180.等边三角形(顾)最新(2).doc

等边三角形（1）【目标导航】1.了解等边三角形的性质和判定；2理解如何用轴对称性质解释等边三角形的有关性质【要点梳理】活动1 复习旧知1等腰三角形的定义： 2等腰三角形的性质： ； 3等腰三角形的判定： 活动2 等边三角形的性质与判定1等边三角形的定义： 2等边三角形的性质： ； 3等边三角形的判定： ； 指出：1等边三角形是特殊的等腰三角形，除有本身的性质外，还具有等腰三角形的所有性质2等边三角形的定义既是等边三角形的性质，又是它的判定在证明等边三角形时，若已知三边关系，则先选用定义法；若已知三角关系，则先选用判定1；若已知等腰三角形，则先选用判定2活动3 等边三角形的性质与判定的应用1 如图，ABC是等边三角形，DEBC，交AB，AC于D，E求证：ADE是等边三角形372如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取 点D，E，F，使ADBECF求证：DEF是等边三角形3 如图，ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，CE平分ACD，且CEBD求证：DAE为等边三角形4 如图，ABD，AEC都是等边三角形，BE，CD相交于O求证：BEDC；求BOC的度数5如图1，点A是线段BC上一点，ABD，AEC都是等边三角形，BE交AD于点M，CD交AE于N求证：BEDC；求证：AMN是等边三角形；将ACE绕点A按顺时针方向旋转90，其它条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断、两小题结论是否仍然成立，并加以证明图16如图，ABC是等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AEBD，连结CE，DE求证：ECED【课堂操练】1在ABC中A60，要使ABC是等边三角形，则需添加的一个条件是： 2. （2011年广东茂名中考）如图，已知ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CGCD，DFDE，则E 度ABCDEFG3下列三角形：有两个角等于60；有一个角等于60的等腰三角形；三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有( ) A. B. C. D.4如图，ABC和ADE都是等边三角形求证：BECD5如图，在等边ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，DCAE，AD、BE交于点F，求BFD的度数6如图，在ABC中，ABAC，D是CB延长线上一点，D60，E是AD上一点，且有DEDB，求证：AEBEBC【课后巩固】1 等边三角形是轴对称图形，它有 条对称轴，对称轴是 所在的直线2已知AD是等边ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则AFE_3. （2011年广西梧州中考）如图，点B、C、E在同一条直线上，ABC与CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（ ）AACEBCD BBGCAFC CDCGECF DADBCEAABCAEGFD4如图1，在等边ABC中，AD是BC上的高，BDECDF60，图中与BD相等的线段有： 5如图2，E是等边ABC中AC边上的点，12，BECD，则对ADE的形状最准确的判断是( )A等腰三角形 B等边三角形 C不等边三角形 D不能确定形状6如图3，ABC是等边三角形，AD是角平分线，ADE是等边三角形，下列结论：ADBC；EFFD；BEBD其中正确的有（ ）A3个 B2个 C1个 D0个7如图4，已知点D是BC上一点，且满足ABACBD，那么1与2的关系是（ ）8下列说法正确的是（ ）A有一个角相等的两个等腰三角形全等B有一条边对应相等两个等腰三角形全等C有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等D有一条边对应相等的两个等边三角形不一定全等9如图ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CECD，求证：DBDE 10已知：AD是ABC的中线，ADC60，BC4把ADC沿直线AD折叠后，点C落在点C的位置上，求BC的长11如图，ABC是等边三角形，延长BC至E，延长BA至F，使AFBE，连结CF、EF，过点F作直线FDCE于D，试发现FCE与FEC的数量关系，并说明理由12如图，点D是等边ABC内一点，DBDA，BPAB，DBPDBC求BPD的度数 13如图，在ABC中，ABAC，D是ABC外一点，且ABDACD60求证：BDDCAB【课外拓展】14.等边三角形给人以“稳如泰山”的视觉感受，它具有独特的对称性，请你至少用三种不同的方法，将以下三个等边三角形分割成四个等腰三角形（在图中画出分割线，并标出必要的角的度数）15.如图，点D是等边ABC内一点，将BOC绕点C顺时针旋转60得ADC，连接OD求证：DOC是等边三角形；当150时，判断AOD的形状，并说明理由；探究：当为多少度时，AOD是等腰三角形 16. （2011年浙江绍兴中考）数学课上，李老师出示了如下框中的题目.小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“”,“”,“”或“”）.理由如下：如图2，过点E作EFBC，交AC于点F.（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC.若ABC 的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）.参考答案【要点梳理】活动11有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.3如果一个三角形有两个底角相等，那么这两个角所对的边也相等.活动21三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2（1）等边三角形的三条边都相等；（2）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60；3（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.活动31答案：ABC是等边三角形，A=B=C.DEBC，ADE=B，AED=C.A=ADE=AED.ADE是等边三角形2答案：ABC是等边三角形，A=B=C，AB=BC=AC.ADBECF，BDCEAFDBEECFFADDE=EF=DF.DEF是等边三角形3答案：ABC是等边三角形，AB=AC，B=ACB=60，ACD=120CE平分ACD，ACE=DCE=60在ABD和ACE中，AB=AC，B=ACE，BD=CE，ABDACE（SAS），AD=AE，BAD=CAE，DAE=BAC=60，ADE为等边三角形4答案：（1）ABD，AEC都是等边三角形，AD=AB，AC=AE，DAB=CAE=60.DAC=BAE.DACBAE(SAS).BEDC；（2）BOC=DBO+BDO=ABO+ABD+BDO=ADC+ABD+BDO=ABD+ADB=60+60=120.5答案：（1）ABD，AEC都是等边三角形，AD=AB，AC=AE，DAB=CAE=60.DAC=BAE.DACBAE(SAS).BEDC；（2）DACBAE，ABM=ADN.BAD=EAC=60，DAN=60.又AB=AD，ABMADN(ASA).AM=AN.又MAN=60，AMN是等边三角形；（3）图略，小题结论仍然成立，过程同（1）；（2）小题结论不成立，因为此时MAN并不等于60.6答案：延长CD到F，使DF=BC，连结EF，AE=BD，AE=CF. ABC为等边三角形，BE=BF，B=60. EBF为等边三角形，F=60，EF=EB. 在EBC和EFD中，EB=EF，B=F，BC=DF，EBCEFD，EC=ED（SAS）.【课堂操练】1AB=AC，或B=60等；215；3D4答案：ABC和ADE都是等边三角形，AB=AC，AE=AD，BAE=CAD=60BAECAD.BECD5答案：ABC是等边三角形，AB=AC，BAC=C=60.又DCAE，BAEACD.ABEDACBFD=ABE+BAD=DAC+BAD=BAC=606答案：过点A作AFBC于FAF是等腰ABC底边上的高，BC = 2BF D60，DEDB，BDE是等边三角形，BE = DE = DB 在RtADF中，AFD = 90，ADF = 60，可得AD = 2DF 所以，AE = AD-DE = 2DF-DB = 2(DB+BF)-DB = DB+2BF = BE+BC 【课后巩固】13，各边中线；260；3D；4BE,DE,CD,CF,DF,AE,AF；5B；6A；7相等；8C9答案：BD是等边ABC的中线，DBC=ABC=60=30DCE=180ACB=120，又CE=CD，所以E=CDE=30E=DBE，BD=DE10答案：连接BC.AD是ABC的中线，BD=DC.又DC=DC，BD=DC.ADC60，ADC=60，BDC=60，BDC是等边三角形，BC= BD=2.11答案：FCE=FEC.ABC是等边三角形，AB=BC，B=60FDCE，BFD=30，BD=BF，又BC=AB，CD+BC=(AF+BC)，AF=BE，CD=(AF-BC)=(BE-BC)，CD=CE又FDCE，FC=FE，FCE=FEC.12CA=CB，AB的垂直平分线必过C、D两点，BCD=30AB=BP=BC，DBP=DBC，BD=BD，BDCBDP，BPD=BCD=3013答案：延长BD至F，使得AF=AB，连结CF.AB=AF， ABF=60，ABC是等边三角形，AFB=60， AB=BF，AFB=ACD.AB=AC，AC=AF.ACF=AFC.ACF-ACD=AFC-AFB.DCF=DFC.DC=DF.DC+BD=DF+BD=BF，又AB=BF，DC+BD=AB.14答案：如图所示：【课外拓展】15答案：（1）证明：将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC，BOCADC，OCD=60，CO=CDCOD是等边三角形；（2）ADCBOC，DA=OBCOD是等边三角形，OD=OC，且ADC=150，即可得ADO=90，AOD为直角三角形（3）若AOD是等腰三角形，所以分三种情况：AOD=ADO；ODA=OAD；AOD=DAOAOB=110，COD=60，BOC=190-AOD，而BOC=ADC=ADO+CDO，由AOD=ADO可得BOC=AOD+60，求得=125；由ODA=OAD可得BOC=150- AOD，求得=1