弧、弦、圆心角教学设计.docxVIP

课题：弧、弦、圆心角肖文记（湖北省武汉市武汉经济技术开发区第三中学）一、教学内容解析教学内容：人教版义务教育课程标准教科书 数学九年级上册：“24.1.3弧、弦、圆心角”内容解析：本节内容是在学习圆的轴对称性及垂径定理的基础上，进一步研究圆的旋转不变性及弧、弦、圆心角三组量之间的关系，实现异类数学对象之间的互相转换，感悟抽象、推理、模型三类基本数学思想，并使这些思想在后面的学习中得到进一步的发展。弧、弦、圆心角定理是圆的一个重要性质，又是学习圆周角定理及其它与圆相关知识的基石。根据以上分析，本节课的教学重点确定为：【教学重点】探索圆心角、弧、弦之间的相等关系二、教学目标设置本节内容以圆的旋转不变性为前提，在同圆与等圆中展开两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间关系的探究与应用，在探究中感悟数学思想，培养学生发现问题、提出问题、分析问题的能力。为此，确定教学目标如下：【教学目标】1学会从折扇中抽象数学对象以及它们之间的关系，培养观察与猜想的能力，体会抽象思想；2能对弧、弦、圆心角的关系进行合情推理与演绎推理，发展归纳能力与推理能力；3在解决问题的过程中，积累探究复杂问题的基本活动经验，体验类比、模型等思想方法，发展学生的创新能力，感受数学美。三、学生学情分析学生在七、八年级的几何学习中形成了一定的推理能力，能对简单问题进行证明，但从具体实例中抽象数学对象的能力、猜想的能力、发现问题与提出问题的能力、知识归纳的能力、创新的能力比较薄弱，尤其是异类别对象之间互相转化的能力更加欠缺。根据以上分析，本节课的教学难点确定为：【教学难点】两条弧相等的演绎推理四、教学策略分析结合折扇，抽象出弧、弦、圆心角三个数学对象，观察折扇收拢的过程，猜想三量之间的关系，依据圆的旋转不变性对三组量的关系进行合情推理，再利用圆的轴对称性进行严谨的演绎推理。在探究中渗透抽象、推理、模型三类数学思想，发展学生的综合素养，培养创新能力。五、教学基本流程情境导课全面探究深化拓展综合运用反思升华六、教学过程设计（一）情景导课 （巧叩柴扉门自开）引言：折扇深受人们喜爱，它送凉解燥，还使人气宇不凡。折扇与艺术联姻，艺境幽远，折扇与诗文结合，文韵飞扬，那么折扇与数学有怎样的关联呢，这节课我们一齐来寻找。【对话交流】师：观察折扇打开的动画，扇骨旋转，扇面的边缘展开是一条弧，请问这条弧所在圆的圆心在哪里？生：扇骨交汇处师：老师将将圆心及折痕所在的半径画出来，将它们从折扇中分离出来，这样我们看到一段一段的小弧以及它们所对的角，观察这些角有什么共同的特征？生：顶点在圆心，角的两边是半径。师：我们把顶点在圆心的角叫圆心角，请说出图中的圆心角。生：、师：还有些折扇它的边缘不是弧，是弦，请结合折扇打开与收拢的过程，思考：在折扇中相等的圆心角所对的弧怎样？所对的弦怎样？生：所对的弧相等，所对的弦相等。【设计意图】 从生活中的折扇引出数学对象及对象之间的关系，让学生体验数学化的过程，感悟抽象思想，感悟数学来源于生活。（二）全面探究 （双管齐下推理真）1. 【圆的旋转不变性】师：圆具有轴对称性，还具有另一个特别的性质，请观察图中的四幅图片，四个圆绕圆旋转，在任意旋转角度下它的形状、大小、位置是否发生变化？生：不变师：这就是圆的旋转不变性，圆旋转任意角度都会与自身完全重合。我们的古人非常有智慧，用石磨来碾米、磨面，石磨设计成圆盘就是充分考虑了圆的旋转不变性，再看右边的正方形是否具有旋转不变性呢？生：不具有师：正方形只有在特殊旋转角度下才会与自身完全重合。所以旋转不变性是圆特有的性质。【设计意图】 从常见生活物品的使用来感受圆的旋转不变性，发展学生的几何直观。通过与正方形的比较，从正反两个角度来理解圆的旋转不变性，为后面的推理奠定基石。2. 【定理证明】【合情推理】师：在折扇中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。那么，在圆中相等的圆心角所对的弧相等吗？所对的弦相等吗？请看图。生：可以用证明两个三角形全等来得到两弦相等。师：如何证明弧相等呢？想一想怎样的两条弧是等弧？生：在同圆与等圆中，能够完全重合的两条弧是等弧。师：怎样让这两条弧重合？老师收展折扇。生：旋转师：下面我们用信息技术来演示，请大家观察两弧是否重合。生：重合【设计意图】 通过演示，让学生真实感受两弧相等，积累用操作实践来验证猜想的经验，发展学生合情推理的能力。【演绎推理】师：我们如何来证明呢？生：一脸茫然。师：刚才我们利用信息技术，依据圆的旋转不变性对两弧相等时行了验证，圆除了旋转不变性外还有轴对称性，能否利用轴对称性来证明两弧相等呢？生：沉默师：根据轴对称性，我们学习了垂径定理，垂径定理可以证明两弧相等，那么要作出怎样的一条直径呢？请大家尝试。生：尝试师：巡视学生的探究，及时指导。生：十分钟后交流并请一名学生发言：【设计意图】 通过证明让学生削除疑惑，增强信服，发展学生逻辑推理的能力，培养学生求真的精神，提升学生综合运用知识的能力。师：对同圆进行了证明，那么等圆中是否成立呢？请大家看动画演示。生：在同圆与等圆中都成立。【设计意图】 通过演示让学生明白同圆与等圆之间的叠加与分离，扩大对定理的认识。师： 我们再次回顾三组量重合的过程，请大家观察，它们是同时重合，还是依次重合？生：同时重合师：我们还有两个问题： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角 ；所对的弦 。 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 ；所对的弧 。生：相等、相等、相等、相等。师：弧相等时应该是优弧与优弧相等，劣弧与劣弧相等。师：这三个定理说的是两个圆心角、两条弦、两条弧三组量的关系，思考一下，知道几组量相等，可以得到所有的量全相等。生：知道一组量相等，得到三组量相等。师：能不能将三个定理概括一下。生：将三个定理简单相加了一下师：不是相加，要深度融合生：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧这三组量中知道一组量相等就可以得到其余两组量相等。师：非常精炼。这个定理完整、精确的表达应该是：定理：同圆或等圆中，两个圆心角两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。【设计意图】 通过学生的表达与概括，发展学生的归纳提炼能力，语言表达能力，体验数学语言的精确与简洁美。（三）深化拓展（一路楼台直到山）问题1：如图，AB，CD是O的两条弦。（根据已知条件写出它们所对应的其余两组等量） 如果AB=CD， 那么 ， ； 如果， 那么 ， ； 如果AOB=COD，那么 ， ；【设计意图】将两个圆心角换成钝角，让学生丰富的理解定理，同时发展学生文字语言、图形语言、符号语言互相转换的能力。问题2：如图，AB是O的直径， ，COD=35则AOE的度数是 【设计意图】让学生初步感知定理中的2可以发展为3，深度理解定理。问题3：图中四个小正方形的边长相等，找出图中的等弧（能用字母表示的弧）并说明其中道理。【设计意图】设计等圆与隐圆的习题，弥补教材不足，同时让学多维度的解决问题，全面理解定理，发展学生在异类对象之间互相转换的能力。问题4：如图，在O中， ，ACB60，求证AOB=AOC=BOC【设计意图】训练学生思维的发散性，提高学生在三类对象之间互相转换的能力。（四）综合运用 （由表及里思想透）问题5：已知：AB为O的直径，DOC=90，DOC绕O点旋转，D、C两点不与A、B重合， 求证： 【学生展示】【老师归纳】虽然三位同学的辅助线不相同，有的是作直径，有的是作角相等，有的是作垂直，但都是将大弧一分为二，或者将小弧合二为一，回归的本质是圆的旋转不变性，请看老师操作弧的旋转。类比一下我们还可以将哪条弧旋转？相对应的又有几种方法？这些方法回归的是一个什么样的模型呢？【设计意图】此题设计旨在训练学生对旋转不变性的理解与应用，提升学生添加辅助线的能力，通过对不同方法的比较与提炼，渗透模型思想，让学生感悟基本思想的重要性。 （五）反思升华 （华章重奏现强音）师：打开、收拢折扇，这节课所有的内容尽在折扇之中，结合折扇我们学习了哪些数学知识？生：弧、弦、圆心角之间的关系定理师：这个定理的条件是什么？它是由圆的什么特性得到的？生：同圆或等圆，圆的旋转不变性师：折扇令我们牢记，没有同圆或等圆这个条件，即使是相等的圆心角所对的弧也不等。师：观察折扇，它可不止两个圆心角，两条弧，两条弦，在它的一收一展之间，我们今天所学的定理可以拓展，有什么样的拓展呢？生：定理中的2可以是3，也可以是多个，个。师：非常有想法