律 解 1 有放回抽样的情况 P X 0 Y 0 P X 0 P Y 0 P X 0 Y 1 P X 0 P Y 1 P X 1 Y 0 P X 1 P Y 0 P X 1 Y 1 P X 1 P Y 1 X Y 的分布律与边缘分布律为 0 1 p 0 16 25 4 25 20 25 1 4 25 1 25 1 5 p 20 25 1 5 2 不放回抽样的情况 P X 0 Y 0 P X 0 P Y 0 P X 0 Y 1 P X 0 P Y 1 Y X Y X P X 1 Y 0 P X 1 P Y 0 P X 1 Y 1 P X 1 P Y 1 X Y 的分布律与边缘分布律为 0 1 p 0 28 45 8 45 4 5 1 8 45 1 45 1 5 p 4 5 1 5 4 设 X Y 只在点 1 1 1 2 1 1 1 2 处取值 且取这些值的概率依次为 求 X Y 的分布律及 边缘分布律 解 X Y 的分布律及边缘分布律为 1 2 p 1 1 6 1 3 0 5 1 1 12 5 12 0 5 p 0 25 0 75 5 设 X Y 的概率密度为 f x y Ae x 0 0 0 其他 求 1 常数 A 2 X Y 的分布函数 3 P 0 1 0 2 解 1 F x y Ae dxdy 1 A e 0 e 1 2 0 1 A 0 1 0 1 2 1 A 2 2 当x 0 0时 F x y 2e dxdy 2 e x 0 e 1 2 y 0 1 e 1 e Y X Y X 当x 0 0时 F x y 0 从而F x y 1 e 1 e x 0 0 0 其他 3 P 0 1 0 2 f x y dxdy 1 e 1 e 6 设二维连续型随机变量 X Y 的分布函数为 F x y 1 e 1 e x 0 y 0 0 其他 求 X Y 的概率密度 f x y 解 当x 0 y 0 时 f x y F x y e 3 e 5 15e 从而 f x y 15e x 0 0 0 其他 7 设二维连续型随机变量 X Y 的概率密度为 f x y 2 x y 0 x 1 0 y 1 0 其他 求 X Y 的关于 X Y 的边缘概率密度 解 当0 x 1时 fx x f x y dy 2 x ydy 2 x 1 0 x 当x 0时 fx x 0 从而 fx x x 0 x 1 0 其他 同理 fY y 2 x ydx 0 y 1 0 其他 x 0 y 1 0 其他 8 设 X Y 的概率密度为 f x y 8xy 0 x y 0 y 1 0 其他 求关于 X 及关于 Y 的边缘概率密度 解 当0 x 1时 fx x f x y dy 8xydy 8x 1 x 4x 1 x 当x 1时 fx x 0 从而 fx x 4x 1 x 0 x 1 0 其他 同理 fY y 8xydx 0 y 1 0 其他 4y 0 y 1 0 其他 在求连续型随机变量的边缘密度 时 往往要对联合密度在一个变量 取值范围上进行积分 在求连续型随机变量的边缘密度 时 往往要对联合密度在一个变量 取值范围上进行积分 当联合密 度函数是分片表示的时候 在计算 当联合密 度函数是分片表示的时候 在计算 积分时应特别注意积分限积分时应特别注意积分限 9 设二维随机变量 X Y 服从圆域G x y R 上的均匀分布 求关于 X 及关于 Y 的边缘概率密度 解 f x y R x y R 0 其他 fx x R dy R R R x R 0 其他 R R R x R 0 其他 fY y R dx R R R y R 0 其他 R R R x R 0 其他 10 若 X 与 Y 的联合概率密度为 f x y 24xy 0 x 1 2 0 y 1 3 0 其他 求 P X 解 P X 24xydydx 24x 0 dx 4 0 0 5 习题习题 3 2 1 设 X 与 Y 相互独立 具有下列分布律 求 X Y 的分布律 解 由于 X 与 Y 相互独立 则 P X 0 Y 1 P X 0 P Y 1 0 3 0 2 0 06 P X 0 Y 1 P X 0 P Y 1 0 3 0 2 0 06 P X 0 Y 2 P X 0 P Y 2 0 3 0 6 0 18 P X 1 Y 1 P X 1 P Y 1 0 7 0 2 0 14 P X 1 Y 1 P X 1 P Y 1 0 7 0 2 0 14 P X 1 Y 2 P X 1 P Y 2 0 7 0 6 0 42 X Y 的分布律为 1 1 2 0 0 06 0 06 0 18 1 0 14 0 14 0 42 X 0 1 P 0 3 0 7 Y 1 1 2 P 0 2 0 2 0 6 Y X 2 设 X Y 的概率密度为 f x y 24xy 0 x 1 2 0 y 1 3 0 其他 问 X 与 Y 是否相互独立 解 关于 X 的边缘密度为 fx x 24xydy 1 3 0 x 1 2 0 其他 4x 0 x 1 2 0 其他 关于 Y 的边缘密度为 fY y 24xydx 1 2 0 y 1 3 0 其他 6x 0 y 1 3 0 其他 当0 x 0 y 时 f x y fX x fY y 因此 X 与 Y 相互独立 3 设二维随机变量 X Y 服从二维正态分布 其概率密度为 f x y e 证明 X 与 Y 相互独立 证 关于 X 的边缘密度为 f x 1 50 e x2 y2 50 dy 1 50 e x2 50 e y2 50dy 1 5 2 e x2 50 fY y 1 50 e x2 y2 50 dx 1 50 e y2 50 e x2 50dx 1 5 2 e y2 50 f x fY y 1 5 2 e x2 50 1 5 2 e y2 50 1 50 e x2 y2 50 f x y 故 X 与 Y 相互独立 4 设 X Y 的分布律为 1 3 5 1 1 15 q 1 5 1 p 1 5 3 10 Y X 注意积分限为 Y 的值域 后面却 要写 X 的值域哦 问 p q 为何值时 X 与 Y 相互独立 解 设 X 与 Y 相互独立 则 P X 1 Y 5 P X 1 P Y 5 P X 1 Y 5 P X 1 P Y 5 而 P X 1 Y 5 P X 1 Y 5 P X 1 q P X 1 p P Y 5 故 q p 即当 q p 时 X 与 Y 相互独立 习题习题 3 3 1 设二维随机变量 X Y 的分布律为 0 1 2 0 p00 p01 p02 1 p11 p12 p13 求 Z X Y 的分布律 解 Z 的可能取值为 2 1 0 1 Z 2 X 0 Y 2 P Z 2 P X 0 Y 2 p02 同理 P Z 1 P X 0 Y 1 P X 1 Y 2 p01 p13 P Z 0 P X 0 Y 0 P X 1 Y 1 p00 p12 P Z 1 p11 则 Z X Y 的分布律为 2 设二维随机变量 X Y 的分布律为 0 10 20 10 5 20 2 20 6 20 20 3 20 3 20 1 20 求 1 Z X Y 的分布律 2 Z X Y 的分布律 解 Z 2 1 0 1 P p02 p01 p13 p00 p12 p11 Y X Y X 1 Z 的可能取值为 30 20 10 0 10 Z 30 X 20 Y 10 P Z 30 P X 20 Y 10 3 20 同理 P Z 20 P X 10 Y 10 P X 20 Y 0 2 20 3 20 5 20 P Z 10 P X 10 Y 0 5 20 P Z 0 P X 20 Y 20 1 20 P Z 10 P X 10 Y 20 6 20 则 Z X Y 的分布律为 2 Z 的可能取值为 40 30 20 10 0 P Z 40 P X 20 Y 20 1 20 P Z 30 P X 10 Y 20 6 20 P Z 20 P X 20 Y 0 3 20 P Z 10 P X 10 Y 0 P X 20 Y 10 5 20 3 20 8 20 P Z 0 P X 10 Y 10 2 20 则 Z X Y 的分布律为 3 设 X Y 相互独立 且 X Y 的分布律分别为 求 1 X Y 的分布律 2 Z XY 的分布律 Z X Y 30 20 10 0 10 P 3 20 5 20 5 20 1 20 6 20 Z X Y 40 30 20 10 0 P 1 20 6 20 3 20 8 20 2 20 Y 1 1 2 3 P 1 4 5 12 1 4 1 12 X 0 1 2 P 1 4 2 4 1 4 解 1 由于 X Y 相互独立 则 P X 0 Y 1 P X 0 P Y 1 1 4 1 4 1 16 以此类推得 X Y 的分布律为 1 1 2 3 0 1 16 5 48 1 16 1 48 1 1 8 5 24 1 8 1 24 2 1 16 5 48 1 16 1 48 2 Z 的可能取值为 2 1 0 1 2 3 4 6 P Z 2 P X 2 Y 1 1 16 P Z 1 P X 1 Y 1 1 8 同理 P Z 0 1 16 5 48 1 16 1 48 1 4 P Z 1 5 24 P Z 2 1 8 5 48 11 48 P Z 3 1 24 P Z 4 1 16 P Z 6 1 48 则 Z XY 的分布律为 4 设随机变量 X Y 相互独立 且服从 0 1 上的均匀分布 求 X Y 的概率密度 解 因 X Y 都服从 0 1 上的均匀分布 且相互独立 故fX x fY y 1 f x y fX x fY y Z 2 1 0 1 2 3 4 6 P 1 16 1 8 1 4 5 24 11 48 1 24 1 16 1 48 Y X 设 Z X Y 当0 z 1时 F Z f x y dydx 1dydx z xdx z 0 z 2 Z Z X Z Z X Z f Z F Z z 当1 z 2时 此时 X Y 取值有两种情况 1 0 1 0 Z 1 2 0 Z Y Z 1 1 F Z 1dxdy 1dydx z 1dx z ydy z 1 zy y 2 1 z 1 z z 2 f Z F Z 1 z 从而 f Z z 0 z 1 1 z 1 z 2 0 其他 自测题自测题 3 一 选择题 1 设二维随机变量 X Y 的分布律为 0 1 2 0 1 12 2 12 2 12 1 1 12 1 12 0 2 2 12 1 12 2 12 则 P XY 0 D A B C D 2 设二维随机变量 X Y 的概率密度为 f x y 则 P X 1 B A dx f x y dy B dx f x y dy C f x y dx D f x y dx Y X 3 设 X N 1 2 Y N 1 3 且 X 与 Y 相互独立 则 X 2Y B 2 22 3 14 A N 1 8 B N 1 14 C N 1 2 D N 1 40 二 填空题 1 设随机变量 X Y 相互独立 且P X 1 P Y 1 则 P X 1 Y 1 2 已知二维随机变量 X Y 服从区域 G 0 x 1 0 y 2上的均匀分布 则P X 1 Y 1 三 设二维随机变量 X Y 的分布律为 1 0 0 1 3 1 4 1 1 4 1 6 试求 1 X Y 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律 2 X 与 Y 是否相互独立 为什么 3 P X Y 0 解 1 X Y 关于 X 的边缘分布律为 P X 0 p 1 3 1 4 7 12 P X 1 p 1 4 1 6 5 12 X Y 关于 Y 的边缘分布律为 P Y 1 p 1 3 1 4 7 12 P Y 0 p 1 4 1 6 5 12 2 因P X 0 P Y 1 P X 0 Y 1 1 3 P X 0 Y 1 P X 0 P Y 1 所以 X 与 Y 不相互独立 3 P X Y 0 P X 0 Y 0 P X 1 Y 1 四 设二维随机变量 X Y 的概率密度为f x y e 0 x y 0 其他 Y X 1 求 X Y 分别关于 X 和 Y 的边缘概率密度 fX x fY y 2 判别 X 与 Y 是否相互独立 并说明理由 3 计算P X Y 1 解 1 X Y 关于 X 的边缘概率密度为 fX x e dy e x e x 0 0 x 0 e x 0 0 x 0 X Y 关于 Y 的边缘概率密度为 fY y e dx e x y 0 ye y 0 0 y 0 ye y y 0 0 y 0 2 因fX x fY y