高中数学奥赛辅导专题-立体几何(传统方法与向量方法).doc

金太阳新课标资源网 高中数学奥赛辅导专题立体几何（传统方法与向量方法） 立体几何（传统方法）知识精要1 直线与平面问题，主要是对空间中的直线与平面的位置关系、距离、角以及它们的综合问题进行研究这些问题往往与代数、三角、组合等知识综合，因而在解题过程中，要力求做到概念清晰，方法得当，转化适时，突破得法2 四面体是一种最简单的多面体，它的许多性质可以用类比的思想从三角形的性质而得来较复杂的多面体常转化为四面体问题加以解决解决这一类问题的所常用的数学思想方法有：变换法、类比和转化、体积法、展开与对折等方法3 解决旋转体的有关问题要注意截面的知识的应用在解决球相切问题时，注意球心连线通过切点，球心距等于两球半径之和因此，研究多球相切问题时，连结球心，从而转化为多面体问题例题1 从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在直线都是异面直线，求k的最大值解答 考察如图所示的正方体上的四条线段AC，BC1，D1B1， A1D，它们所在直线两两都是异面直线又若有5条或5条以上两两异面的直线，则它们的端点相异且个数不少于10，与正方体只有8个顶点矛盾故 K的最大值是4练习1：在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个面的中心及正方体的中心共计27个点中，问共线的三点组的个数是多少解答：两端点都为顶点的共线三点组共有个；两端点都为面的中心共线三点组共有个；两端点都为各棱中点的共线三点组共有个，且没有别的类型的共线三点组，所以总共有个例题2：已知一个平面与一个正方体的12条棱的夹角都等于，求解答：如右图所示，平面BCD与正方体的12条棱的夹角都 等于，过A作AH垂直平面BCD连DH，则设正方体的边长为b，则所以练习2：如图所示，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得，记，其中 表示EF与AC所成的角，表示EF与BD所成的角，证明，即为常数解答：因ABCD是正四面体，故AC垂直BD，作EG平行AC交BC于G，连GF，则，且，所以GF平行BD所以GF垂直EG，且所以为常数例题3：三棱锥P-ABC中，若棱PA=x，其余棱长均为1，探讨x是否有最值解答：当P-ABC为三棱锥时，x的最小极限是P、A重合，取值为0，若绕BC顺时针旋转，PA变大，最大极限是P、A、B、C共面时，PA为菱形ABPC的对角线，长度为所以无最值练习3：若正三棱锥底面棱长棱长均为1，探讨其侧棱否有最值解答：若P在底面的射影为O,易知PO越小，侧棱越小故P、O重合时，侧棱取最小极值，PO无穷大时，侧棱也无穷大所以无最值例题4：在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P最短，求AP+D1P的最小值解答：将等腰直角三角形AA1B沿A1B折起至，使三角形与四边形A1BCD1共面，联结，则的长即为AP+D1P的最小值，所以，练习4：已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1的对棱BB1、D1上有两个动点E、F，BE=D1F= （）设EF与AB所成的角为，与BC所成的角为，求的最小值解答：当时，不难证明是单调减函数因此的最小值为例题5：在正n棱锥中，求相邻两侧面所成的二面角的取值范围解答：当顶点落在底面的时候，相邻两侧面所成的二面角为当顶点在无穷远处的时候，正n棱锥变为正n棱柱，这时相邻两侧面所成的二面角为练习5：已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各条棱长均为3，角BAD=600，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一端点N在底面ABCD上运动，求MN的中点P的轨迹（曲面）与共一顶点D的三个面所围成的几何体的体积解答：联结DP、DN，在三角形MDN为直角三角形，且DP=MN/2=1，又由已知角BAD=600，角ADC=1200，所以点P的轨迹以点D为球心，半径为1的1/6球面，所以其与顶点D以及三个面围成的几何体的体积为立体几何（向量方法）知识精要1证明两条直线平行，只需证明这两条直线上的向量共线（即成倍数关系）证明两条直线平行，只需证明这两条直线上的向量的数量积等于零2通过法向量，把线面、面面的角转化为线线的角从而可以利用公式求解3建立空间直角坐标系例题1如图，在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCPA， 点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC ()求证平面； () 求直线与平面PBC所成角的大小解答 练习1如图，已知长方体，直线与平面所成的角为，垂直于为的中点 （）求异面直线与所成的角； （）求平面与平面所成二面角（锐角）的大小； （）求点到平面的距离解答 在长方体中，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系如图由已知，可得又平面，从面与平面所成的角即为又从而易得 （）即异面直线、所成的角为 （）易知平面的一个法向量设是平面的一个法向量由取即平面与平面所成二面角（锐角）大小为 （）点A到平面BDF的距离，即在平面BDF的法向量上的投影的绝对值所以距离所以点A到平面BDF的距离为例题2 如图1，已知ABCD是上下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2图3 （）证明：ACBO1；图1 图2 （）求二面角OACO1的大小解答（I）证明 由题设知OAOO1，OBOO1所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB 故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）O1（0，0，）从而所以ACBO1 （II）解：因为所以BO1OC，由（I）ACBO1，所以BO1平面OAC，是平面OAC的一个法向量设是0平面O1AC的一个法向量，由得 设二面角OACO1的大小为，由、的方向可知，所以COS，=即二面角OACO1的大小是练习2 如图, 在直三棱柱中， ，点为的中点 ()求证； () 求证； ()求异面直线与所成角的余弦值解答直三棱锥底面三边长 ，两两垂直如图建立坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(,2,0) (), ()设与的交点为E，则E(0,2,2) ()异面直线与所成角的余弦值为例题3 在ABC中，已知，AC边上的中线BD=，求SINA解答 以B为坐标原点，为x轴正向建立直角坐标指法，且不妨设点A位于第一象限由，则，设=（x，0），则，由条件得，从而x=2，（舍去），故于是练习3 在平面上给定，对于平面上的一点P，建立如下的变换 的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为，求证 只有一个不动点（指与重合的点）解答：依提意，有，且，要使与重合，应，得，对于给定的，满足条件的不动点P只有一个例题4 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，E是AB上一点，PEEC 已知求 （）异面直线PD与EC的距离； （）二面角EPCD的大小解答 （）以D为原点，、分别 为x、y、z轴建立空间直角坐标系由已知可得D（0，0，0），P（0，0，C（0，2，0）设 由，即 由，又PDDE，故DE是异面直线PD与CE的公垂线，易得，故异面直线PD、CE的距离为1 （）作DGPC，可设G（0，Y，Z）由得,即作EFPC于F，设F（0，M，N），则由，又由F在PC上得因故平面EPCD的平面角的大小为向量的夹角故 即二面角EPCD的大小为练习4如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EAEB1，已知AB=，BB1=2，BC=1，BCC1=，求： （）异面直线AB与EB1的距离； （）二面角AEB1A1的平面角的正切值解答（I）以B为原点，、分别为Y、Z轴建立 空间直角坐标系 由于BC=1，BB1=2，AB=，