扇形、三角形、弓形、菱形公式.doc

常用面积公式面积公式扇形面积公式在半径为R的圆中，因为360的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=R2，所以圆心角为n的扇形面积： S=nR²360 比如：半径为1cm的圆，那么所对圆心角为135的扇形的周长： C=2R+nR180 =21+1353.141180 =2+2.355 =4.355(cm)=43.55(mm) 扇形的面积： S=nR²360 =1353.1411360 =1.1775(cm²)=117.75(mm²) 扇形还有另一个面积公式 S=1/2lR 其中l为弧长，R为半径 扇环面积圆环周长:外圆的周长+内圆的周长(圆周率X(大直径+小直径) 圆环面积:外圆面积-内圆面积(圆周率X大半径的平方-圆周率X小半径的平方圆周率X(大半径的平方-小半径的平方) 用字母表示： S内+S外（R方） S外S内=(R方-r方） 还有第二种方法： S=(R-r)(R+r) R=大圆半径 r=圆环宽度=大圆半径-小圆半径 还有一种方法： 已知圆环的外直径为D，圆环厚度（即外内半径之差）为d。 d=R-r， D-d=2R-（R-r）=R+r， 可由第一、二种方法推得 S=(R-r)(R+r)=(D-d)d， 圆环面积S=(D-d)d 这是根据外直径和圆环厚度（即外内半径之差）得出面积。这两个数据在现实易于测量，适用于计算实物，例如圆钢管。三角形面积公式海伦公式任意三角形的面积公式（海伦公式）：S²=p(p-a)(p-b)(p-c), p=（a+b+c）/2, a.b.c为三角形三边。 证明： 证一 勾股定理 分析：先从三角形最基本的计算公式SABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。 证明：如图haBC，根据勾股定理，得: x = y = ha = = = SABC = aha= a = 此时SABC为变形，故得证。 证二：斯氏定理 分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。 斯氏定理:ABC边BC上任取一点D， 若BD=u，DC=v,AD=t.则 t 2 = 证明：由证一可知，u = v = ha 2 = t 2 = SABC = aha = a = 此时为SABC的变形，故得证。 证三：余弦定理 分析：由变形 S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 2abcosC 对其进行证明。 证明：要证明S = 则要证S = = = absinC 此时S = absinC为三角形计算公式，故得证。 证四：恒等式 分析：考虑运用SABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。 恒等式：若A+B+C =180那么 tg tg + tg tg + tg tg = 1 证明：如图，tg = tg = tg = 根据恒等式，得： + + = 代入，得： r2(x+y+z) = xyz 如图可知：a+bc = (x+z)+(x+y)(z+y) = 2x x = 同理：y = z = 代入 ，得： r 2 = 两边同乘以 ，得： r 2 = 两边开方，得： r = 左边r = rp= SABC 右边为海伦公式变形，故得证。 证五：半角定理 半角定理：tg = tg = tg = 证明：根据tg = = r = y 同理r = z r = x ,得： r3 = xyz 坐标面积公式1：ABC，三顶点的坐标分别为 A(a1,a2),B(b1,b2)C(c1,c2), SABC=a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2/2. 2:空间ABC，三顶点的坐标分别为A(a1,a2,a3),B(b1,b2,b3)C(c1,c2c3),面积为S，则 S²=（a1b2+b2c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2)²+(a2b3+b2c3+c2a3-a2c3-c2b3-b2a3)²+ (a1b3+b1c3+c1a3-a1c3-c1b3-b1a3)².圆面积公式设圆半径为 ：r, 面积为 ：S . 则 面积 S= r² ; 表示圆周率 即 圆面积 等于 圆周率 乘以 圆半径的平方弓形面积公式设弓形AB所对的弧为弧AB，那么： 当弧AB是劣弧时，那么S弓形=S扇形SAOB（A、B是弧的端点，O是圆心）。 当弧AB是半圆时，那么S弓形=S扇形=1/2S圆=1/2r²。 当弧AB是优弧时，那么S弓形=S扇形+SAOB（A、B是弧的端点，O是圆心） 计算公式分别是： S=nR²360ah2 S=R²/2 S=nR²360+ah2椭圆面积计算公式椭圆面积公式： S=ab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。菱形面积公式定理简述及证明菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（ab）2 菱形的面积也可=底乘高 抛物线弓形面积公式 抛物线弦长公式及应用 本文介绍一个公式,可以简捷准确地求出直线被抛物线截得的弦长,还可以利用它来判断直线与抛物线位置关系及解决一些与弦长有关的题目.方法简单明了,以供参考. 抛物线弓形面积公式等于：以割线为底，以平行于底的切线的切点为顶点的内接三角形的3/4，即： 抛物线弓形面积=S+1/4*S+1/16*S+1/64*S+=4/3*S 定理 直线y=kx+b(k0)被抛物线y²=2Px截得的弦AB的长度为 AB= 证明 由y=kx+b得x=代入y²=2Px得y2+=0 y1+y2=,y1y2=. y1y2=2, AB=y1y2|= 当直线y=kx+b(k0)过焦点时,b=,代入得AB=P(1+k2), 于是得出下面推论: 推论1 过焦点的直线y=kx（k 0）被抛物线y²=2Px截得的弦 AB的长度为 AB=P(1+k2) 在中,由容易得出下面推论: 推论2 己知直线l: y=kx+b(k0)及抛物线C:y²=2Px )当P2bk时,l与C交于两点(相交); )当P=2bk时,l与C交于一点(相切); )当P2bk时,l与C无交点(相离). 定理应用下面介绍定理及推论的一些应用: 例1 (课本P.57例1)求直线y=x+被抛物线y=x²截得的线段的长? 分析:题中所给方程与定理中的方程形式不一致,可把x看成y用即可. 解 曲线方程可变形为x²=2y则P=1,直线方程可变形为x=y, 即k=1,b=.由得AB=4. 例2 求直线2x+y+1=0到曲线y²2x2y+3=0的最短距离. 分析:可求与已知直线平行并和曲 线相切的直线,二直线间距离即为要求的最短距离. 解 曲线可变形为(y1)²=2(x1)则P=1,由2x+y+1=0知k=2.由推论2,令2bk=P,解得b=.所求直线方 程为y1=2(x1),即2x+y=0. . 故所求最短距离为. 例3 当直线y=kx+1与曲线y=1有交点时,求k的范围. 解 曲线可变形为(y+1)²=x+1 (x1,y1) ,则P=1/2.直线相应地可变为 y+1=k(x+1)k+2,b=2-k.由推论2,令2bkP,即2k(2k),解得k1或k1+.故k1或k1+时直线与曲线有交点. 注:曲线作怎样变形,直线也必须作相应平移变形,否则会出现错误. 例4 抛物线y²=2Px内接直角三角形,一直角边所在直线为y=2x,斜边长为5.求抛物线的方程. 解 设直角三角形为AOB.由题设知kOA=2,kOB=.由, |OA|=, |OB|=4P.由|OA|2+|OB|2=|AB|2,得P=.抛物线方程为y²=x. 例5设O为抛物线的顶点,F为焦点,PQ为过的弦,己知OF=a,PQ=b,.求SOPQ 解 以O为原点,OF为x轴建立直角坐标系(见图),依题设条件,抛物线方程为y²=4ax(P=2a),设PQ的斜率为k,由|PQ|=, 已知|PQ|=b,k²=.k²=tg2sin2=.即sin=, SOPQ=SOPF+SOQF =a|PF|sin+a|FQ|sin()=ab sin=. 常见的面积定理1 一个图形的面积等于它的各部分面积的