电磁场答案.doc

第七章电场7-1回答下列问题：（1）在电场中某一点的场强定义为，若该点没有检验电荷，那么该点的场强如何？如果电荷在电场中某点受到的电场力很大，该点的场强是否一定很大？提示：电场强度是电场的基本性质，由电荷的分布决定，而与试验电荷无关。因而若该点没有试验电荷，场强并不发生变化；若该点的电场力很大，场强不一定很大。（2）根据点电荷的场强公式：，从形式上看，当所考察的场点和点电荷的距离时，则按上述公式，但这是没有意义的。对这个问题如何解释。提示：点电荷的场强公式是由库仑定律推导而来，而库仑定律是经验公式，当时，点电荷的模型不成立，库仑定律不成立，此时点电荷的场强公式也不成立。（A）（B）（C）（D）7-2题图7-2个带正电荷的质点。在电场力作用下从A点出发经C点运动到B点，其运动轨迹如图7-2所示。巳知质点运动的速率是递减的，下面关于C点场强方向的四个图示中正确的是( )。质点沿曲线运动时，加速度的 方向总是指向曲线凹的一边；依题意，质点的切向加速度与线速度反向；电场强度E的方向即为质点在该点加速度a的方向，将a分解为切向加速度与法向加速度提示：D7-3题图7-3如7-3题图所示，闭合曲面S内有点电荷q，P为S面上一点，在S面外A 点有点电荷，若将移至B点，则（）(A)穿过S面的电通量改变、P点的电场强度不变；(B)穿过S面的电通量不变，P点的电场强度改变；(C)穿过S面的电通量和P点的电场强度都不变；(D)穿过S面的电通量和P点的电场强度都改变。提示：B7-4 在真空中有A、B两块板，板面积为S，分别带有电量、，相距为d，若忽略边缘效应，则两板间的相互作用力为多少？解：A板上的电荷在B板产生的场中，。因此，A板上的电荷所受的电场力为：同理：这是一对作用力与反作用力。7-5 在一个等边三角形的三个顶角处各放置一个电荷，电荷的大小和性质都相同，如果以这三角形的中心为球心，作一个包围这三个电荷的球形高斯面，问：(1)能否利用高斯定理求出它们所产生的场强?(2)高斯定理是否仍然成立?提示：(1)不能，由带电体所产生的静电场中，若场中场强的分布具有对称性(轴对称、平面对称、球面对称)，则可应用高斯定理求场强因为在对称性的电场中，可作高斯面，使场强E在高斯面上等值。 (2)仍然成立。7-6如果通过闭合面S的电通量为零，能否肯定S面的场强处处为零?提示：不能，只能说明场强的能量为零，不能认为场强处处为零。7-7在带电量Q(Q0)的物体A附近放置一个不带电的导体B，试判断带电体A的电位VA、导体B的电位VB、无穷远处的电位的大小关系。77题图提示：如77题图所示， 导体B的电位将升高。原来B不带电，电位为零，当A移近时，在B上靠近A的一端感应出负电荷，此负电荷与A上的正电荷相联系。在B上远离A的一端感应出正电荷，此正电荷发出的电力线伸向无限远。取，由于电力线总是从电位高处指向电位低处，可知此时B的电位大于零，即电位升高了。7-8导体空腔内有点电荷，空腔内任一点的电势与空腔电势相同吗? 为什么?提示：由高斯定理可分别求出空腔及内外的电场，再由电势的定义式可知，空腔内任一点的电势与空腔电势不相同。7-9关于静电场中的电位移矢量线，下列说法中，正确的是( )。A、起自正电荷，止于负电荷，不形成闭合线，不中断；B、任何两条电位移矢量线互相平行；C、起自正自由电荷，止于负自由电荷，任何两条电位移矢量线在无自由电荷的空间不相交；D、电位移矢量线只出现在有电介质的空间。提示：C。电位移线起于正自由电荷，止于负自由电荷，通过介质时不中断。7-10题图7-10在边长为a的正六角形的六个顶点都放有电荷，如7-10题图所示，则六角形中心O处的电场强度为多少？ 解：如7-10题图所示，由题可知，C点与F点的点电荷，B点与E点的点电荷在O点产生的电场相互抵消。因此O点的电场仅由A点和D点的点电荷产生。根据点电荷在空间某点产生的电场公式可得： 7-11一半径为的半圆细环上均匀地分布电荷，求环心处的电场强度。7-11题图解：如图7-11题图所示，在带电半圆环上任取一线元，其电荷为：，此电荷元可视为点电荷，它在0点产生的电场强度大小为：，方向沿径向。因圆环上电荷对轴呈对称性分布，所以电场分布也是轴对称的。则有：； “-”表示电场强度的方向沿轴负向。7-12设均匀电场的电场强度E与半径为R的半球面的轴平行，试计算通过此半球面S1的电通量；若以半球面的边线为边线，另作一个任意形状的曲面S2，则通过S2面的电通量又是多少?解：由和以R为半径的大圆面组成一个封闭曲面，由高斯定理知：7-12题图而，所以：同理，由和以R为半径的大圆面。组成一个封闭曲面，则可得：7-13如7-13题图所示，电荷线密度为的无限长均匀带电直线，其旁垂直放置电荷线密度为的有限长均匀带电直线AB，两者位于同一平面内。则AB所受静电作用力的大小为多少？ 解：方法一， 由题意可知，两直线均匀带电。由于库仑定律只适用于点电荷系统因此，需将两带电直线分成许多电荷元；建立如7-13题图(右)所示的直角坐标系，有，根据库仑定律，可得，施加给的作用力为：7-13题图为两电荷元之间的距离。将沿、轴投影，得：，；根据对称性分析可知：为零。因此，F只沿轴正向，即 方法二： 由电场强度定义求解。带电直线AB处于无限长带电直线产生的电场中，若把带电直线AB视为许多电荷元的集合，则电场对每个电荷元的作用力为；各电荷元的dF的矢量和，即为带电直线AB所受的电场力。如7-13题图(右)所示。在距无限长带电直线x处任取一电荷元，由无限长带电直线的场强公式可知处的场强为：方向沿袖正向。于是有由于各电荷元所受力的方向均沿x轴正向，所以：若问题中的和异号，则F沿轴负向。根据作用力与反作用力的关系可知，无限长带电直线所受的作用力，其大小与F相等，其方向与F相反。7-14 求无限长均匀带电圆柱面内、外场强E的空间分布。设圆柱面半径为R。电荷面密度为。解：如7-14题图所示，过圆柱面内、外任一点作高为的圆柱形高斯面，根据高斯定理，有： 7-14题图当时，；当时，；7-15求均匀带电球体内、外的场强分布，已知球体半径为R，所带总电荷为q。场强。7-15题图 解：由于电荷分布是球对称的，所以电场强度的分布也是球对称的。因此在电场强度的空间中任意点的电场强度的方向沿径矢，大小则依赖于从球心到场点的距离。即在同一球面上的各点的电场强度的大小是相等的。以球心到场点的距离为半径作一球面，则通过此球面的电通量为：根据高斯定理，有： (1)当场点在球体外，即时，由(1)式可得电场强度为：当场点在球体内时 即时，由(1)式可得电场强度为：其曲线如7-15题图所示。7-16题图7-16求均匀带电细棒中垂面上的电场和电势。设棒长2，带电量为。解：由于电势是标量，可由电势叠加原理，先求出带电直线在P点的电势，再由场强与电势的微分关系求P点的场强。建立如7-16图所示的直角坐标系，并取带电直线中心为坐标原点O。则在带电直线上任取一电荷元，在P点产生的电势为：因此，整个带电系统在P点产生的电势为则该点的场强为：，其中：，所以，P点的场强为：7-17求均匀带电球体的电势。已知电荷q均匀地分布在半径为R的球体上，求空间个各点的电势。解：由高斯定理可求出电场强度的分布 方向沿径向。由电势的定义式，可得：当时，有： 当时，有：7-18 如7-18题图所示，是以为中心、为半径的半圆，点有点电荷，点有点电荷。求（1）把单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电场力对它做了多少功?（2）单位负电荷从D点沿AB延长线移到无穷远处，电场力对它做了多少功? 解：由点电荷在空间某点产生的电势公式可得：7-18题图题图由可得：(1)(2)7-19 在玻尔的氢原子模型中，电子沿半径为的圆周绕原子核旋转。求：(1)若把电子从原子中拉出来需要克服电场力作多少功?(2)电子的电离能为多少? 解：(1)电子在玻尔轨道上作圆周运动时，它的电势能为：因此，若把电子从原子中拉出来需克服电场力作功为：(2)电子在玻尔轨道上作圆周运动所需向心力为静电力，即：，电子的动能为：总能量为：根据电离能的定义：电子的电离能等于外界把电子从原子中拉出来需要的最低能量，即：7-20题图(a)7-20如图所示，半径为的导体球，带有电量，球外是一个内、外半径分别为、的同心导体球壳，球壳上的带电量为。试求：（1）求场强和电势分布；（2）若用导线连接两球后，电势分布如何?（3）若外球接地，两球电势各为多少?（4）若内球接地，内外两球的电势差为多少?解：(1)解法一：由于场的分布具有对称性，由高斯定理可得各区域的场强分布为：， ， E的方向均沿径向向外。导体为有限带电体，选无限远处为电势零点。由电势定义可计算两球的电势和，内球体内的任一场点的电势为：外球壳体内任一场点()的电势为：由和可求出球体与球壳间的电势差为7-20题图(b)解法二： 可以把球体与球壳的电势和视为由带电量为半径为；带电量为、半径为和带电量为()、半径为的三个同心带电球面分别在场点和所共同产生的电势叠加。由于球体内任一场点 ()在三个带电导体球面之内，故有：外球壳体内任一场点()的电势为：(2)当用导线把球和球壳连接在一起后，由静平衡条件可知，电荷全部分布在球壳的外表面上，如7-20题图(b)所示，此时，电场只分布在的空间中，即。同时球体与球壳成为一个等势体，即，于是，根据电势的定义，可得7-20题图(c)(3)若外球接地，球壳外表面的电荷为零，等量异号电荷分布在球体表面和球壳内表面，此时电场只分布在的空间内，如图7-20题图(c) 所示。由于外球壳电势，则内球体内任一场点 ()的电势为：(4)当内球接地时，内球的电势。但无限远处的电势也为零，这就要求外球壳所带电量在内外表面上重新分配，使球壳外的电场沿着径向指向无限远处，球壳内的电场沿着径向指向球心处。因此，内球必然带负电荷。因为内球接地，随着它上面正电荷的减少，球壳内表面上的负电荷也相应减少。当内球上的正电荷全部消失时，球壳内表面上的负电荷也消失完。但就球壳来说，仍带有电荷+Q，由于静电感应，在内球和大地这一导体系统中便会感应出等量的负电荷-Q，此负电荷(-Q)的一部分(设为，)均匀地分布在内球表面上。球完内表面上将出现等量的正电荷()与之平衡。因此，在达到静电平衡后，内球带电荷，球壳内表面带电量为，外表面上带电量()，如7-20题图(d)所示。7-20题图(d)解法一：根据高斯定理可知各区域内的场强分布为：球壳上任一场点()相对于无限远处和相对于接地内球的电势，应用电势定义式分别计算，可得：联立上述两式，可得：将的结果代入的表达式中，可得：相应的球体与球壳间的电势差为：解法二： 亦可根据带电导体球的电势公式及电势叠加原理进行求解。根据电势叠加原理，电势是由 (的球面)、(的球面)和(的球面)在内球体中任一场点()共同产生的电势的叠加。由于内球接地，有：在外球壳体中任一场点(产生的电势为：联立上述两式，也可解得相应的球体与球壳间的电势差为：7-21 三块平行金属平板A、B、C，面积都是，A、B相距2mmA、C相距4mm，B、C接地，A板带正电荷，忽略边缘效应。求：(1)B、C板上的电荷是多少?(2)A板的电势是多少?7-21题图(a)解：解 (1)设导体板上电荷面密度分布如图721题图(b)所示，忽略边缘效应，根据和A板上的电荷量恒不变。则有由上述方程可得，则B、C板上的电量分别为：7-21题图(b)(2)由可得A板的电势为：7-22 计算两条带异号电荷的平行导线单位长度的电容。设导线的线电荷密度分别为，导线的半径为a，相隔的距离为d()，且两导线为无限长。解：如7-22题图(b)所示，由叠加原理和高斯定理可求得两导线之间垂直连线上任意一点P的场强。以导线A的轴线为轴以r为半径，作过P点的圆柱形高斯画，柱长为，则由对称性分析可知：7-22题图(a)由于代人上式得：同理可得，导线B在P点产生的场强为：由于和的方向均是由带电荷线密度的导线指向带电荷线密度的导线，故P点的总场强为：7-22题图(b)则两导线之间的电势差为：因此，单位长度导线上的电容为：7-23题图(a)由题意可知，则，所以：7-23半径为R的导体球，带有正电荷Q，球外有一同心均匀电介质球壳，其半径分别为a和b，相对电容率为，试求：(1)介质内外的电位移D和场强E；(2)介质内的极化强度P和介质表面的极化面电荷密度；(3)离球心为r处的电势V；(4)画出D(r)、E(r)和V(r)的曲线。7-23题图(b)解：(1)依题意，电场分布球面对称，如7-23题图(b)，过点1()，2()，3()，4()分别作球形高斯面，根据介质中的高斯定理和有： (2)由有介质内的极化强度为：7-23题图(c)方向与矢径一致。由，可得介质内外表面上的极化电荷面密度分别为：方向如7-23题图(c)所示。(3)根据或三个均匀带电球面产生的电势的叠加,可得图7-23题图(d)中各点的电势分别为：7-23题图(d)7-23题图(e)(4) D(r)、E(r)和V(r)的曲线如7-23题图(e)所示。7-24实验表明：在靠近地面处的电场强度约，方向指向地球中心,在离地面高处，电场强度约为，方向也是指向地球中心.试求：(1)地球所带的总电量；(2)离地面下的大气层中电荷的平均密度。解：(1)根据电场分布的对称性，以地球中心为球心，以近似于地球半径R为半径作同心球面为高斯面则由高斯定理有：故：(2) 以为半径作同心球面为高斯面，则由高斯定理有：得：。则大气的电荷平均体密度为：第八章 磁场8-1一个静止的点电荷能在它的周围空间任一点激起电场；一个线电流元是否也能够在它的周围空间任一点激起磁场？提示：不能。由毕奥沙伐尔定律可知在电流元所在的直线上各点电流元不激起磁场。8-2在下面三种情况下，能否用安培环路定理求磁感强度B？为什么？（1）有限长载流直导线产生的磁场；（2）圆电流产生的磁场；（3）两无限长同轴载流圆柱面之间的磁场。提示： 安培环路定律只能适用于恒定电流所产生的磁场情况，即涉及到的载流导线必须是闭合的，否则不能使用。所以：（1）和（2）不能安培环路定理求磁感强度B，但（3）可以。8-3在一载流螺线管外做一平面圆回路L，且其平面垂直于螺线管的轴，圆心在轴上。则环路积分等于多少？有人说，有人根据安培环路定理认为，究竟哪种说法正确? 提示：可分为两种情况： (1)密绕的无限长螺旋管，这是一个理想化的模型，可认为螺旋管是由一个个相同的圆电流彼此紧靠在一起组成，此时外部磁感应强度，管内磁场均匀，此时，；(2)实际上的长直螺旋管外部磁感应强度，此时应有。8-4将空螺线管通以正弦交流电，由其空心螺线管的一端沿中心轴线射入一束电子流，如8-4题8-4题图图所示。则电子在空心螺线管内的运动情况是（B）A、简谐运动；B、匀速直线运动； C、匀加速直线运动；D、匀减速直线运动提示：由洛伦兹力判别，磁力线与螺线管轴线平行。8-5一电量为q的粒子在均匀磁场中运动，下列哪些说法是正确的？ (1)只要速度大小相同，所受的洛伦兹力就一定相同；(2)速度相同，电量分别为+q和-q的两个粒子，它们受磁场力的方向相反，大小相等；(3)质量为m，电量为q的带电粒子，受洛伦兹力作用，其动能和动量都不变；(4)洛伦兹力总与速度方向垂直，所以带电粒子运动的轨迹必定是圆。提示：(1)不正确，因为，故不仅与的大小有关，还与的方向有关。(2)正确，因为，所以。即它所受的力反向，而大小则不变以。8-6题图(3)动能不变，而动量发生变化。由可知，只要，则。即动量发生变化，若以粒子速度点乘等式两边，则有，即，这说明粒子的动能不变。(4)不正确，只有当带电粒子初速度的方向与方向垂直时，带电粒子运动的轨迹才必定是圆。8-6 如8-6题图所示，一个载流线圈绕组中通有电流I3A。分别写出：；提示：，8-7试说明B与H的联系和区别。提示：是矢量的环流，只和传导电流有关，因此在分布具有高度对称时，能够使我们比较方便地处理有介质存在时的磁场问题，而矢量的环流不仅与传导电流有关，还与磁化电流有关。联系：磁介质中任一点的磁感应强度，磁场强度和磁化强度之间有如下关系：8-8安培定律中有三个矢量，哪些矢量始终是正交的？哪些矢量之间可以有任意角度？提示：安培力始终与电流元和磁感应强正交；电流元与磁感应强度之间可以有任意角度。8-9一有限长的载流直导线在均匀磁场中沿着磁感应线移动，磁力对它是否作功？什么情况下磁力作功？什么情况下磁力不作功？提示：有限长载流直导线在均匀磁场中受到的磁力，显然的方向与垂直，导线沿磁力线移动时，磁力不作功。8-10两根长直导线互相平行地放置，导线内电流大小相等，均为I10A，方向相同，如8-10题图(左)所示。求图中M、N两点的磁感强度B的大小和方向。已知图中的。8-10题图解：因无限长直流载导线在距离处的磁感应强度为。则由题可知，两长直导线在处产生的磁感强度大小均为，但方向相反；在处产生的磁感强度均为：方向如8-10题图(右)所示，由图可知，和合成的方向沿水平向左。即：处的磁感强度为：处的磁感强度为： 方向沿水平向左。8-11 如8-11题图所示，有两根导线沿半径方向接触铁环的a、b两点，并与很远处的电源相接。求环心O的磁感强度。解：设图中圆弧的半径为。由题可知，距点很远，故；点在和的延长线上故；又因载流圆弧在圆心处产生的磁感强度为：，其中为圆弧长，故弧和弧在点产生的磁感强度分别为：8-11题图，又由于导线的电阻与导线的长度成正比，且圆弧和圆弧构成并联电路，所以有：根据叠加原理可得点的磁感强度为：8-12题图8-12 如8-12题图所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I，它们在点O的磁感强度各为多少?解：因载流圆弧在圆心处产生的磁感强度为：，无限长载流直导线在距离处的磁感应强度为，故由叠加原理可得：(a)图中，将流导线看作圆电流和两段半无限长载流直导线，则：(b)图中，将载流导线看作圆电流和长直电流，则：的方向垂直纸面向里。(C)图中，将载流导线看作圆电流和两段半无限长直电流，则：的方向垂直纸面向外。8-13 如8-13题图(a)所示，所示，一宽为b的薄金属板，其电流为I。试求在薄板的平面上，距板的一边为r的点P的磁感强度。8-13题图解：建立8-13题图(b)所示的坐标系，将金属板分成无限多份宽度为的载流长直导线。现在距点处取一载流长直导线，其电流为，在点处产生的磁感应强度为：，由叠加原理可知，载流薄板在点处产生的磁感应强度为：方向垂直纸面向里。讨论：当时，则表示，宽度为的载流金属板在点处产生的磁感应强度，可视为载流直导线在可点处产生的磁感应强度。的分布曲线如8-13题图(c)所示。8-14题图8-14在磁感强度为B的均匀磁场中，有一半径为的半球面，B与半球面轴线的夹角为。求通过该半球面的磁通量。解：设有一半径为的圆面与半径为的半球面构成封闭曲面，则由磁场的高斯定理可知：所以：8-15电流I均匀地流过半径为R的圆形长直导线，试计算单位长度导线通过8-15题图中所示剖面的磁通量。8-15题图解：将导线视为长直圆柱体，由于电流沿轴向均匀流过导体，故其磁场呈轴对称分布，即在与导线同轴的圆柱面上各点，大小相等，方向与电流成右手螺线关系。围绕轴线取同心圆环路，使其绕向与电流成右手螺旋关系，根据安培环路定理可求得导线内部距轴线处的磁感强度。；8-16题图(a)如图所示，在距轴线处的剖面上取一宽度很窄的面元，该面元上各点的相同，由磁通量的定义可知穿过该面元的磁通量为：故：单位长度的磁通量为：8-16如8-16题图所示，两平行长直导线相距40cm，每条通有电流I200A求：(1)两导线所在平面内与该两导线等距的一点A处的磁感应强度；(2)通过图中斜线所示矩形面积内的磁通量。已知r1r3=10cm，r220cm，l25cm。解：(1)解：因长直载流导线在空间某点产生的磁感应强度为，由磁场的叠加原理可知两导线所在平面内与该两导线等距的一点A处的磁感应强度为：方向垂直纸面向里。(2)建立如图816(b)所示的坐标，穿过线圈的总磁通等于一条电流产生磁通的两倍，即。8-16题图(b)方法一：在中距原点0为处取一很窄的面积元，穿过该面积的磁通量为：。穿过线圈的总磁通为：方法二：设两电流相距为，则由两电流产生的磁感应强度为故：8-17已知10裸铜线允许通过50A电流而不会使导线过热，电流在导线横截面上均匀分布。求：(1)导线内、外磁感强度的分布；8-17题图(2)导线表面的磁感强度。解：(1)将导线视为长直圆柱体，由于电流沿轴向均匀流过导体，故其磁场呈轴对称分布，即在与导线同轴的圆柱面上各点，大小相等，方向与电流成右手螺线关系。围绕轴线取同心圆环路，使其绕向与电流成右手螺旋关系，根据安培环路定理可知：当时，所以：；当时，所以：(2)在导线表面，由题可知：，则由(1)问可得：磁感强度的分布曲线如图8-17题图所示。8-18 有一同轴电缆，其尺寸如8-18题图(a)所示。两导体中的电流均为I，但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑。试计算以下各处的磁感强度：（1）rR1；（2）RlrR2；（3）R2rR3；8-18题图（4）rR3，画出B一r图线。解：由题可知，同轴导体内的电流均匀分布，其磁场呈轴对称分布，取半径为的同心圆为积分路径，根据安培环路定理有：(1)当时有： (2) 当时有： (2) 当时有： (2) 当时有： 磁感强度图线如8-18题图(b)所示。8-19 如8-19题图所示，N匝线圈均匀密绕在截面为长方形的中空骨架上。求通入电流I后，环内外磁场的分布。解：由右手螺旋法则可知：螺线管内磁感强度的方向与螺线管中心轴线构成同心圆，若取半径为的圆周为积分路径，则由安培环路定理可知：当时， 8-19题图当时， 当时， 8-20测定离子质量的质谱仪如图所示。离子源S产生质量为m，电荷为q的离子，离子的初速很小，可看作是静止的，经电势差V加速后离子进入磁感强度为B的均匀磁场，并沿一半圆形轨道到达离入口处距离为x的感光底片上。试证明该离子的质量为8-20题图证明：根据动能定理有： (1)离子以速率进入磁场后作圆周运动所需的向心力为其所受的洛伦兹力，作圆周运动的半径为，即： (2)由(1)、(2)可得821 在一真空室中的电子通过一个电势差被加速，然后进入两个带电平行金属板之间的空间，两金属板之间的电势差为300V。（1）如果电子进入两板之间的空间时的速率为，则该个电子是通过多大的电势差被加速的；8-21题图（2）如果两板间还有一匀强磁场，其方向与纸面垂直，则磁场B必须多大，才能使电子无偏转地在两板问运动。解：(1)根据动能定理有：，即(2)电子在两板间运动时，同时受到洛伦兹力和电场力的作用，要使电子不偏转，则洛伦兹力和电场力应相等，即，结合有：8-22 已知地面上空某处地磁场的磁感强度，方向向北。若宇宙射线中有一速率的质子，垂直地通过该处。求：（1）洛伦兹力的方向；（2）洛伦兹力的大小，并与该质子受到的万有引力相比较。解：(1)洛伦兹力的方向为的方向；(2)，故质子所受的洛伦兹力为：质子在地球表面所受的万有引力为：由此可见，质子所受的洛伦兹力远大于重力。8-23如8-23题图所示。设有一质量为的电子射入磁感强度为B的均匀磁场中，当它位于点M时，具有与磁场方向成角的速度，它沿螺旋线运动一周到达点N。试证M、N两点间的距离为解：将入射电子的速度沿磁场方向和垂直磁场方向分解为和，电子在垂直磁场的平面内在洛伦兹力的作用下作匀速圆周运动，在沿磁场方向，电子不受磁场力作用，作匀速运动。电子在磁场内同时参与上述两种运动，其运动轨迹是等距螺旋线。则由可得：入射电子在磁场方向前进一螺距所需的时间为：8-23题图 (1)在垂直磁场方向的平面内，电子作匀速圆周运动的周期为： (2)根据电子前进一个螺距所需的时间与电子作匀速圆周运动所经历的时间相等可得：8-24题图8-24 一通有电流为I的导线，弯成如8-24题图(a)所示的形状，放在磁感强度为B的均匀磁场中，B的方向垂直纸面向里问此导线受到的安培力为多少? 解：将导线分解成两段直线和一段半圆弧三部分。由于两段导线所受的安培力大小相等，但方向相反，由安培定律可知：如8-24题图(b)所示，在半圆弧上与轴成角处任取一圆弧，该圆弧所受的力为：，方向如图所示。由对称性可知，整个半圆弧在轴上所受的合力为零。故有：由叠加原理可知：所求导线的安培力为：8-25 如8-25题图(a)所示，一根长直导线载有电流，矩形回路载有电流试计算作用在回路上的合力。已知，。8-25题图解：设上、下两段导线所受的力分别为和，左右两段导线所受的力分别为和，如8-25题图(b)所示。由安培定律和叠加原理可知，和大小相等，方向相反，即；整个矩形回路所受的力为。即合力的方向向左。8-26 一个正方形线圈，每边长度为0.6m，载有0.1A的稳恒电流，放在一个强度为T的匀强磁场中。求（1）线圈平面平行于磁场时，求线圈所受到的力矩；8-26题图（2）线圈平面垂直于磁场时，求线圈所受到的力矩；（3）当线圈的法线与磁场方向之间的夹角从0变到时，画出力矩随角度变化的曲线。解：由教材8.2.5节均匀磁场对载流线圈的磁力矩公式有：(1)线圈平面平行于磁场时，即，；(2) 线圈平面垂直于磁场时，；(3) 因，力矩随角度变化的曲线如8-26题所示。8-27题图8-27 如8-27题图所示，一根长直同轴电缆，内、外导体之间充满磁介质，磁介质的相对磁导率为(1)，导体的磁化可以忽略不计。沿轴向有稳桓电流 通过电缆，内、外导体上电流的方向相反。求：（1）空间各区域内的磁感强度和磁化强度；（2）磁介质表面的磁化电流。解：(1)由题可知，电流分布呈轴对称，依照右手定则，磁感应线是以电缆对称轴线为中心的一组同心圆。取与电缆轴同心的圆为积分路径。根据磁介质中的安培环路定理，有： 当时， 当时， 当时， 当时， 由，可分别得：(导体的相对磁导率为) (2)由，可分别得磁介质内、外表面的磁化电流大小为：对抗磁质()，在磁介质内表面()，磁化电流与内导体传导电流力向相反；在磁介质外表面()，磁化电流与外导体传导电流方向相反。顺磁质的情况与抗磁质相反H(r)和B(r)分布曲线分别如8-27题图 (b)和(c)。8-28 在实验室，为了测试某种磁性材料的相对磁导率。常将这种材料做成截面为矩形的环形样品，然后用漆包线绕成一环形螺线管。设圆环的平均周长为，横截面积为，线圈的匝数为200匝。当线圈通以的电流时，测得穿过圆环横截面积的磁通量为，求此时该材料的相对磁导率。解：根据右手定则，磁感线与电流相互环连，磁场沿环型螺线管分布，当环形螺线管中通以电流时，由安培环路定理得磁介质内部的磁场强度为又和有：8-29题图8-29 一个截面为正方形的环形铁心，其磁导率为。若在此环形铁心上绕有N匝线圈，线圈中的电流为I，环的平均半径为r。求此铁心的磁化强度。解：如图829题图所示，选取闭合回路C，由安培环路定理有：即铁心内磁场强度为：又由磁场强度和磁化强度的关系得：第九章 电磁场9-1 动生电动势是由洛仑兹力做功引起的。而洛仑兹力永远和运动电荷的运动方向垂直，因而对电荷不做功，两者是否矛盾? 提示：不矛盾。洛仑兹力在总体上不作功，但它却起着重要的能量传递的作用。这是因为导线切割磁力线运动时，洛仑兹力可分为两个分力，一个分力的方向垂直于导线，与导线运动方向致，它在作正功；另一个分力的方向平行于导线，它与电于定向运动的方向，即与的方向正好相反，所以作负功。这意味着，为了维持电子向上作定向运动，必须有静电力克服这个分力作功。从宏观上看要维持稳恒电流就必须有电源提供的电场作正功。不难证明作的正功恰好等于作的负功。9-2涡旋电场与静电场有何区别? 提示： 不同：起源不同，静电场源于电荷，涡放电场源于磁场对时间的变化率；性质不同，静电场是保守势场，电场线起于正电荷止于负电荷，涡旋电场是有旋无势场，涡旋电场线是闭合线。相同：都对电荷有作用力9-3均匀磁场被限制在半径为的无限长圆柱内，磁场随时间作线性变化，现有两个闭合曲线(为一圆形)与(为一扇形)。如9-3题图所示。讨论：9-3题图（1）与上每一点的是否为零？（2）涡旋电场是否为零？（3）与是否为零?提示： 依题意，磁场被限制在圆柱内，故柱内任一点，柱外任一点，柱内磁场分布具有轴对称性，图中所作回路Ll上各点大小相等，方向沿圆周切向，显然，。过圆柱外任一点作一包围圆柱的圆形闭合回路，则，由此可知，L2上各点不为零。但由于柱外无磁场，穿过回路L2的磁通，于是，。9-4 变化电场产生的磁场和变化的磁场产生的电场，是否一定随时间变化?提示：不一定。当电位移矢量随时间的变化率是一恒量时，由它激发的磁场是不随时间变化的；另外，当磁感应强度随时间的变化率是一恒量时由它激发的电场也不随时间变化。9-5位移电流与传导电流有何本质区别?提示：位移电流和传导电流的区别为：(1)传导电流由电荷的定向运动产生而位移电流由电场随时间变化而产生；(2)传导电流只能存在于导电物质中,而位移电流只与变化的电场有关，因此在真空与绝缘介质中都能存在；(3)传导电流在流动过程中由于电子和导体中原子的碰撞要产生焦耳热，而位移电流没有电荷的宏观运动，所以一般无热效应。只有高频电场中的介质，由于反复极化，也会引起介质发热，但这种热效应不符合焦耳楞次定律。相似处：两种电流都能以同一种方式激发磁场，而且所激发的磁场有相同的9-6如图所示，一截面积的密绕线圈，共有50匝，置于的均匀磁场中，的方向与线圈的轴线平行。如使磁场在内线性地降为零，求线圈中产生的感应电动势。解：由题可知随时间变化的关系是：，则磁通为：9-6题图由法拉第电磁感应定律可得：自感电动势的方向为。9-7 一铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为（制），求在时，线圈中的感应电动势。解：由和法拉第电磁感应定律得：当时，9-8 如图所示，用一根硬导线弯成一半径为的半圆,使这根半圆形导线在磁感应强度为的匀强磁场中以频率旋转，整个电路的电阻为，求感应电流的表达式和最大值。9-8题图解：设半圆形导线与磁场垂直的位置即图示的位置为导线在初始时刻，顺时针方向为回路正向，此时半圆形导线平面的法线与之间的夹角，在回路中使磁通量发生变化的面积为：。则任意时刻穿过回路的磁通量为：根据法拉第电磁感应定律，有：由欧姆定律可得回路中的电流为：故感应电流的最大值为9-9 有两根相距为的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反的电流，且电流均以的变化率增长。若有一边长为的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所示，求线圈中的感应电动势。解：建立如9-9题图所示的坐标系，距点处，在矩形线圈中取一宽度()很窄的面积元，在该面积元内可近似认为的大小和方向不变。由长直导线在空间一点产生的磁感强度可得穿过该面积元的磁通为：9-9题图穿过线圈的磁通量为：再由法拉第电磁感应定律可得：9-10 把磁棒的一极用的时间由线圈的顶部一直插到底部,在这段时间内穿过每一匝线圈的磁通量改变了，线圈的匝数为60，求线圈中感应电动势的大小。若闭合回路的总电阻为，再求感应电流的大小。解：由法拉第电磁感应定律有：又由有：9-11题图911 如图所示，金属杆以恒定速度在均匀磁场中垂直于磁场方向运动，已知，求杆中的动生电动势。解：金属杆沿如9-11题图所示方向运动时，只有部分未切割磁力线运动。所以有：912 如9-12题图(a)所示，把一半径为的半圆形导线置于磁感应强度为的均匀磁场中。当导线以速率水平向右平动时，求导线中感应电动势的大小，哪一端电势较高?9-12题图解法一：假设半圆形导线在宽为的静止匚形导上滑动，如9-12题图(b)所示。则两者之间形成一个闭合回路，以顺时针方向为回路正向，任一时刻端点O或端点P距匚形导轨左侧距离为，此时穿过该回路的磁通量为：由法拉第电磁感应定律可得：式中的负号表示电动势的方向为逆时针，对段来说点的电势高。解法二： 连接使导线构成一个闭合回路，由于磁场是均匀的，在任意时刻，穿过回路的磁通量常数。因此，由法拉第电磁感应定律可知：而，即：解法三：建立如9-12题图(c)所示的坐标系，在导体上任意处取导体元，则:由矢量的指向可知，端点的电势较高。913如图所示为一铜圆盘发电机的示意图，圆盘绕过盘心且垂直盘面的金属轴轴转动，轴的半径为。圆盘放在磁感应强度的均匀磁场中，的方向与盘面垂直。有两个集电刷分别与圆盘的边缘和转轴相连。已知圆盘的半径为，厚度为，转动的角速度为。试计算圆盘轴与边缘之间的电势差，并指出何处的电势高。9-13题图解：方法一：由题可知圆盘的厚度，即圆盘可视为厚度不计的薄圆盘，在圆盘上沿径矢取一线元。其速度大小为，方向在盘面上且与垂直。该线元的产生的动生电动势为：由于，且的方向与的方向相同，故有：沿圆盘的径向积分，可得圆盘边缘与转轴之间的动生电动势为：将已知数据代入可得：在示接外电路的情况下，为集电刷间的电势差。圆盘边缘的电势高于圆盘中心转轴的电势。方法二：设有一闭合回路，如9-13题图所示，该回路的法线方向与的方向相同，且点是固定的，点是运动的，时，点与点重合，即 ，则时刻穿过回路的磁通量为：由法拉第电磁感应定律可得：上式中的“-”号表示，回路中的感应电动势方向与回路的绕行方向相反。9-14题图914 长为的铜棒，以距端点为处为支点，以角速率绕通过支点且垂直于铜棒的铀转动。设磁感应强度为的均匀磁场与轴平行，求棒两端的电势差。解法一：在棒上距点为处取一导体元，如9-14题图(a)所示，则：因此，棒两端的电势差为：当时，端点A处的电势高。解法二： 将AB棒上的电动势看作是OA棒和OB棒上电动势的代数和，如9-14题图(c)所示，其中，则915 如图所示,一长为，质量为的导体棒，其电阻为，沿两条平行的导电轨道无摩擦地滑下，轨道的电阻忽略不计，轨道与导体构成一闭合回路，轨道所在的平面与水平面成角，整个装置放在均匀磁场中，磁感应强度的方向为竖直向上。求：(1)导体在下滑时，速度随时间的变化规律；(2)导体棒的最大速度。9-15题图解：导体棒在下滑过程中，受重力，导轨支持力和安培力的作用，如9-15题图(b)所示。由安培定律可知，在时刻导体棒所受的安培力大小为： (1)在导体棒下滑方向，由由牛顿第二定律可得： (