概率递归算法在医院业务中的应用.doc

概率递归算法在医院业务中的应用摘要本文针对某医院眼科住院部接收排队等待住院的病人队列越来越长这一现象，分析得出单纯考虑公平时，资源利用率低下这一结论;而后在不大幅破坏公平性的前提下，通过定性分析建立了以资源浪费总时间最短和风险值最低为目标的多目标决策问题，得出新的分配方案，并用计算机对已有数据仿真模拟，检验了新方案的合理性。最后结合数学规划理论，引入了“概率递归算法”，该方法可以在病人门诊时预测其大致住院时间。关键词：病人队列 资源利用率 概率递归算法1 引言现实生活中排队等候有限资源现象处处可见。作为资源管理者，最关心的问题当然是如何制定合理的资源分配方案，使单位时间内这有限资源的有效利用率最大。当然，公平性是必须要考虑的，但只单纯的考虑公平性，如本文某医院眼科住院部若只是死板的按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，就可能出现等候队列越来越长，病床利用率极低这一结果，从而影响医院的正常运营。所以必须在不严重破坏公平性的前提下，制定新的病床分配方案，以提高资源的有效利用率。本文通过分析该医院手术安排情况，用静态规划方法很好的解决了这一问题。作为排队等候者，最关心的问题当然是能否在排队等候时就提前告知大概何时可以接受到服务。以本文病人为例，若在门诊时就能较准确的得知自己大致住院时间，就可以提前做好相关准备，合理安排入院前时间。本文将概率论相关知识融入到数学规划中，采用递归的思想得到了“概率递归算法”，可以根据当时已住院病人和等待住院病人的统计情况，预测门诊病人的大致入住时间。 2 病床的合理分配2.1医院现状简述该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。白内障手术较简单，没有急症。该院每周一、三做白内障手术，术前准备时间只需1天。做两只眼的病人大约占60%。做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病大致住院后2-3天内就可接受手术，术后观察时间较长。手术不安排在周一、周三。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制。当前该住院部对全体非外伤病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长。附录给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。2.2病床分配分析要确定一套病床分配方案，只需要确定两个问题：不同眼疾之间的优先权问题（即哪种眼疾病人应优先入院）和同种眼疾下不同病人之间的优先权问题。当前，该医院采用的是外伤患者优先入院且不同外伤患者间FCFS，其他眼疾无特殊优先权按FCFS规则住院。由于外伤属急症必须及时住院治疗，所以外伤患者有最高优先权合乎情理。而其他眼疾无急症，按FCFS可保证绝对公平性。但由于手术时间的限制（白内障单眼手术只能在周一，周三做；双眼只能在周一做；青光眼和视网膜疾病手术不能安排在周一，周三），这种绝对公平性带来的确是资源的高度浪费。试想若一白内障双眼患者在某个周日到达门诊，而第二天有空床让其住院，由于术前准备一天，所以需等到下周一手术，所住病床将会浪费约一周时间；医院完全可以将这张空床留给排在其后但可马上手术出院的其他病人，同时将其安排在下周日住院，周一周三手术，从而最大限度的提高病床利用率。基于以上分析，新的分配方案须对两个优先权问题做出合理的回答，在兼顾公平的前提下，使病床有效利用率最大。先看第二个问题，由于同种眼疾下不同病人之间的先后顺序并不影响病床的有效利用率，所以按照公平的原则，同种病人之间应按FCFS规则住院；再考虑第一个问题，由于外伤属急症，所以还应该有最高优先权，考虑到非外伤患者手术时间的限制，不同非外伤病症之间的优先权应该是随时间变化的（跟当天是周几有关）。综上，我们制定了一套随时间变化的新的病床分配方案。2.3新的病床分配方案基于2.2的分析，做以下几点基本假设：（1）通过对附录1中数据进行统计分析，发现青光眼患者与视网膜疾病患者的术前准备时间，手术时间，术后观察时间大致相同，耦合度极高。故为方便起见，可将这两种眼疾视为一种处理。（2）新的分配方案容许在还有病人未住院的情况下有病床剩余，一方面考虑到这些病人的手术时间限制，当天住院的话会造成资源浪费；另一方面，如果第二天有较多急症患者或可迅速手术出院的其他患者，可将病床留给他们，以获得资源的有效利用。（3）由于外伤的特殊性，原则上有病床空余立即给外伤病人。所以可暂不考虑外伤，只需讨论其他眼疾每天的优先权问题。（4）为方便起见，分别用A，B，C代表白内障双眼，白内障单眼，青光眼或视网膜疾病患者。首先做定性分析，绘制不同病人的手术时间表：MonTueWedThuFriSatSunAB C通过对附录中数据进行统计知，每天来门诊的A、B、C 三种病人共8人左右，其中A大约2人，B2人，C4人，平均每天出院8人。由于A类病人仅在周一做第一次手术，且术前准备时间仅为1天，若将其安排在周末入院，则可最大限度的提高病床利用率；又A类病人平均每周可到14人，而每天仅可空出8张床左右，故应尽可能将其安排在周五周六周日住院。B类病人仅在周一或周三手术，每周可来14人左右，又术前准备时间也为1天，最好安排在周一，周二，周六，周日入院。C类病人二四五六日手术，术前准备时间为2天，安排在二三四五日入院较好。根据以上分析可在不考虑相互冲突的情况下，绘制理想入院时间表： MonTueWedThuFriSatSunABC 由上表知，三者较为合适的入院时间都有周日，而周一仅为B的理想入院时间，周三周四仅为C的理想时间。故可将B尽可能优先安排于周一，C安排于周三周四，以便缓解公共时间病床紧张的压力。 下面将用数学规划中静态规划方法定量的分析每天不同类型眼疾的优先权问题。假设每天门诊及出院病人数均为8，A、B、C三类病人每天各来2，2，4 人，且该系统长期处于稳定状态。决策变量x1，x2 x7分别代表A类病人周一至周日的入院人数，y1，y2 y7代表B类病人每天入院人数，z1，z2 z7代表C类病人。则平均每周浪费总时间U，可表示为：U=6x1+5x2+4x3+3x4+2x5+x6+y1+4y3+3y4+2y5+y6+z1+z6注：若A类病人周一住院，则得等到下周一手术，比起最优的周日住院将浪费6天时间。但若较多的A类病人被安排在周日（B类病人被安排在周二），一旦周日（周二）床位紧张，没有足够的空床，则会造成这些病人再多等一周（5天）的不公平现象，所以应引入一风险函数E。以A类病人为例，A的风险应该与被安排在周日入院的人数x7成正相关，且一旦空床不足，则A需多等7天。近似认为A的风险为7x7；同理，B的风险为5y2；由于C类病人手术灵活性大，忽略其风险。故总风险函数为：E=7x7+5y2现在要确定决策变量的值，使U和E都尽量小。由于医院病床较多，故认为E的影响远小于U。将U和E分别配以权重1，0.01，得新的目标函数FF=U+0.01E此时问题变为一个整数规划问题：Min F =U+0.01E s.t. 用LINDO解上述整数规划问题得：1234567xi0.000000.000000.000000.000000.000008.000006.00000yi8.000004.000000.000000.000000.000000.000002.00000zi0.000004.000008.000008.000008.000000.000000.00000综合分析上述结果，得不同时间的优先权：MonTueWedThuFriSatSunBBCCCCAAAB（表一）注：周一B表示周一只接收B类病人，不接收A，C类。为了得到新方案对参数的稳定性，分别计算绘制参数在小幅度变动下的不同时间优先权表。每天门诊及出院病人数均为9，其中A，B，C各3，2，4人的优先权表：MonTueWedThuFriSatSunBBCCCCAAA（表二）每天门诊及出院病人数均为7，其中A，B，C各2，2，3人的优先权表：MonTueWedThuFriSatSunBBCCCAA（表三）比较表一与表二三，知新方案（表（一）随参数的小幅波动变化不大，故新方案有很好的稳定性。2.4 实例应用为了测试新分配方案的合理性，并与FCFS规则进行一个直观的比较，根据7月13日9月11日的数据规律，用计算机按相应概率随机生成了之后200天内来访病人数据，并用这些数据分别按新旧两种规则仿真模拟了这200天内病人队长的变化趋势，如下：从图中可知，使用FCFS规则在未来队长会不断增加，而使用新规则则不会出现这样的问题，队长反而缩短了。显然，新规则有效地解决了队长的问题。3 病人住院时间的预测根据实际情况我们作如下基本假设：（1）由于外伤属急症，若该医院无空床，病人须立即换院治疗，所以不需要对外伤患者的入院时间进行预测。为简便起见，认为医院为外伤患者留有固定量的病床，从而以下不考虑外伤。（2）为方便计算日期，认为医院每天中午对剩余病床数，住院病人情况以及已排队病人情况进行第一次统计，并确定第二天出院病人；下午门诊并按新规则接收前一天等待队伍中的病人入院，晚上对住院病人情况和当前排队病人情况进行第二次统计；第二天上午手术且为可出院病人办理出院手续。3.1符号说明及定义优先权映射（周一）=优先接收B类病人，其次是C类病人，不接收A类病人；（周二）=只接收B类病人； （周日）=只接收A类病人；即将每天映成该天所对应的新的病床分配规则。第n天中午统计时病床状态集合M（n）=（A，i1，fi1（n），i2，fi2（n），（B，j1，gj1（n），j2，gj2（n），（C，m1，hm1（n），m2，hm2（n）；表示从当前算起（当前记为第1天），第n天中午统计时病床占有情况。其中fi1（n）表示第n天时占用病床的A类病人中未做手术但已住院i1天的人数； fi2（n）表示第n天时占用病床的A类病人中做完第一次手术后i2天的人数；gj1（n）表示第n天时占用病床的B类病人中未做手术但已住院j1天的人数；gj2（n）表示第n天时占用病床的B类病人中做完手术后已观察j2天的人数；hm1（n）表示第n天时占用病床的C类病人中未做手术但已住院m1天的人数；hm2（n）表示第n天时占用病床的C类病人中做完手术后已观察m2天的人数。由附录1数据及新规则知：i1=1,2；i2=0,1,2,3,4,5；j1=1；j2=0,1,2,3； m1=1,2；m2=0,1，13。第n天晚上统计时病床状态集合M#（n）=（A，i1，f#i1（n），i2，f#i2（n），（B，j1，g#j1（n），j2， g#j2（n），（C，m1，h#m1（n），m2，h#m2（n）；第n天中午统计时排队病人集合F（n）=（A，f（n），（B，g（n），（C，h（n）其中f（n）表示第n天中午统计时仍在排队的A类病人的人数； g（n）表示第n天中午统计时仍在排队的B类病人的人数；h（n）表示第n天中午统计时仍在排队的C类病人的人数。第n天晚上统计时排队病人集合F（n）=（A，f（n），（B，g（n），（C，h（n）第n天中午确定的第二天出院病人集合 G（n）=（A，f”（n），（B，g”（n），（C，h”（n）第n天下午门诊病人集合 H（n）=（A，f#（n），（B，g#（n），（C，h#（n）第n天的病人入院安排 I（n）=（A，f#（n），（B，g#（n），（C，h#（n）用PA（k）表示每天下午来门诊的A类病人共k人的概率；，PB（k），PC（k）有相似含义。用PA（s+1s）表示A类病人中第一次手术后已住院s天且第s+1天可出院的概率；PB（s+1s），PC（s+1s）含义类似。注：根据实际情况易用统计方法得出PA（k），PA（s+1s）等值。 3.2概率递归算法 算法的目的是只通过观测M（1），F（1），G（1）和H（1）的值来预测病人的大致入院时间。第一步：记该病人来门诊的当天为第1天，即此时n=1；第二步：由第n天中午预计的病床状态集合M（n）和排队病人集合F（n），按优先权映射确定入院安排I（n）；然后将当天门诊病人集合H（n）添加到改变后的 F（n）中得到F（n），将I（n）添加到M（n）中得到M#（n）；根据G（n），和第n+1天的优先权，确定该病人是否能在第n+1天住院；第三步：若能，则跳至第五步； 第四步：若不能，则可由M#（n）和第n+1天的手术安排，确定M（n+1）；显然，F（n+1）=F（n）；由概率公式可对G（n+1）和H（n+1）进行估测，得f”（n+1）fi2（n）* PA（i2+1i2），f#（n+1）k* PB（k），同理可求出 g”（n+1），h”（n+1）和g#（n+1），h#（n+1）的估计值；算出M（n+1）， F（n+1），G（n+1）和H（n+1）的估计值后，用n代替n+1跳至第二步。第五步：输出n+1的值。以上五步可通过简单的编程，用计算机来实现。由于附录中8月15日之前病床占用情况不能准确的统计得出（可能有7月13日之前门诊的病人在8月的某天出院，但附录没有该病人具体情况），而8月15日之后的病床情况虽可准确得出，但此时FCFS规则已造成队长的严重增长，故不再适合用其间数据对算法进行验证，所以“概率递归算法”的准确性仍需在实践中进一步验证。【参考文献】1张干宗.线性规划M.武汉：武汉大学出版社,2004.2茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程M.北京：高等教育出版社，2004.【附录】 2008-07-13到2008-09-11的病人信息序号类型门诊时间入院时间第一次手术时间第二次手术时间出院时间1外伤2008-7-132008-7-142008-7-15/2008-7-192视网膜疾病2008-7-132008-7-252008-7-27/2008-8-83白内障2008-7-132008-7-252008-7-28/2008-7-314视网膜疾病2008-7-132008-7-252008-7-27/2008-8-45青光眼2008-7-132008-7-252008-7-27/2008-8-56视网膜疾病2008-7-132008-7-262008-7-29/2008-8-117白内障(双眼)2008-7-132008-7-262008-7-282008-7-302008-8-28视网膜疾病2008-7-142008-7-262008-7-29/2008-8-69白内障(双眼)2008-7-142008-7-262008-7-282008-7-302008-8-110白内障2008-7-142008-7-262008-7-28/2008-7-3011视网膜疾病2008-7-142008-7-262008-7-29/2008-8-812白内障(双眼)2008-7-142008-7-262008-7-282008-7-302008-8-213白内障(双眼)2008-7-142008-7-262008-7-282008-7-302008-8-214青光眼2008-7-142008-7-272008-7-29/2008-8-415视网膜疾病2008-7-142008-7-272008-7-29/2008-8-916视网膜疾病2008-7-142008-7-272008-7-29/2008-8-617视网膜疾病2008-7-152008-7-272008-7-29/2008-8-1218白内障2008-7-152008-7-272008-7-28/2008-7-3019青光眼2008-7-152008-7-272008-7-29/2008-8-520白内障(双眼)2008-7-152008-7-272008-7-282008-7-302008-8-221视网膜疾病2008-7-152008-7-272008-7-29/2008-8-922青光眼2008-7-152008-7-272008-7-29/2008-8-623白内障2008-7-152008-7-272008-7-28/2008-7-3024白内障2008-7-152008-7-272008-7-28/2008-7-3025白内障(双眼)2008-7-152008-7-282008-8-42008-8-62008-8-926视网膜疾病2008-7-152008-7-282008-7-31/2008-8-1027青光眼2008-7-162008-7-282008-7-31/2008-8-728白内障2008-7-162008-7-282008-7-30/2008-8-329外伤2008-7-162008-7-172008-7-18/2008-7-2230白内障(双眼)2008-7-162008-7-282008-8-42008-8-62008-8-931视网膜疾病2008-7-162008-7-282008-7-31/2008-8-1032白内障(双眼)2008-7-162008-7-282008-8-42008-8-62008-8-933视网膜疾病2008-7-162008-7-282008-7-31/2008-8-1134视网膜疾病2008-7-172008-7-282008-7-31/2008-8-1035白内障2008-7-172008-7-292008-7-30/2008-8-336视网膜疾病2008-7-172008-7-292008-7-31/2008-8-837视网膜疾病2008-7-172008-7-292008-7-31/2008-8-1038白内障(双眼)2008-7-172008-7-292008-8-42008-8-62008-8-839白内障(双眼)2008-7-172008-7-292008-8-42008-8-62008-8-840外伤2008-7-172008-7-182008-7-19/2008-7-2841青光眼2008-7-172008-7-292008-7-31/2008-8-742白内障(双眼)2008-7-172008-7-292008-8-42008-8-62008-8-943白内障(双眼)2008-7-172008-7-302008-8-42008-8-62008-8-844白内障(双眼)2008-7-172008-7-302008-8-42008-8-62008-8-1045白内障(双眼)2008-7-172008-7-302008-8-42008-8-62008-8-846视网膜疾病2008-7-182008-7-302008-8-1/2008-8-847白内障(双眼)2008-7-182008-7-302008-8-42008-8-62008-8-1048外伤2008-7-182008-7-192008-7-20/2008-7-2649白内障(双眼)2008-7-182008-7-302008-8-42008-8-62008-8-950白内障2008-7-182008-7-302008-8-4/2008-8-651青光眼2008-7-182008-7-302008-8-1/2008-8-852视网膜疾病2008-7-182008-7-302008-8-1/2008-8-1153外伤2008-7-182008-7-192008-7-20/2008-7-2554白内障2008-7-182008-7-312008-8-4/2008-8-755白内障(双眼)2008-7-182008-7-312008-8-42008-8-62008-8-856白内障(双眼)2008-7-182008-7-312008-8-42008-8-62008-8-957视网膜疾病2008-7-182008-7-312008-8-2/2008-8-1358视网膜疾病2008-7-192008-7-312008-8-2/2008-8-1459白内障2008-7-192008-7-312008-8-4/2008-8-860白内障(双眼)2008-7-192008-8-12008-8-42008-8-62008-8-961视网膜疾病2008-7-192008-8-12008-8-3/2008-8-862视网膜疾病2008-7-192008-8-12008-8-3/2008-8-1163青光眼2008-7-192008-8-12008-8-3/2008-8-1164白内障2008-7-192008-8-12008-8-4/2008-8-765外伤2008-7-192008-7-202008-7-21/2008-7-2566白内障2008-7-192008-8-22008-8-4/2008-8-867青光眼2008-7-192008-8-22008-8-5/2008-8-1668视网膜疾病2008-7-202008-8-22008-8-5/2008-8-1369白内障2008-7-202008-8-22008-8-4/2008-8-870白内障(双眼)2008-7-202008-8-22008-8-42008-8-62008-8-971白内障2008-7-202008-8-22008-8-4/2008-8-772白内障2008-7-202008-8-22008-8-4/2008-8-773外伤2008-7-202008-7-212008-7-22/2008-7-2974外伤2008-7-202008-7-212008-7-22/2008-7-2875视网膜疾病2008-7-202008-8-22008-8-5/2008-8-1476视网膜疾病2008-7-202008-8-22008-8-5/2008-8-1677白内障2008-7-212008-8-32008-8-4/2008-8-678外伤2008-7-212008-7-222008-7-23/2008-7-2979白内障(双眼)2008-7-212008-8-32008-8-42008-8-62008-8-980白内障(双眼)2008-7-212008-8-32008-8-42008-8-62008-8-981外伤2008-7-212008-7-222008-7-23/2008-7-2782白内障2008-7-212008-8-32008-8-4/2008-8-683白内障(双眼)2008-7-212008-8-32008-8-42008-8-62008-8-984白内障(双眼)2008-7-212008-8-32008-8-42008-8-62008-8-985白内障(双眼)2008-7-212008-8-42008-8-112008-8-132008-8-1686外伤2008-7-222008-7-232008-7-24/2008-7-2887青光眼2008-7-222008-8-42008-8-7/2008-8-1688白内障2008-7-222008-8-42008-8-6/2008-8-989白内障2008-7-222008-8-42008-8-6/2008-8-1090白内障2008-7-222008-8-42008-8-6/2008-8-991视网膜疾病2008-7-222008-8-42008-8-7/2008-8-1792青光眼2008-7-232008-8-52008-8-7/2008-8-1693外伤2008-7-232008-7-242008-7-25/2008-8-194白内障2008-7-232008-8-52008-8-6/2008-8-1095白内障2008-7-232008-8-52008-8-6/2008-8-996外伤2008-7-232008-7-242008-7-25/2008-7-3097白内障2008-7-232008-8-52008-8-6/2008-8-998白内障(双眼)2008-7-232008-8-62008-8-112008-8-132008-8-1799视网膜疾病2008-7-232008-8-62008-8-8/2008-8-18100白内障2008-7-232008-8-62008-8-11/2008-8-13101视网膜疾病2008-7-232008-8-62008-8-8/2008-8-20102青光眼2008-7-232008-8-62008-8-8/2008-8-16103视网膜疾病2008-7-232008-8-62008-8-8/2008-8-17104视网膜疾病2008-7-232008-8-62008-8-8/2008-8-19105白内障(双眼)2008-7-232008-8-62008-8-112008-8-132008-8-15106白内障2008-7-232008-8-62008-8-11/2008-8-15107视网膜疾病2008-7-232008-8-72008-8-9/2008-8-23108视网膜疾病2008-7-242008-8-72008-8-9/2008-8-19109视网膜疾病2008-7-242008-8-72008-8-9/2008-8-22110白内障2008-7-242008-8-72008-8-11/2008-8-15111青光眼2008-7-242008-8-72008-8-9/2008-8-17112视网膜疾病2008-7-242008-8-72008-8-9/2008-8-19113白内障2008-7-242008-8-72008-8-11/2008-8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