泰勒公式的应用.doc

目 录1 引言12 泰勒公式及其证明12.1 带皮亚诺型余项的泰勒公式12.1.1 带皮亚诺型余项的泰勒公式12.1.2 带皮亚诺型余项的泰勒公式的证明22.2 带拉格朗日型余项的泰勒公式32.2.1带拉格朗日型余项的泰勒公式32.2.2 带拉格朗日型余项的泰勒公式的证明33 泰勒公式的应用53.1 泰勒公式在求函数极限中的应用53.2 泰勒公式在证明题中的应用73.2.1 在证明不等式中的应用73.2.2 在其他证明题中的应用83.3 泰勒公式在近似计算和误差估计中的应用93.4 泰勒公式在判断函数极值中的应用103.4.1 判断函数的极值103.4.2判断函数拐点103.5 泰勒公式在求解函数方程中的应用123.6 泰勒公式在求高阶导数在某些点的数值中的应用133.7 泰勒公式在判断或证明级数敛散性中的应用143.8 泰勒公式在行列式计算中的应用15结束语16参考文献16致谢16 泰勒公式的应用数学计算机学院数学与应用数学（师范）专业2012届 冯彩摘 要：泰勒公式是数学分析的重要组成部分，利用泰勒公式可以将函数表示为多项式加余项的形式.在一些情况下，如果我们能很好地利用泰勒公式，则可以收到事半功倍的效果.因此掌握好泰勒公式的使用，对于分析研究数学问题，开拓解题思路起着重要的作用.本文将介绍并总结两种带不同余项的泰勒公式在证明不等式、求函数极限、求近似值、求函数极值、判断广义积分收敛性等方面的应用.关键词：泰勒公式；不等式；极限；敛散性；行列式中图分类号：O172Applications of Taylors FormulaAbstract: Taylors formula is an important part of mathematical analysis. Using it, functions can be represented as the sum of a polynomial and a remainder. In some cases, if used appropriately, its effect can be twice with only half effort. Therefore, it plays an important role to master the Taylors formula to analyze mathematical problem and to open up the way for solving problem. Applications of two kinds of Taylors formula with different remainders are introduced and summarized in proving inequalities, calculating limit of the function, approximation and extreme values, judging convergence of generalized integrals. Key words: Taylor formula；limit；inequality；convergent-divergent discrimination；determinant 泰勒公式的应用1 引言泰勒公式是数学分析的重要组成部分，利用泰勒公式可以将函数表示为多项式加余项的形式.在一些情况下，如果我们能很好地利用泰勒公式，则可以收到事半功倍的效果.因此掌握好泰勒公式的使用，对于分析研究数学问题，开拓解题思路起着重要的作用.2 泰勒公式及其证明 泰勒公式有两种形式，一种是带皮亚诺型余项的泰勒公式，一种是带拉格朗日型余项的泰勒公式. 2.1 带皮亚诺型余项的泰勒公式 2.1.1 带皮亚诺型余项的泰勒公式设在点具有阶导数，即存在，则存在的某个邻域，对于该邻域内的任一点，有 (2.1) 这里我们称为皮亚诺（Peano）型余项，（2.1）式称为带皮亚诺型余项的泰勒公式.多项式 称作在处的泰勒多项式.当时，称（2.1）为的马克劳林（Maclaurin）公式. 2.1.2 带皮亚诺型余项的泰勒公式的证明 设 令 ，.这两个函数在内有阶导数.又因为 所以当时，应用洛比达法则次，并注意到存在，则有 即当时， .即证. 2.2 带拉格朗日型余项的泰勒公式 2.2.1带拉格朗日型余项的泰勒公式 若函数在的某邻域内存在直到阶的导数，则对任何，在与之间至少存在一点，使 (2.2)这里称作的拉格朗日型余项.（2.2）式称作在点处带拉格朗日型余项的泰勒公式. 2.2.2 带拉格朗日型余项的泰勒公式的证明 设 令 ，这两个函数在内有直到阶导数.又因为 所以，连续运用柯西中值定理次，得 这里或者由于,于是有，或即 故 即证.3 泰勒公式的应用泰勒公式可以将函数表示为多项式加余项的形式，同时泰勒公式又可以将函数转化为其在某点处的导数，因此，泰勒公式是研究复杂数学问题的极其有效的工具，它在求函数极限、证明不等式、求近似值、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断级数敛散性等方面有着广泛的应用. 3.1 泰勒公式在求函数极限中的应用在求函数极限时，我们一般采用带皮亚诺型余项的泰勒公式进行计算.当极限为分式时，若分子或分母中只需展开一个，那么只需把其展到另一个的同阶无穷小的阶数；若分子和分母都需要展开，可分别展到其同阶无穷小的阶数，即合并后的首个非零项的幂次的次数.当极限不是为分式时，展开的阶数应与函数中最高次幂相同.例3.1 求.分析 因为分子、分母都需要展开，比较一下分母为两个函数的乘积，先展分母，再把分子展开到分母的同阶无穷小.解 , ,所以 , ,故 = =.例3.2 设在点二阶可导，且，求，并计算.分析 此题不能直接利用洛比达法则，可通过泰勒公式展开再求解.解 由题设条件知,则必有,从而，由的连续性得.因此可推得.又由泰勒公式知，代入中得，于是，而且.通过上面的几个例子，有些不定式极限利用洛比达法则计算非常麻烦，有些甚至不能用洛比达法则计算解决，但利用泰勒公式求解则非常简便，从而可以有效的解决一些数学问题. 3.2 泰勒公式在证明题中的应用 在证明题中一般采用带拉格朗日型余项的泰勒公式，我们在数学题目中经常会遇到一些证明问题，如果能恰当地使用泰勒公式，可以将一些问题化繁为简. 3.2.1 在证明不等式中的应用用泰勒公式证明不等式就是把所要证的不等式适当变形,把其中的函数用此公式展开,再把展开式右边进行适当放大或缩小,从而推证要证的不等式.例3.3 当时，证明不等式成立.证明 由于故显然有即 所以成立.例3.4 设是上的连续正值函数，且证：.分析 直接写出的泰勒展开式，然后根据题意对展式进行放缩.证明 将 在点处展开成带拉格朗日型余项的泰勒公式得： 用泰勒公式证明命题时,关键要注意一点,即究竟要展开到第几阶,而对于命题则没有统一的规律,我们要根据题中的有关信息加以适当取舍.通过挖掘导数的有关性质,并把它们应用到不等式的证明中,可以让我们体会到导数应用的广泛性和有效性. 3.2.2 在其他证明题中的应用例3.5 设函数在闭区间上具有三阶连续导数，且，证明：在开区间内至少存在一点，使.证明 由麦克劳林公式得其中介于和之间，分别令，并结合已知条件，得两式相减，得，由的连续性，在闭区间上有最大值和最小值，则有 .由连续函数的介值定理知，至少存在一点，使. 3.3 泰勒公式在近似计算和误差估计中的应用 根据泰勒展开式的余项可以具体地估计出用泰勒公式近似地表示一个函数时所产生的误差.由拉格朗日型余项，如果，为一定数，则其余项不会超过.由此可以近似地计算某些数值并估计它们的误差.例3.6 求 的近似值，使误差不超过 .解 设，将其在处展成带拉格朗日型余项的泰勒公式，其中(在0和之间），令，则.要使，则取即可.此时，其误差. 3.4 泰勒公式在判断函数极值中的应用 3.4.1 判断函数的极值 应用带有皮亚诺型余项的泰勒公式，将函数极值的第二充分条件进行推广，借助高阶导数，可得到极值的另外一种判别法. 定理3.1 若在点及邻域内具有阶连续导数，且 . （1）若为奇数，则不是极值点； （2）若为偶数，则当时，为极大值；当时，为极小值.证明：由已知条件及泰勒公式有 （3.2）则 .由于，则存在点的某一邻域，使时，式（3.2）等号右端由第一项符号决定. 1o 若为奇数，在点的某一邻域内，当时，； 2o若为偶数且时，有，即对一切有，故为极大值，同理可证时，为极小值. 当时，即在的左右侧，式（3.2）右端变号，因此，不是极值点. 3.4.2判断函数拐点我们有这样的结论：若在点及邻域内具有三阶连续导数，且，则为曲线的拐点. 证明 由导数的定义有 由于，不妨设，由极限的保号性，存在点的某个去心邻域，当时，有.即当时，；当时，.因此点为曲线的拐点. 由以上结论可得到更一般的情形： 定理3.2 若在点及邻域内具有阶连续导数，且，则 （1）若为偶数，则点一定不是曲线的拐点； （2）若为奇数，则点为曲线的拐点.证明 （1）令，.,由条件可得，.若为偶数,则为偶数,由定理1可知在点处取得极值,也就是在点取得极值,由极值定义,在点的某个去心邻域内,对任一,有或,故一定不是拐点.（2）令 ，.,由条件可得 . 若为奇数，则为偶数,由定理3.1可知在点取得极值，因此在点两侧异号，故为拐点.例3.7 求函数的极值和拐点.解 由于，所以是函数的驻点，求的二阶导数为 ，得：，及，所以在时取得极大值.求三阶导数得 有，由定理3.2，为奇数，在不可能取得极值；由定理3.2得为曲线的拐点.求四阶导数得：有，由定理3.1，为偶数，所以在时取得极小值；由定理3.2得一定不是曲线的拐点. 3.5 泰勒公式在求解函数方程中的应用 泰勒公式求解某些函数方程： 例3.8 设在内有连续三阶导数，且满足方程， （与无关），试求解方程.解 对方程 两边对求导，注意与无关，有 （3.3）从而 ,令取极限，得 ， .若，由此得 ，为一次函数；若，在式（3.3）中.两边再对求导，然后令时取极限，即得.为二次三项式，故求解为或 （为常数). 3.6 泰勒公式在求高阶导数在某些点的数值中的应用 例3.9 设，求.分析 如果直接求高阶导数，比较麻烦，并且规律性不是很强，可以考虑利用函数在处的麦克劳林展开式.解 ， （3.4） 又在处的麦克劳林展开式为 （3.5）比较（3.4）和（3.5）中的系数，得 .这里,我们通过Maclaurin公式把求解一个复杂的反三解函数的高阶导数转化为多项式函数的高阶导数,而后者的求解是非常简单的. 3.7 泰勒公式在判断或证明级数敛散性中的应用 例3.10 判断级数的敛散性. 分析 利用泰勒公式研究序列无穷小量()的阶,然后与恰当的(如)去相比,有的放矢地求的值,再求出极限值,则可顺利解决问题. 解 利用泰勒公式展开有故有 与同敛散性，所以收敛. 例3.11 设在点处的某一邻域内具有二阶连续导数，且，证明级数绝对收敛. 证明 由可知，在的某邻域内的一阶泰勒展开式为 再由题设，在属于该邻域内包含原点的一闭区间上连续，故必存在.于是.令，当充分大时有，因级数收敛，故绝对收敛. 3.8 泰勒公式在行列式计算中的应用例3.121 计算行列式的值.解 设，将用泰勒展式在处展开 .那么对于任何自然数有，根据行列式求导法则，有 .所以在处的各阶导数值有 （）.而 ,因此 当时，；当时，.结束语通过本文我们可以看到泰勒公式有着比较广泛的应用，这对于我们研究许多问题有着很大的帮助，泰勒公式不仅在数学上有着重要应用，还在物理等方面有着重要的应用，由于本人的学科知识的限制，本文只研究了泰勒公式在解决数学问题中的某些应用.参 考 文 献1 李腾.Taylor公式及Taylor级数应用的进一步讨论J.齐齐哈尔大学学报,2011,27(2):80-82.2 刘士强.数学分析(上册)M.南宁:广西民族出版社,2000.3 同济大学应用数学系.高等数学(第五版)(上册)M.北京:高等教育出版社,2002