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一、人工神经网络的发展、应用及研究现状人工神经网络（Artificial Neural Networks，NN）是由大量的、简单的处理单元（称为神经元）广泛地互相连接而形成的复杂网络系统，它反映了人脑功能的许多基本特征，是一个高度复杂的非线性动力学系统。1人工神经网络发展简史人工神经网络的研究是从19世纪末期开始的，其发展历史经历了以下四个时期： 1.启蒙时期 启蒙时期开始于1980年美国著名心理学家W.James关于人脑结构与功能的研究，结束于1969年Minsky和Papert发表的感知器（Perceptron）一书。早在1943年，心理学家McCulloch和数学家Pitts合作提出了形式神经元的数学模型（即M-P模型），该模型把神经细胞的动作描述为：1.神经元的活动表现为兴奋或抑制的二值变化； 2.任何兴奋性突触有输入激励后，使神经元兴奋与神经元先前的动作状态无关；3.任何抑制性突触有输入激励后，使神经元抑制；4.突触的值不随时间改变；5.突触从感知输入到传送出一个输出脉冲的延迟时间是0.5ms。可见，M-P模型是用逻辑的数学工具研究客观世界的事件在形式神经网络中的表述。现在来看M-P模型尽管过于简单，而且其观点也并非完全正确，但是其理论有一定的贡献。因此，M-P模型被认为开创了神经科学理论研究的新时代。 1949年，心理学家D.O.Hebb提出了神经元之间突触联系强度可变的假设，并据此提出神经元的学习规则Hebb规则，为神经网络的学习算法奠定了基础。1957年，计算机学家FrankRosenblatt提出了一种具有三层网络特性的神经网络结构，称为“感知器”（Perceptron），它是由阈值性神经元组成，试图模拟动物和人脑的感知学习能力，Rosenblatt认为信息被包含在相互连接或联合之中，而不是反映在拓扑结构的表示法中；另外，对于如何存储影响认知和行为的信息问题，他认为，存储的信息在神经网络系统内开始形成新的连接或传递链路后，新的刺激将会通过这些新建立的链路自动地激活适当的响应部分，而不是要求任何识别或坚定他们的过程。1962年Widrow提出了自适应线性元件（Adaline），它是连续取值的线性网络，主要用于自适应信号处理和自适应控制。 2. 低潮期 人工智能的创始人之一Minkey和papert经过数年研究，对以感知器为代表的网络系统的功能及其局限性从数学上做了深入的研究，于1969年出版了很有影响的Perceptron一书，该书提出了感知器不可能实现复杂的逻辑函数，这对当时的人工神经网络研究产生了极大的负面影响，从而使神经网络研究处于低潮时期。引起低潮的更重要的原因是：20世纪70年代以来集成电路和微电子技术的迅猛发展，使传统的冯诺伊曼型计算机进入发展的全盛时期，因此暂时掩盖了发展新型计算机和寻求新的神经网络的必要性和迫切性。但是在此时期，波士顿大学的S.Grossberg教授和赫尔辛基大学的Kohonen教授，仍致力于神经网络的研究，分别提出了自适应共振理论（Adaptive Resonance Theory）和自组织特征映射模型（SOM）。以上开创性的研究成果和工作虽然未能引起当时人们的普遍重视，但其科学价值却不可磨灭，它们为神经网络的进一步发展奠定了基础。 3.复兴时期 20世纪80年代以来，由于以逻辑推理为基础的人工智能理论和冯诺伊曼型计算机在处理诸如视觉、听觉、联想记忆等智能信息处理问题上受到挫折，促使人们怀疑当前的冯诺伊曼型计算机是否能解决智能问题，同时也促使人们探索更接近人脑的计算模型，于是又形成了对神经网络研究的热潮。1982年，美国加州理工学院的物理学家John J.Hopfield博士发表了一篇对神经网络研究的复苏起了重要作用的文章，他总结与吸取前人对神经网络研究的成果与经验，把网络的各种结构和各种算法概括起来，塑造出一种新颖的强有力的网络模型，称为Hopfield网络。他引入了“计算能量函数”的概念，给出了网络稳定性依据。从而有力地推动了神经网络的研究与发展。1986年，Rumelhart及LeCun等学者提出了多层感知器的反向传插算法，克服了当初阻碍感知器模型继续发展的重要障碍。这一时期，大量而深入的开拓性工作大大发展了神经网络的模型和学习算法，增强了对神经网络特性的进一步认识，使人们对模仿脑信息处理的智能计算机的研究重新充满了希望。 4.新时期1987年6月，首届国际神经网络学术会议在美国加州圣地亚哥召开，这标志着世界范围内掀起了神经网络开发研究的热潮。在这次会上成立了国际神经网络学会（INNS），并于1988年在美国波士顿召开了年会，会议讨论的议题涉及到生物、电子、计算机、物理、控制、信号处理及人工智能等各个领域。自1988年起，国际神经网络学会和国际电气工程师与电子工程师学会（IEEE）联合召开了每年一次的国际学术会议。这次会议后不久，美国波士顿大学的StephenGrossberg教授、芬兰赫尔辛基技术大学的Teuvo Kohonen教授及日本东京大学的甘利俊一教授，主持创办了世界第一份神经网络杂志Neural Network。随后，IEEE也成立了神经网络协会并于1990年3月开始出版神经网络会刊，各种学术期刊的神经网络特刊也层出不穷。 从1987年以来，神经网络的理论、应用、实现及开发工具均以令人振奋的速度快速发展。神经网络理论已成为涉及神经生理科学、认知科学、数理科学、心理学、信息科学、计算机科学、微电子学、光学、生物电子学等多学科交叉、综合的前沿学科。神经网络的应用已渗透到模式识别、图像处理、非线性优化、语音处理、自然语言理解、自动目标识别、机器人专家系统等各个领域，并取得了令人瞩目的成果。 2 人工神经网络的应用人工神经网络的智能化特征与能力使其应用领域日益扩大，潜力日趋明显。目前，神经网络的主要应用于以下几个领域。 1.信息领域 神经网络作为一种新型智能信息处理系统，其应用贯穿信息的获取、传输、接收与加工利用等各个环节。 （1）信号处理 神经网络广泛应用于自适应信号处理和非线性信号处理。前者如信号的自适应滤波、时间序列预测、谱估计、噪声消除等；后者如非线性滤波、非线性预测、非线性编码、调制解调等。 （2）模式识别 模式识别涉及模式的预处理变换和将一种模式映射为其他类型的操作。神经网络 不仅可以处理静态模式如固定图像、固定能谱等，还可以处理动态模式如视频图像、连续语音等。 （3）数据压缩 在数据传送存储时，数据压缩至关重要。神经网络可对待传送的数据提取模式特征，只将该特征传出，接收后再将其恢复成原始模式。2.自动化领域 神经网络和控制理论与控制技术相结合，发展为神经网络控制。为解决复杂的非线性不确定、不确知系统的控制问题开辟了一条新的途径。（1）系统辨识 在自动控制问题中，系统辨识的目的是为了建立被控对象的数学模型。多年来控制领域对于复杂的非线性对象的辨识，一直未能很好的解决。神经网络所具有的非线性特性和学习能力，使其在系统辨识方面有很大的潜力，为解决具有复杂的非线性、不确定性和不确知对象的辨识问题开辟了一条有效途径。（2）神经控制器 控制器在实时控制系统中起着“大脑”的作用，神经网络具有自学习和自适应等智能特点，因而非常适合于做控制器。对于复杂非线性系统神经控制器所达到的控制效果往往明显好于常规控制器。（3）智能检测 所谓智能检测一般包括干扰量的处理，传感器输入特性的非线性补偿，零点和量程的自动校正以及自动诊断等。这些智能检测功能可以通过传感元件和信号处理元件的功能集成来实现。在综合指标的检测（例如对环境舒适度这类综合指标的检测）中，以神经网络作为智能检测中的信息处理元件便于对多个传感器的相关信息（如温度、湿度、风向和风速等）进行复合、集成、融合、联想等数据融合处理，从而实现单一传感器所不具备的功能。3.工程领域 （1）汽车工程 汽车在不同状态参数下运行时，能获得最佳动力性与经济性的档位称为最佳档位。利用神经网络的非线性映射能力，通过学习优秀驾驶员的换档经验数据，可自动提取蕴含在其中的最佳换档规律。另外，神经网络在汽车刹车自动控制系统中也有成功的应用，该系统能在给定刹车距离、车速和最大减速度的情况下一人体感受到最小冲击实现平稳刹车而不受路面坡度和车重的影响。神经网络在载重车柴油机燃烧系统方案优化中也得到了应用，有效的降低了油耗和排烟度，获得了良好的社会经济效益。 （2）军事工程 神经网络同红外搜索与跟踪系统配合后，可发现和跟踪飞行器。例如借助于神经网络可以检测空间卫星的动作状态是稳定、倾斜、旋转还是摇摆，一般正确率可达95%。 （3）化学工程 神经网络在制药、生物化学、化学工程等领域的研究与应用蓬勃开展，取得了不少成果。例如在谱分析方面，应用神经网络在红外谱、紫外谱、折射光谱和质谱与化合物的化学结构间建立某种确定的对应关系方面的成功应用。3 人工神经网络的研究现状早在20世纪初，人们从模仿人脑智能的角度出发，研究出了人工神经网络，又称连接主义模式。其借鉴了人脑的结构和特点，并通过大量简单处理单元，互连组成了大规模并行分布式、信息处理和非线性动力学系统。该系统具有巨量并行性、结构可靠性、高度非线性、自学习性和自组织性等特点，它能够解决常规信息处理方法难以解决或无法解决的问题。人工神经网络的产生给人类社会带来了巨大的进步，但是随着社会的发展，神经网络结构的整体能力与其限制性已被逐渐体现出来。目前，对神经网络研究的趋势主要从以下三点进行分析：1.增强对智能和机器关系问题的认识 研究人类智能一直是科学发展中最有意义，也是空前困难的挑战性问题。20世纪80年代中期出现了“连接主义”的革命或并行分布处理（POP），又被称为神经网络，它具有自学习、自适应和自组织的特点，而这些正是神经网络研究需要进一步增强的主要功能。构建多层感知器与自组织特行图级联想的复合网络是增强网络解决实际问题能力的一个有效途径。 2.探索更有效的学习新算法在当前人工神经网络学习算法中，都有一个无法避免的缺陷，就是在学习新的模式样本时，会造成已有的知识破坏。于是在给定的学习误差条件下，人工神经网络必须对这些样本周而复始的反复学习，这样不仅造成反复迭代次数多，学习时间长，而且易陷入局部极小值。因而有必要进一步去构思更有效的学习新算法，以便能类似于生物神经网络那样实现知识的积累和继承。Amari运用微分流形理论创建的信息几何，首次将非欧式空间的研究带入人工神经网络模型的研究，Amari在信息几何中的开拓性工作，是在非线性空间研究的一个极其重要的工作，研究了神经网络模型结构在整个信息处理模型空间中的各种表示，所具有的变化能力和限制，为解释人脑神经功能提供了一定的理论基础，使得从整体结构上对神经网络进行分析成为可能，为进一步构思更有效的网络结构和学习算法提供了强有力的分析工具。3.解决多功能多方法的转换问题这种转换问题就是多网络的协同工作问题，单独的人工神经网络不能完成像人脑那样的高级智能活动，将这些不同的智能信息处理方法综合在一起，构成整体神经网络智能系统，必然需要在多网络之间进行工作协调。 Hinton和他的研究小组，提出通过神经网络抽取模式结构为目标，形成外界环境在神经网络中的内在表示机理，并把其作为发展人工神经网络的基础，探索通过结构组合来达到完成具有更高水平的混合模拟人工神经网络机构和非监督学习人工神经网络。另一方面，人们正在考虑基于生命模型信息处理技术的目的和意义，包括进化计算，人工生命等。研究者已经开始从分子水平上来揭示人类思维之谜，用一些生物学上的发现来研究生物计算机。总之，目前人工神经网络依赖的是一种典型的非线性、非欧式空间模型。如何把基于知识表、非结构化推理、连接主义的非线性函数逼近和基于生命模型系统联系起来是科学界面临的一个挑战。4 人工神经网络所面临的问题人工神经网络的发展具有强大的生命力。当前存在的问题是智能水平还不高，许多应用方面的要求还不能得到很好的满足；网络分析与综合的一些理论性问题还未得到很好的解决。例如，由于训练中稳定性的要求学习率很小，所以梯度下降法使得训练很忙动量法因为学习率的提高通常比单纯的梯度下降法要快，但在实际应用中还是很慢。针对千变万化的应用对象，各类复杂的求解问题，编制一些特定的程序、软件求解，耗费了大量的人力和物力。而这些软件往往只针对某一方面的问题有效，并且在人机接口、用户友好性等诸多方面存在一定的缺陷。在微机飞速发展的今天，很多都已不能满足发展的需要。二、人工神经网络在执行器控制中的应用人工神经网络独特的结构以及其处理信息的能力，在控制领域受到了人们的广泛关注，尤其是在解决非线性和不确定性问题方面，更是得到了很高的重视。基于神经网络的控制简称神经控制，是指在控制系统中采用了神经网络这一工具，对难以精确描述的复杂非线性对象进行建模，或充当控制器，或优化计算，或进行推理，或故障诊断等，以及同时兼有上述功能的适当组合，这样的系统称为基于神经网路的控制系统，称这种控制方式为神经网络控制。基于以上特性，神经网络在执行器领域也得到了广泛的应用1 人工神经网络在控制中的作用人工神经网络在控制中的作用主要可以分为以下几种：（1）在基于精确模型的各种控制结构中充当对象的模型；（2）在反馈控制系统中直接充当控制器的作用；（3）在传统控制器中起到优化计算作用；（4）在与其他只能控制方法和优化算法，如模糊控制、专家控制及遗传算法等相容中，为其提供非参数化对象的模型、优化参数、推理模型和故障诊断等。2 人工神经网络在执行器模型建立上的应用随着科技的发展，许多新功能材料也逐渐在执行器领域得到了重视与应用，例如压电陶瓷、形状记忆合金、磁致伸缩材料等等。我们在对该类执行器的研究时，必须对其进行建模，才能够对其进行很好的控制。传统的建模方法是根据其物理特性应用数学方法对其建模，这种建模方式看似理论严谨，然而由于对新功能材料研究成果不够丰富，面对新材料我们很难根据这种方法对其建立精确的模型，同时多数模型都含有较多的参数，这些参数都要通过试验测量得到。在获得参数的试验过程中会存在一定的误差，而且模型本身也带有一些假设，这就会涉及模型的精确性问题。此外，就目前的材料生产加工水平来看，许多新功能材料的性能还不是很稳定，不同批材料之间可能存在较大的差异。以形状记忆合金为例，在Lagoudas等的研究中发现，对于相同的试样在相同条件下进行测试，有时会得到的具有明显差别的结果。鉴于上述提到的一些原因，用己有的模型来模拟材料的应力应变关系就可能与材料真正的应力应变关系存在较大差异。而人工神经网络不需要了解具体的机理，只需详细地考虑影响因素和预期的目标，通过对己知样本的学习训练，掌握输入与输出间复杂的非线性映射关系，并对这种关系进地存贮记忆。因此，对于不能用数学方式精确表达的预测模型，应用神经网络进行预测则是一种非常简单而有效地方法。罗马尼亚克拉约瓦大学的Hyo Jik Lee 和Jung Ju Lee应用神经网络的多层感知机神经网络预测了SMA的回复力，并取得了很好的效果。合肥工业大学在压电陶瓷执行器的建模上，分别应用了回归方程和BP神经网络两种方法对执行器的输出进行了预测，实验结果显示应用BP神经网络算法的预测结果精度要比回归方程方法高。由以上可以看出，神经网络在对于未知系统模型的建模上有其独特的优势，并且有自学习、自适应能力强等优点。3 人工神经网络在执行器控制环节的应用上面讲到了神经网络算法在执行器模型建立方面的应用，下面将介绍其在控制算法上面的应用。青岛建工学院的周玉国提出了一种基于RBF神经网络的容错控制，采用神经网络开发了在线容错控制方案，不需要知道故障的位置和程度，通过对故障的非线性动态补偿就可以实现故障系统的输出跟踪参考模型的输出。对于某些非线性对象，通常是建模后对非线性平衡点附近经线性化得到线性模型，然后基于这些线性模型设计控制规律，再通过增益调度把他们集成起来，但是由于部件故障等原因，这种方法不能保证理想的容错的性能。而将神经网络引入容错控制的方法来克服非线性问题渐受关注，特别是采用在线学习的神经网络克服对象的非线性提供优良的容错能力。周玉国正是利用RBF神经网络的容错控制方法，实现了即使在系统出现故障的情况下，闭环系统仍是稳定的。图2.3.1 基于RBF网络的容错控制方法框图传统的PID控制器只有当被控系统的线性模型在很小的范围内变化时才有效，因而难以满一些非线性系统高精度控制的要求。常用的PID改进算法在一定程度上能达到较高的控制精度，但控制参数的调节非常繁琐，而且很难得到最优参数。对此，北京航空航天大学的靳红涛等人将神经网络与PID控制器结合在传统PID的基础上，利用RBF神经网络的自学习能力，实时调整PID控制器的控制参数构成自适应控制器。图2.3.2为这种方法在余度舵机控制中的应用。经过试验证明，这种控制器与传统的控制器相比，具有以下优势：（1）RBF神经网络辨识精度高、收敛速度快且运算量小等优点。（2）神经网络PID控制器融合神经网络和传统PID控制器的优点，利用神经网络对被控对象的辨识信息，根据控制指令、被控对象结构变化等因素实时调整控制参数，提高了传统PID控制器的自适应能力（3）神经网络PID控制器能够对结构复杂、非线性较强的冗余电液伺服作动系统实现高品质的控制，能够较好地解决冗余伺服系统在余度降级过程中故障瞬态现象，最大限度地克服余度降级后性能降低现象。图2.3.2 基于RBF控制器的余度舵机控制方案在控制系统的许多物理元件中，经常遇到死区特性。尤其是执行机构，如液压伺服系统和电动伺服系统。在实际系统中控制量时常受到执行器的的死区特性的约束，当控制量较小时，执行器无输出信号，只有控制量大于死区时，输出信号才随着控制量变化。死区的存在，不仅给控制系统带来稳态误差，还可能恶化系统的动态品质，而且一旦系统产生死区，常规的PID控制器亦无法进行正常跟踪、控制。有时可以通过调整执行器的某些结构部件加以克服或者缩小，然而并非总能达到这个效果。针对这一情况，广东天联工程有限公司的张婧等人提出了一种基于神经网络的死区补偿方法：该补偿器采用了两个神经网络，一个用来预测未知的死区，另一个则在向前反馈通路中提供适当的补偿。实验结果表面明，该补偿方法对于对称的和不对称的非线性死区都是有效的。该系统控制框图如下：图2.3.3 具有NN死区补偿的系统框图4 人工神经网络在执行器故障诊断中的应用故障检测和诊断技术是指对系统的异常状态的检测、异常状态原因的识别以及包括异常状态预测在内的各种技术的总称，它是一项建立在机械工程、测试是技术、信号处理、计算机应用技术、人工智能技术等众多理论基础上的综合性科学技术。在控制系统中，按故障部件划分，其主要故障有执行器故障、被控对象故障、传感器故障和控制器故障。而执行器和传感器的故障发生较多。特别是执行器的故障往往危及整个系统的控制策略，因此对执行器的可靠性提出了很高的要求，执行器的故障诊断研究就具有重要的现实意义。但是由于执行器存在固有的非线性、时滞等特性使得执行器的故障诊断方法的研究比较困难。神经网络在执行器的故障诊断中也得到了很多应用。神经网络在故障诊断中主要有四种功用：代替数学模型产生残差；不同的神经网络可以训练为对残差的评估进行分类；进行一步诊断，不需要中间产生残差；采用神经网络作自适应误差补偿。目前研究的基于神经网络的执行器故障诊断技术主要集中在以下几个方面：1结合观测器技术进行故障诊断用神经元网络构造观测器是一种由传统观测器原理发展而来的、典型的神经网络应用于故障诊断的方法。该方法根据观测器模型确定出神经网络观测器输人输出信号间的映射关系，用一组在执行器正常运行时取得的数据，对神经网络观测器进行训练。训练后的神经网络观测器即可用来产生故障残差。这种方法原理清晰，既保留了基于模型故障诊断方法的特点，又发挥了神经网络的优势。该方法不仅能检测执行器故障的发生，而且能利用在线神经网络逼近器辨识执行器故障。2从模式识别的角度，应用神经网络作为分类器进行故障诊断模式识别的方法是对系统的工作流程经过仿真和分析，建立各种故障模式，根据测量信息，确定系统应属于哪一类模式，从而检测和分离故障。将神经网络直接用于故障诊断，通过选择关键参数作为网络的输入层，故障类型在输出层给出。通过对故障实例的训练和学习，用分布在神经网络中的连接权值来表达所学习的故障诊断知识，具有对故障的联想记忆、模式匹配和相似归纳的能力，可以实现故障和征兆间的复杂的非线性映射关系。3从预测的角度，应用神经网络作为动态预测模型器进行故障诊断利用神经网络高度的非线性映射能力，训练神经网络来预测执行器正常的输出。用实际的控制信号作为网络的输入，网络的输出则是对执行器的输出信号的预测值，通过对神经网络的预测输出和执行器的实际输出的比较来判断执行器是否存在故障。4结合模糊逻辑进行故障诊断由于执行器的非线性，使故障征兆和故障原因之间难以建立准确的对应关系。模糊神经网络应用模糊集合论、模糊语言变量及模糊逻辑推理来模拟人的模糊思维方法，采用神经网络结构，结合人们的先验知识进行模糊推理，使之具有准确的非线性拟合和学习能力。基于神经网络的方法在处理信息方面具有并行性、鲁棒性、记忆性、自组织性等显著优势，已经被很多学者作为故障诊断研究的主要手段。神经网络的不足之处在于未能充分利用特定领域中专家积累起来的宝贵经验,只利用一些明确的故障诊断实例,而且需要足够的学习样本,才能保障诊断的可靠性。由于神经网络从故障实例中学到的知识只是一些分布权值,而不是类似领域专家逻辑思维的产生式规则,因此,诊断推理过程不能够解释,缺乏透明度。在诊断过程中，其算法的实现较为复杂，用软件的方式实现很难体现出神经网络并行处理数据的能力，而用硬件的方式实现成本较高等。因此，为了克服其局限性，今后的研究方向是高性能神经网络的研究、神经网络与其他方法的联合使用、以及神经网络的硬件实现。上面简单介绍了神经网络在执行器控制方面的应用，相信随着神经网络算法研究的不断深入与完善，其在执行器控制方面也将发挥更大的作用。如何将神经网络与传统的控制算法有效结合，从而得到更好的控制效果，更值得我们去进行深入的研究。三、基于高斯RBF网络的非线性系统辨识的仿真分析系统辨识问题实际上是一个优化问题。优化准则（也称之辨识准则）的选择依赖于辨识目的与辨识算法的复杂性等因素。传统的辨识算法的基本原理是通过建立系统依赖于参数的模型，把辨识问题转化成对模型参数的估计问题。这类算法较为成功地应用于线性系统或可线性化的系统的辨识，就其基本原理来说，可分为三种不同的类型：最小二乘法、梯度校正法、极大似然法 。使用神经网络对本质非线性系统辨识不需要预先建立实际系统的辨识格式，神经网络对系统进行辨识是通过直接学习系统的输入输出数据对，学习的目的是使所要求的误差函数达到最小从而归纳出隐含在系统输入输出数据中的关系，这个关系隐含在神经网络内部，它究竟表现为何种形式，对外界系统是不可知的。只要神经网络的输出能够逼近同样输入信号激励下输出，就认为神经网络已充分体现出实际系统的特性、完成了对原系统的辨识。与传统的基于算法的辨识方法相比较，基于神经网络的辨识具有以下几个特点： （1）不要求建立实际系统的辨识格式，即可省去系统结构建模这一步。 （2）可以对本质非线性系统进行辨识。 （3）辨识的收敛速度不依赖于待辨识系统的维数，只与神经网络本身及其所采用的学习算法有关。 （4）神经网络具有大量连接，其连接权的权值在辨识中对应于模型参数，通过调节这些参数可使网络输出逼近系统输出。 （5）神经网络作为实际系统的辨识模型实际上也是系统的一个物理实现 ，可以用于在线控制。1 RBF网络结构径向基函数（RBF）神经网络，是具有单隐层的三层前馈网络，输入层由信号源结点组成，第二层为隐含层，第三层为输出层，从输入层到隐含层的变换函数是径向基（RBF）函数，从隐含层到输出层的变换是线性变换，其结构见图3.1.1。由于它模拟了人脑中局部调整、相互覆盖接收域的神经网络结构，因此，是一种局部逼近网络，已证明它能以任意精度逼近任一连续函数。图3.1.1 RBF网络结构网络有n维输入u、m维输出y，输入/输出的样本长度为L，RBF网络隐层第i个节点的输出： （1）其中，：第i个隐节点的中心，；：通常为欧氏范数；：RBF函数，具有局部感受的特性，它有多种形式，体现了RBF网络的非线性映射能力。网络输出层第k个节点的输出，为隐节点输出的线性组合： （2）其中，：的联接权；：第k个输出节点的阈值。2 RBF网络学习算法假设有p组输入输出样本up和dp，p=1,2，L，定义目标函数： （3）学习的目的是使；RBF网络学习算法中有两部分组成：无导师的学习与有导师学习。无导师的学习为：对所有输入样本进行聚类，求得各隐层节点的RBF的中心。有导师学习，当确定后，训练由隐层至输出层间的权系值，它是线性方程组，则求权系值成为线性优化问题，可利用各种线性优化算法求得。在这里，选择的分析程序的为基于高斯RBF网络的非线性系统辨识程序，高斯RBF网络隐节点输出： （4） 其中，：向量u与 的马氏距离。 当为对角阵、单位阵时分别为，非线性作用函数RBF：，其中u：n维输入向量；：第i个隐节点的中心；：第i个隐节点的标准化参数；：第i个隐节点第j分量的标准化参数。3例 3-5-3M仿真程序分析这个例子为基于RBF网络的非线性系统辨识，它的原理是利用了径向基函数（RBF）神经网络能以任意精度逼近任一连续函数这一特点来对非线性系统进行辨识。在这次仿真中，要辨识的系统为：，在仿真程序中，对应的语句为：y(k)=5*y(k-1)/(2.5+y(k-1)2)+u(k-1)3；在进行系统辨识时，需要输入输出数据，以便对模型进行训练，在这个仿真程序中选择产生的输入信号产生函数为：u(k)=0.6*cos(2*pi*k/70)-0.4*cos(2*pi*k/40)；输入输出的数据对数为150组，对应程序如下：K=150;y=zeros(1,K);，RBF网络的建立，在此仿真程序中应用的是matlab工具箱中的函数newrb，对应程序为：net=newrb(hsp,y,eg,sc)；其中目标函数的eg值设为0.01，散布系数sc设为1，该网络的两个输入为：hsp=y1;u1; 在对系统辨识的效果，可以通过比较辨识得到模型的输出，与实际输出的差距来完成，其中辨识器的输出为yi