几何辅助线技巧之旋转变换.doc

初中几何辅助线技巧之旋转变换构造旋转图形设计老师：广州市番禺区沙湾镇象达中学 练兴宏一、教学内容分析运用基本图形去解决几何难题，当直接或间接的条件在现有图形结构下显得相对分散，并且不能解决问题时，可以考虑添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中起来，从而建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。再者，运用旋转命题常见于全国各地的中考压轴题，在分析解决这类题目时，学生们比较困惑的就是：“什么时候需要构造旋转图形、怎么构造旋转图形”，本节课的重点是根据题目所提供的现有图形及已知条件，总结、提炼构造旋转图形的常用技巧：遇等腰（如右图：），转顶角（旋转中心所在位置）。特别地，1、 遇（度），转（度），构造垂直，关注：直角三角形、全等三角形；2、 遇（度），转（度），构造等边，关注：等边三角形、全等三角形；3、 遇中点，转（度），构造对称（中心对称），关注：全等三角形。二、教学目标分析1. 以构造旋转图形的常用技巧为载体，加深学生对旋转作图、旋转图形性质的理解；2. 通过引导学生根据现有几何图形特征，构造恰当的旋转图形，渗透化归思想，学会把相对分散的信息转化为相对集中的信息，把未知的几何模型转化为熟知的几何模型。3. 通过三个例题的探究、总结、提炼和运用，培养学生的归纳总结能力。三、学生学情分析1. 化归思想不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式。站在化归思想的高度，“未知”与“已知”、“陌生”与“熟悉”、“难”与“易”、“繁”与“简”、 “抽象”与“直观”、“分散”与“集中”等等，就是矛盾的统一体。初三的学生，对化归思想已有较多的接触与认识，但仍需在平常的教与学中不断得到渗透与深化。2. 笔者所在学校属于非中心区的镇属学校，学生的整体学习基础与学习水平不高，而此专题课对学生的学习又提出了比较高的要求，所以，这里选取初中几何辅助线技巧之旋转变换构造旋转图形为复习专题，既是矛盾的，又是必须的。计划此节复习专题课设置在初三学生中考复习的第一轮复习之后，基于学生已掌握旋转的基本性质之后学习，并且在设计上选取的题目以中档难度为主，突出训练数学思想方法，力求照顾到各个层次学生的学习需要，并学有所获。3. 学生有多角度思考问题的需要，学生有追求个性化解题方法的需要，同时，学生也有通过一题多解吃透问题的需要，然而，课堂上存在时间紧、任务重等诸多束缚因素，所以本人亦意图借助教学技术（超级画板）改善我们的教学条件，以满足同学们的学习需求，提高课堂教学的效率。四、教学过程设计课前热身：如右图，（1）若，则吗？为什么？（2）若，则吗？为什么？设计意图：为中下生的新课学习扫除后续学习障碍，以突出学习重点、更利于突破难点；也是一种由易到难、循序渐进的教学形式。例题1如图，已知在ABC中，AB=AC，BAC=90，点D是BC上的任意一点，请探究：BD2+CD2与AD2的关系，并证明你的结论例题2如图，点P是等边ABC内一点，若AP=3，BP=4，CP=5，求APB的度数例题3已知：如图，AD是ABC的中线，点E在AD上，BE=AC，延长BE交于AC于F，求证：AF=EF例题1至例题3的设计意图：第一、三个例题都是思路宽，存在多种解法的题目。意在启发和引导学生从不同的角度、不同的思路思考问题，采用不同的方法去分析、解决问题，有利于培养学生的发散思维和创新思维，有利于培养和巩固学生的学习兴趣，同时也鼓励不同的学生有不同的解法，体现评价的公平性，这也是广州市近几年来中考命题的特征之一。第二、例题2与例题3不仅是例题1的变式题，更是例题1的补充、拓展、与延伸，它们与例题1都是很具代表性的题，在完成好三个例题之后，对构造旋转图形的常用技巧进行总结、提炼就是顺理成章之事。构造旋转图形的常用技巧如下：遇等腰（如右图：），转顶角（旋转中心所在位置）。另外：1、遇（度），转（度），构造垂直，关注：直角三角形、全等三角形；2、遇（度），转（度），构造等边，关注：等边三角形、全等三角形；3、遇中点，转（度），构造对称（中心对称），关注：全等三角形。第三、关于例题3，意图拓宽学生思维。同学们学习过的解题技巧是“几何图形出现中点时,常用的添加辅助线的技巧是倍长中线法”，所以，设计此题的目的有二：一是借此题复习巩固“倍长中线法”，二是强调“倍长中线法”的实质就是通过“遇中点，转（度）”构造全等三角形，两者在解法上是一致的。五、评测练习设计（效果评测与拓展延伸）1.如图，ABC中，D、M分别是边AB、BC上一点，点E在AC的延长线上，并且满足BD=CE,DM=EM，求证：AB=AC.2（北京市怀柔区一模试题）探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF45，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ；（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中，ABAD，BD180，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明.评测练习设计意图：两道题目的设计都属于三个例题的变式题，其中第1题是比较简单的模仿性题目，第2题的三个小题则由浅入深，有一定的难度，第2、3小题有较高的区分度。目的是通过测试与评价，掌握同学们的学习情况，为改善教学策略、保质高