零件参数设计——1997建模A题.doc

零件的参数设计摘要：本文通过研究成批生产粒子分离器某参数与7个零件参数的标定值和容差的关系，建立了一个有约束条件的非线性规划模型。首先，对参数的经验公式进行线性化处理，确定了参数近似服从正态分布，在此基础上, 以7个零件参数的标定值和容差等级为决策变量, 以生产产品的总费用为目标函数建立非线性规划模型,用软件编程计算，对108种容差等级组合逐一进行求解，选取最优的参数标定值和容差等级组合，使得生产1000个产品的总费用最低，最后求得7个零件参数的标定值分别为0.0750，0.3750，0.1143，0.1200，1.2903，13.4292，0.5791，容差等级组合为B,B,B,C,C,B,B，总费用是42.2073万元，与原设计费相比，降低了265.4842万元。然后用蒙特卡洛随机数法对模型进行检验，模拟结果吻合很好。最后对模型进行了误差分析和灵敏度分析，对产品生产提出了合理化建议。关键词： 非线性规划 标定值 容差 蒙特卡洛随机数法 一、 问题重述一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3倍。 进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。 试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。 粒子分离器某参数（记作y）由7个零件的参数（记作x1,x2,.,x7）决定，经验公式为：y的目标值（记作y0）为1.50。当y偏离y00.1时，产品为次品，质量损失为1,000元；当y偏离y00.3时，产品为废品，损失为9,000元。 零件参数的标定值有一定的容许范围；容差分为、三个等级，用与标定值的相对值表示，等为1%，等为5%，等为10%。7个零件参数标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号表示无此等级零件）：标定值容许范围等等等x10.075,0.12525x20.225,0.3752050x30.075,0.1252050200x40.075,0.12550100500x51.125,1.87550x612,201025100x70.5625,0.93525100 现进行成批生产，每批产量1,000个。在原设计中，7个零件参数的标定值为：x1=0.1,x2=0.3,x3=0.1,x4=0.1,x5=1.5,x6=16,x7=0.75;容差均取最便宜的等级。请你综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少？二、 模型的假设（1）各个零件的参数服从正态分布且相互独立；（2）各个零件参数的容差为均方差的倍；（3）经验公式有较高的精度，即不考虑经验公式的误差；（4）当产品参数时，产品无质量损失；当产品参数时，产品为次品，质量损失为1000元；当产品参数时，产品为废品，质量损失为9000元。三、 符号说明第个零件参数的实际值（）；第个零件参数的标定值（）；粒子分离器的某参数值；粒子分离器参数的目标值；第个零件标定值容许范围的下限（）；第个零件标定值容许范围的上限（）；表示容差等级为时，最大偏移量与标定值的相对值，即；表示容差等级为时，最大偏移量与标定值的相对值，即；表示容差等级为时，最大偏移量与标定值的相对值，即；1000个产品因参数偏离造成的损失和零件成本的总费用；7个零件参数的容差等级组合在第种情况下生产1000个产品的总费用（）；7个零件参数的容差等级组合在第种情况下生产一件产品的平均费用（）；7个零件参数的容差等级组合在第种情况下每个产品的零件成本（）；第个零件在第种容差等级组合中的成本（，）；7个零件参数的容差等级组合在第种情况下平均每个产品质量损失的期望（）；四、 问题分析决定粒子分离器性能的某参数由7个零件的参数决定，这些零件的参数包括标定值和容差两部分。在零件成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。零件的成本只由选择容差等级决定，容差设计得越小，成本越高。零件参数标定值的选择和容差等级的设计会影响到产品参数偏离目标值的大小，偏离的越大，损失越大。所以，为使生产1000个产品的总费用达到最小，应统筹规划，选取最优的零件参数标定值和容差。假设每个零件的参数都符合正态分布，那么通过对参数进行线性化，可以认为参数也符合正态分布。根据经验公式，参数的分布可由7个零件的参数分布求得，从而可以求出平均每个产品质量损失的期望。现在把生产1000个产品的总费用设定为目标函数，则可通过求解生产每个产品的平均费用来确定总费用最小时的最优解。生产每个产品的平均费用由两部分组成：这个零件的成本和参数偏离目标值y0所造成质量损失的期望。根据题目中所给的条件，我们知道对于每个零件，不同的容差等级对应不同的零件成本，所以一共有种不同的容差等级组合，这108种容差等级组合对应了108种生产1000个产品的零件成本和产品质量损失的期望。可以先求出每种容差等级组合中7个零件标定值的最优解，再从108组最优解中选取总费用最低的解作为总体的最优解。五、 模型的建立5.1 确定参数的统计特征首先，为了简化模型，我们需把题目中所给出的关于产品参数的经验公式进行线性化（线性化的可行性见附录一），将该公式在处进行泰勒展开，展开式如下：,又因为：,所以可以略去佩亚诺余项，得：,又整理得： ,记上式为： ,其中：， .而由，且间相互独立，又由为的线性组合，所以也服从正态分布，设，则根据概率统计知识： 记的概率密度函数为,则：.这样就确定了参数的统计特征。5.2 构建目标函数本问题是一个有约束条件的非线性规划问题。我们已经知道有种可能的7个零件参数容差等级组合的情况，如果求出这种7个零件参数的容差等级组合所对应的个总费用，比较这108个总费用的大小，取最小值，则对应的7个零件参数的标定值和容差组合即为题目所求。现讨论7个零件参数的容差等级组合在第种情况下，生产1000个产品的总费用。因为：.记：其中： ， ， 优化的关键在于，要使这种情况下的总费用取得最小，即使得平均每个产品的费用取得最小。由此，可建立以下模型：第种情况下，每件产品的零件成本为7个零件的成本之和，所以： 其中为第种情况下第个零件的成本。若记第种情况下，且的概率密度为，则：，其中：上式中为第中情况下对的偏导。又上式中为第中情况下，第个零件参数的标准差。根据题意容差为均方差的3倍，所以：其中，上式中的是指在第种情况下，第个零件选取容差等级为时，最大偏移量与标定值的相对值，题目中已给出：。那么，第种情况下平均每个产品损失的期望为：化简得：.于是，我们就得到了的表达式。综上所述，在综合考虑偏离造成的损失和零件成本后，构建总费用的目标函数： 此目标函数表明，我们求出这108种容差等级组合以及相应零件参数标定值所对应的产品费用（）后，取（）中的最小值为要求的总费用，那么这个所对应的零件参数标定值和容差等级组合即为所求的最优解。 六、 模型的求解对于原设计方案，由于其容差等级组合是确定的，我们可求得参数的概率密度函数，从而求得原设计方案中每个零件损失的期望，进而可以算得每个产品的成本，求得如下结果（如表一）：表一 总费用/万元正品率次品率废品率307.691512.63%62.33%25.04%因为原方案中，参数的期望是1.7256，偏离1.5较大；而方差为0.012，较小。所以大部分产品对应的集中在1.7256附近，这样次品率很大，所以总费用很大。这与模型求解的结果是相符的。从这些数据可以看出，原方案存在明显的缺陷。针对我们建立的模型，对于每一种容差等级组合，可以用工具中求解非线性规划的方法解出一组解，因为有108种容差等级组合，所以就有108组解，再在这108组解中比较出总费用最小的解，即为最优解。在用工具中命令的时候容易给出局部最优解，但这与初始值的选取有关。为了尽可能的给出全局最优解，可取不同的初始值解出不同的局部最优解，再取其中总费用最小的解为最优解。结果如下（如表二，表三）：表二总费用/万元正品率次品率废品率42.207382.6%17.4%0%表三标定值容差等级零件一0.0750B零件二0.3750B零件三0.1143B零件四0.1200C零件五1.2903C零件六13.4292B零件七 0.5791B新的参数设计比原设计的费用降低了265.4842万元。七、 模型的检验7.1 用正态分布近似产品参数y分布的可靠性检验在模型的建立中，我们把产品参数的经验公式作了线性化处理，用正态分布近似参数的分布，下面验证其可靠性。一方面，对于蒙特卡洛随机数法得到的的分布：根据假设各个零件的参数服从正态分布且相互独立，取表三7个零件的标定值和容差等级，运用蒙特卡洛随机数法，可随机产生1000组零件参数的数据，由此可计算出1000个产品的参数的模拟值，统计直方图如图一所示： 图一由图形初步判断数据服从正态分布。利用统计绘图函数进行正态分布检验，如图二：图二上图说明参数近似服从正态分布。用中的函数对参数是否服从正态分布做灵敏度为0.01的检测，返回值，故参数确实服从正态分布。最后对参数进行参数估计：利用软件里的命令估计出参数的均值为1.4999，标准差为0.0663，均值的置信度为0.95的置信区间为，标准差的置信度为0.95的置信区间为。所以，运用蒙特卡洛随机数法得到的参数服从正态分布。另一方面，对于线性化时得到的参数的正态分布：其均值为1.4968，标准差为0.0688，它的结果和蒙特卡洛随机数法得到的参数的均值和方差基本接近。所以假设参数服从正态分布是可靠的。7.2对最优解的检验用我们建立的模型计算出来的最优解的总费用实际上是一个期望值，实际成批生产每1000个产品时的损失费都会不同。现在用蒙特卡洛随机数法,在最优解情况下，得到20个成批生产1000个产品的损失费，如表四所示：表四单位：万元第1次第2次第3次第4次第5次42100414000417000443000425000第6次第7次第8次第9次第10次428000432000404000417000437000第11次第12次第13次第14次第15次458000417000428000400000418000第16次第17次第18次第19次第20次42100040000041000042900004240000这20个数据的平均值为42.2150万元，与模型求出来的42.2073万元相差不到0.02%，所以模型较好。八、 模型的分析8.1 误差分析（1）由于对产品参数的经验函数进行了线性化近似处理，才使它服从正态分布，但是我们略去了余项，这里引起了一定的误差。（2）计算机实现模拟的时候，不可避免的引起了一些误差。尤其在运用软件中的命令时，随着选取初始点的改变，最优解会有所不同，只能做到局部最优，不能解出参数在其可行域的最优解，这里引起了一定误差。此误差可以通过多次选取不同的初始点，求取最优解之后，选取其中的最优的一组解来减小误差。其实，这一问题可以通过偏导，取驻点讨论，从而求到在其可行域的最优解，但是计算十分繁琐。8.2灵敏度分析：我们已经求解得到了零件标定值的最优解，这组最优解是在综合考虑7个零件对产品总费用的影响后得出的结果。现在，我们需评价每个零件参数对产品总费用的影响，得到产品总费用对各个零件参数的敏感程度，以便在今后的设计中进一步控制各个零件参数的变化范围，使得产品总费用最小。具体操作是：先固定其中6个零件参数的标定值，改变余下的那一个零件参数的标定值，使其在一定的范围内递增，这时求得其对应的总费用变化率。依此类推，这样可求出7个零件参数变化时对应的总费用变化率。最后比较这7组总费用变化率，哪个零件对应总费用变化率越大，则可说明这个零件对总费用的影响越大，也即产品总费用对这个零件参数越敏感。各零件对产品总费用的影响参照附录二。所得结论如下：由附录各表中数据的分析比较，可以得知，在零件参数的标定值递增时，零件5参数的变化对总费用影响越大，其后依次是零件2、零件1、零件6、零件7、零件3，零件4 参数的变化对总费用的影响最小。所以，产品总费用对零件5 参数越敏感，在今后的设计中，要尽量使零件5参数的设定接近最优解，而零件4 参数的设定则可放宽要求。九、 模型的评价9.1模型的优点（1）模型的建立中，我们把经验公式进行线性化，求得参数y近似服从正态分布，从而求出了平均每个产品损失的期望，较蒙特卡洛随机数法，线性化模型求解运算速度较快。（2）通过对参数进行线性化处理，简化了模型，最后得到的结果与蒙特卡洛随机数法的结果近似相等，得到的数据较为理想。9.2模型的缺点由于在对参数进行线性化处理的过程中略去了佩亚诺余项，随之引入了一定的误差，对求解的精度造成了一定的影响。十、 参考文献1 邓集贤等，概率论及数理统计，北京：高等教育出版社，20092 苏金明，MATLAB工具箱应用，北京：电子工业出版社，20043 华东师范大学数学系，数学分析，北京：高等教育出版社，2009附录一：说明参数的经验函数可以进行线性化。因为 、在其可行域内是连续可导的，下面只要说明函数是连续可导的即说明连续可导，那么就可以线性化处理。令，由是相互独立的，结合其取值范围分别为，所以的取值范围是。则：对求导，得：易知恒成立，所以是的减函数，而这样是连续可导的。综上知，参数可以线性化。附录二：零件参数标定值变化对总费用的影响：附录表一变化率0%0.1%0.5%1%0.075000.0750750.0753750.07575总费用/万元42.207342.172442.315043.1283总费用变化率0%0.082%0.200%1.718%零件参数标定值变化对总费用的影响：附录表二变化率0%0.1%0.5%1%0.37500.3753750.3768750.37875总费用/万元42.207342.248642.549743.