实变函数大纲.doc

普通高等教育“十二五”规划教材新世纪新理念高等院校数学教学改革与教材建设精品教材实变函数编写大纲新世纪以来，我国高等教育倡导高校要国际化，教学要信息化，要将研究性教学、创新性教学、实用性教学与传统性教学相结合。“十二五”开局之初，国家将提高人才培养质量，加强素质教育等多个人才培养目标提高到了一个前所未有的高度，这也引起了全国几乎所有高校的课程改革和调整，导致了传统的数学课时被大量的压缩和削减。但是，作为一本优秀的数学教材，其完整的学科体系又要求必须要包含那么多的内容和深度，这与高校数学教学的现状必然相矛盾。在这样的新形式下，我们的教材编写思路需要作出调整。针对这一现状，我们拟定编写实变函数一书，以期在这方面做一些尝试，主要想突出以下特色：1.对原有传统内容进行优化、精简、取舍，并寻求更优的引入方法、组织方法和介绍方法。2. 注重实用性。从教学的角度出发，新的教材要尽可能的适应不同层面的老师和学生。要最大限度的服务于学校自主性学习和研究性学习形式的开展。编写目录如下（三级标题目录）：第1章 集合 （字数：约 3万字）1.1集合运算1.1.1集合的概念 1.1.2集合的运算 1.1.3集合列的极限集 1.1.4集类1.2集合的基数 1.2.1映射1.2.2集合的基数1.2.3 Bernstein定理1.3可数集合 1.3.1可数集概念1.3.2可数集性质1.4不可数无穷集1.4.1不可数无穷集1.4.2连续基数 1.5集合与函数1.5.1特征函数1.5.2集合与函数习题1 （会上讨论并确定题型、题量）第2章 维空间中的点集 （字数：约 3万字）2.1聚点、内点、边界点、 BolzanoWeierstrass 定理2.1.1 聚点2.1.2 内点2.1.3 边界点2.1.4 BolzanoWeierstrass 定理2.2开集、闭集与完备集2.2.1 开集2.2.2 闭集2.2.3 完备集 2.3博雷尔集 2.3.1 博雷尔集概念 2.3.1 博雷尔集性质2.4p进位小数 2.5开集的构造2.5.1 开集的构造2.5.2 一维开集、闭集和完备集的构造2.6点集间的距离2.5.1 点集间的距离2.5.2 隔离性定理习题2第3章 测度理论 （字数：约 5万字）3.1外测度3.1.1 外测度概念3.1.2 外测度性质3.2可测集合3.2.1 可测集合概念3.2.2 可测集合性质3.3 开集的可测性 3.3.1区间的可测性 3.3.2开集的可测性3.4乘积空间3.4.1 乘积空间的区间3.4.2 乘积空间的可测集3.5集合环上的测度3.5.1 集合环与环上的测度3.5.2 外测度与测度的延拓3.5.3 Hausdorff测度与维数习题3第4章 可测函数 （字数：约 5万字）4.1 可测函数的定义及其简单性质4.1.1 简单函数4.1.2 非负可测函数4.1.3 可测函数概念4.1.4 可测函数性质4.2依测度收敛4.2.1 依测度收敛概念4.2.2 依测度收敛简单性质4.3可测函数列的收敛关系4.3.1 Egroff定理4.3.2 Lebesgue定理4.3.3 Riesz定理4.4 可测函数的结构4.4.1 Lusin定理 4.4.2 一维空间的Lusin定理习题4第5章 积分理论 （字数：约 6万字）5.1非负简单函数的勒贝格积分5.1.1 非负简单函数的勒贝格积分5.1.2 非负简单函数的勒贝格积分简单性质 5.2非负可测函数的勒贝格积分5.2.1 非负可测函数的勒贝格积分 5.2.2 非负可测函数的勒贝格积分简单性质 5.2.3 Levi定理5.2.4 Lebesgue基本定理5.2.5 Fatou引理5.3一般可测函数的勒贝格积分5.3.1 勒贝格可积函数概念5.3.2 勒贝格可积函数简单性质5.3.3 积分的绝对连续性5.3.4 勒贝格控制收敛定理5.3.5 黎曼积分与勒贝格积分5.4 重积分与累次积分5.4.1 Fubini 定理5.4.2 Fubini 定理的应用5.5 微分与不定积分5.4.1 不定积分5.4.2 单调函数可微性5.4.3 有界变差函数5.4.4 绝对连续函数5.5.5 积分变量替换公式5.5 一般测度空间上的Lebesgue 积分 5.5.1 简单函数的Lebesgue 积分 5.5.2 非负可测函数的Lebesgue 积分 5.5.3 一般可测函数的Lebesgue 积分 5.5.4 Lebesgue积分收敛定理习题5习题参考答案 （字数：约 1万字）参考文献总字数： 约为 23万 字注：以上数字均按版面字数计算，请各位作者严格按照大纲规定控制字数，上下浮动不超