设数列{an}的前n项和.doc

B6-020 设数列an的前n项和Sn=2an-1（n=1，2，） （1）数列bn满足条件b1=3，bk+1=ak+bk （k=1，2，） （2）求数列bn的前n项和【题说】1996年全国数学联赛二试题1【解】由（1）得a1=1又由 an=Sn-Sn-1=2an-2an-1an=2an-1故an=2n-1，Sn=2n-1，从而=2n+2n-1B6-021 设r为正整数，定义数列an如下：a1=1，且对每个正整数n，证明每个an都是正整数，并且确定对哪些n，an是偶数【题说】第一届（1992年）中国台北数学奥林匹克题4【证】由题设，有（n+2）an+1=nan+2（n+1）2r （1）两边同乘以n+1，得（n+2）（n+1）an+1=（n+1）nan+2（n+1）2r+1令bn=（n+1）nan（n=1，2，），则b1=2，且bn+1=bn+2（n+1）2r+1 （n=1，2，）所以 n |bn再将bn改写成即得（n+1）|bn由于n，n+1互质，故n（n+1）|bn是正整数在n3（mod4）时，用类似的方法也可证明在n0（mod 4）时，an是偶数；在n不难验证在n为奇数时，由（1）得an+1an（mod 2）在n0（mod 4），由（1）得2an+12（mod 4）所以an+11（mod 2）在n2（mod 4）时，由上面所证an+10（mod 2）所以由结论对an成立导出结论对an+1成立于是，对一切自然数n，n0或3（mod 4）时，an为偶数，其它情况an为奇数B6-023 设xn、yn为如下定义的两个整数列：x0=1，x1=1，xn+1=xn+2xn-1 （n=1，2，3，）y0=1，y1=7，yn+1=2yn+3yn-1 （n=1，2，3，）于是这两个数列的前几项是： x：1，1，3，5，11，21， y：1，7，17，55，161，487，证明：除了“1”以外，两个数列中不再有其他相同的数【题说】第二届（1973年）美国数学奥林匹克题2【证】用数学归纳法证明xn从第3项起，奇数项被8除余3，偶数项被8除余5当n=2，3时，xn=3，5，结论成立假设nk（k3）时结论成立，则当n=k+1时，xk+1=xk+2xk-1=（xk+xk-1）+xk-1因（xk+xk-1）被8除余数恰为0，故xk+1与xk-1被8除后，余数相同；而（k+1）与（k-1）奇偶相同同法可证yn从第2项起，奇数项被8除余1，偶数项被8除余7综上所述，除“1”外，二数列中没有别的数相同B6-024 数列a1，a2，a3，满足a1=1/2且a1+a2+an=n2an（n1）确定an的值（n1）【题说】第七届（197年）加拿大数学奥林匹克题2【解】令sn=a1+a2+an，则an=sn-sn-1=n2an-（n-1）2an-1B6-025 设数列u0，u1，u2，的定义如下：试证：这里x表示不大于x的最大整数【题说】第十八届（1976年）国际数学奥林匹克题6本题由英国提供【证】首先用数学归纳法证明：当n0时，事实上，由可知命题对n=1，2为真设命题对n=k-1，k为真，我们证明命题对n=k+1为真令由数列的递推关系得=2f（k）+2f（k-1）+2-f（k）+2f（k-1）+2f（k）-2f（k-1）因为所以这就证明了命题对n=k+1为真易知是整数，从而2-f（n）是真分数，故B6-026 设0u1，且定义证明：对n的所有值，un1【题说】第九届（1977年）加拿大数学奥林匹克题6【证】用数学归纳法证明1un1+u，n=1，2， （1）（）1u1=1+u满足（1）式（）假设n=k时（1）满足，则即 1uk+11+u因此，对n所有值（1）成立B6-027 求实数a0的集合，使得由an+1=2n-3an，n=0，1，2，定义的无限序列an是严格增加的，即对于n0有anan+1【题说】1980年英国数学奥林匹克题4【解】an+1=2n-3an=2n-32n-1+32an-1=2n-32n-1+322n-2-33an-2=2n-32n-1+322n-2-+（-3）n+（-3）n+1a0以在n充分大时，an正负交错B6-028 选取一列整数a1，a2，a3，使得对每个n3，都有an=an-1-an-2若该数列前1492项之和等于1985，前1985项之和等于1492那么前2001项之和是多少？【题说】第三届（1985年）美国数学邀请赛题5【解】设a1=a，a2=b，则a3=b-a，a4=-a，a5=-b，a6=a-b，a7=a，每6个重复一遍，且每相邻6项之和为零于是（a1+a2+a1488）+a1489+a1490+a1491+a1492=1985故 a+ b+（b-a）+（-a）=1985即 2b-a=1985 （1）又 （a1+a2+a1980）+a1981+a1985=1492得 a +b+（b-a）+（-a）+（-b）=1492即 b-a=1492 （2）由（1）、（2）解得b=493因此=a+ b+（b-a）=2b=986B6-029 对于每个实数x1，由xn+1=xn（xn+1/n），n1，构成序列x1，x2，证明：存在唯一的x1，使得0xnxn+11（n=1，2，）【题说】第二十六届（1985年）国际数学奥林匹克题6本题由瑞典提供【证】设P1（x）=x，Pn+1（x）=Pn（x）（Pn（x）+1/n），（n1）那么Pn（x）是正系数的2n-1次多项式于是xn=Pn（x1），由于xn+1xn与xn1-1/n等价，问题可改为证明存在唯一的正实数t，使得1-1/nPn（t）1（n=1，2，）由于Pn（x）是严格的增函数（x0），Pn（0）=0，且P1（1）=1，Pn（1）1（n2），我们可以找到唯一的anbn1，使Pn（an）=1-1/n及Pn（bn）=1又由Pn+1（an）=1-1/n及Pn+1（an+1）=1-1/（n+1），可得anan+1同理，由Pn+1（bn+1