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薛定谔波动方程 薛定谔波动方程不可能从经典物理学导出，然而可以从他那时保留的笔记追踪其思路。了解这个方程的产生过程将对我们理解它的含义和物理学方程的生产模式有很大帮助。薛定谔的出发点是著名的经典波动方程，这个方程将波动的时间和空间依赖关系联系起来。虽然薛定谔是从只考虑这个方程的不含时分量开始的，我们可以从完整的含时形式开始： 式中，是拉普拉斯算子；是广义“波函数”；是波速。这里我们将略作简化，考虑只限于在一个方向（x方向）传播的波。这时波动方程变为： 这类方程的解很容易得到。一组解就是波函数：， 式中，是波的振幅，；是角频率。容易证明和 你也许注意到了，我们取x的二阶导数，但只取t的一阶导数。这样做的理由下面就清楚了。到此为止，这都是对于经典波动方程的简单处理。下一步是要通过关系：和引入量子性质：和。 我们可以把系统总能量表示为动能和势能之和： 式中我们已经用了动量，代表广义势能。这样，可以通过表示如下：。 以此代入得和， 式中，。现在很清楚，为何我们止于的一阶导数：两个方程式都包含的一次项，而且两者皆可重写而给出:和。 最后，这些方程显然可以合并，并给出经典波动方程的量子对应：，或在三维情况下：。 这个方程有一些“特别之处”。它对时间和空间坐标的处理来说是“不平衡”的，因此看起来像是一个扩散方程。 从上面清楚地看到，广义波函数随时间和空间的变化。然而，这个函数可以分解为空间变化和时间变化分离的形式：， 式中，只依赖于空间坐标。在初等量子力学中，很重要的一部分是势能与时间无关的物理和化学情形，那时函数表示为薛定谔方程的定态解。最后应当指出，波动方程的包含时部分通常用系统哈密顿表出：,式中，, 事实上，通过将适当的经典量（例如线动量）代以其等价的量子力学算符（），量子力学可以从经典力学得到。引入哈密顿算符使薛定谔方程可以写作特别简单的形式：， 式中。
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