2011年概率论与数理统计练习.doc

概率论与数理统计练习题一、填空题1已知则 ， ， .2袋子中装有只白球，只黑球，陆续取出三个，则顺序恰好是黑、白、黑的概率是 3把不同的书任意排成一排，则其中指定的本书放在一起的概率是 4先后抛掷一对骰子，则两个骰子点数之和是8的概率是5设三次独立重复试验中，事件至少发生一次的概率为，则在一次试验中事件发生的概率是 6将个硬币随机地丢在桌上，以表示正面向上的硬币的个数，则 ， 7设，且，则 ， 8设随机变量，且，则 ， ， 。9设随机变量的概率密度,则使成立的常数 10设随机变量的概率密度为，而分布函数为，则 ， 11设圆的半径，为圆的面积，则；12设服从区间上的均匀分布，则关于的方程有实根的概率 ， 13设随机变量,其概率密度,则 , , 将标准化可得 14设随机变量，则其概率密度 ， ， （已知）。15设随机变量，则的概率密度函数 ，用标准正态分布的分布函数的值来表示 16设随机变量与独立，且，则 ， ， 。17设分别服从参数为与的0-1分布，且它们的相关系数，则与的联和概率分布为 。18. 设对任意给定的，随机变量，其中与无关，则条件数学期望。二、选择题1设和是任意两个随机事件，则下列关系成立的是（ ）（A） （B）（C） （D）2设和是两个随机事件，则表示（）（A）必然事件 （B）不可能事件（C）与恰有一个发生 （D）与不同时发生3若随机事件和满足，则下述结论正确的是（ ）（A）和必同时发生 （B）若发生，则必发生（C）若不发生，则必不发生 （D）若不发生，则必不发生4，和为对立事件，则不成立的是（ ）（A）与互不相容 （B）与相互独立（C）与互不独立 （D）与互不相容5设，是两事件，则下述结论必成立的是是（ ）（A） （B）（C） （D）6某人向一个目标射击，每次射击命中率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）7若是一随机变量的概率密度，则必有（）(A).的定义域为 (B).的值域为(C).非负 (D) .在连续8若是一个连续型随机变量的分布函数，则一定不能为（）(A).非负函数(B).有界函数 (C).连续函数 (D).减少函数9若和是两个连续型随机变量的分布函数，为使得也是某个随机变量的分布函数，则常数，分别为（ ）（A） （B） （C） （D）10设的分布密度为，分布函数为，若与有相同的分布函数，则（ ）（A） （B）（C） （D）11设的分布函数为，则（ ）（A） （B）（C） （D）12设随机变量服从两点分布，且，若的分布函数为，则有（ ）（A） （B） （C） （D）13若随机变量，且，则（ ）（A） （B） （C） （D）14设，记，则有（ ）（A） （B） （C） （D）15设，其分布函数为，若，则（ ）（A） （B） （C） （D）16设随机变量，则服从（ ）（A） （B） （C） （D）17设的分布列为，与独立同分布，则（ ）（A） （B） （C） （D）18设，相互独立，且都服从参数为的泊松分布，记，则（ ）（A） （B） （C） （D）19设随机变量与独立同分布，且的分布函数为，则的分布函数为（ ）（A） （B）（C）（D）20若随机变量和的满足，则下列结论中正确的是（ ）(A).与相互独立 ( B)(C). (D).21. 已知随机变量和独立同正态分布，则当时，随机变量和不相关的充分必要条件为（ ）。(A). （B） （C） （D）22. 设总体，据某一容量为16的样本，计算得知总体均值的置信度为95%的置信区间。现对于显著性水平，检验，记统计量，则检验的否定域应该是（ ）。（A）. (B) (C) (D) 三、计算题（全概率和贝叶斯公式）1、在电报通讯中不断发出信号和，发出和的概率分别是和。由于干扰，发时以的概率收到模糊信号“*”，发时以的概率收到模糊信号“*”。（1）求收到模糊信号的概率；（2）若已收到模糊信号，译成哪个信号更好？（必须写出设题和已知的概率，并写出所用的概率公式）2、甲袋中有个白球，个红球，乙袋中有个白球，个红球在甲袋中随意取出一球放入乙袋，再从乙袋中任取一个球（1）求从乙袋取得的一个球是白球的概率（必须写出设题和已知的概率，并写出所用的概率公式）；（2）若，则（1）中的概率为多少？四、计算题（一维离散型）1、已知随机变量服从上的均匀分布，记随机变量，（1）求的分布列；（2）求和2、袋子中有个红球，个白球（1）若从中一次任取个，以表示所取的球中含白球的个数，求出 的分布列和；（2）若从中逐一取球，每取一球观察其颜色后不放回，写出直到将个红球都取出为止的取球次数的分布列（只要写出结果）3、已知离散型随机变量的所有可能取值为1，2，3，且，。（1）求；（2）求的分布列五、计算题（一维连续型的函数的分布）1、已知随机变量的分布密度，求的概率密度。2、设的概率密度为，（1）求的概率密度；（2）若表示对 的三次独立重复观察中事件发生的次数，验证至少发生一次的概率为3、设服从参数为的指数分布，其密度为，试验证：服从 上的均匀分布六、计算题（一维连续型）1、设某种晶体管的寿命（单位：小时）的概率密度为。（1）求一个晶体管在使用小时后仍然完好的概率；（2）若一个电子仪器装有个独立工作的这种晶体管，求在使用小时后恰有一个管子损坏的概率；（3）若已知有一个晶体管在使用个小时后仍然完好，求该管子使用时间少于的概率。2、已知随机变量的分布密度，且，（1）求常数的值；（2）求3、已知连续型随机变量的分布函数，（1）求常数的值；（2）求；（3）求4、设顾客在某农行窗口等待服务的时间（单位：分钟）的概率密度为。某顾客在窗口等待服务，若超过分钟，他就离开，他一个月到该银行次。以表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数。（1）写出所满足的分布，并求出其中的参数；（2）求。5、某厂生产的一种产品的寿命（小时）服从正态分布若要求，问允许的最大值是多少？（已知标准正态分布函数的几个函数值：）七、计算题（二维离散型）1、设的分布列为，与独立同分布（1）求的联合分布列；（2）求的分布列；（3）求2、一个袋子中有三个球，一个标号为1，两个标号为2。现从中任取一个球后不放回，再取一个球。若以分别表示第一，二次取得的球的标号，（1）求的联合分布列；（2）求的分布列；（3）判别与是否独立八、计算题（二维连续型）1、设的联合概率密度，（1）求关于和的边际概率密度；（2）判别与是否独立；（3）验证2、设的联合概率密度，（1）求关于和的边际概率密度；（2）判别与是否独立；（3）求条件概率3、设的联合概率密度，（1）求关于和的边际概率密度；（2）判别与是否独立；（3）验证九、证明题1、设随机变量，相互独立且都服从标准正态分布，求证：服从指数分布。2、设随机变量，相互独立且都服从上的均匀分布，记，求证：。3、设随机变量，独立，且都服从区间上的均匀分布，记随机变量，求证：4、设随机变量，都服从正态分布，求证：5、设随机变量，相互独立，且都服从同一分布，求证：十、综合题1. 投掷3颗骰子，表示3颗中掷出奇数点的骰子数，令随机变量又设 ，（1） 求的联合概率分布；（2） 判断与是否相关；（3）求在条件下关于的条件分布函数。2. 设随机变量服从参数为的指数分布，（1） 求随机变量的概率密度；（2）令求的概率函数与分布函数。3. 设随机变量服从区域上的均匀分布，令，试求和。十一 统计练习题1、设是取自均值为的指数分布总体的简单随机样本，其中为未知数考虑的三个估计量：，（1）分析指出上述三个估计量中哪几个是的无偏估计量；（2）分析指明无偏估计量中哪一个为较有效的。2、设总体的密度函数为，其中为未知参数,又设 为来自总体容量为的样本,试求：（1）的矩估计量；（2）的极大似然估计量。3、从某批旅游团中，随机抽取名，测得其个人消费数据如下： 已知个人消费，（1）若已知，求平均个人消费的置