初三数学相似三角形的性质.docx

3.4.2相似三角形的性质【知识与技能】理解掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）及相似三角形的面积、周长比与相似比之间的关系.【过程与方法】对性质定理的探究，学生经历观察猜想论证归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度.【情感态度】在学习和探讨的过程中，体验从特殊到一般的认知规律.【教学重点】相似三角形性质的应用.【教学难点】相似三角形性质的应用.一、情景导入，初步认知1.什么叫相似三角形？相似比指的是什么？2.全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？3.相似三角形的判定方法有哪些？【教学说明】复习相关知识，为本节课的学习做准备.二、思考探究，获取新知1.根据相似三角形的概念可知相似三角形有哪些性质？【归纳结论】相似三角形的基本性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.2.如图，ABC和ABC是两个相似三角形，相似比为k，其中，AD、AD分别为BC、BC边上的高，那么，AD和AD之间有什么关系？证明：ABCABC，B=B， 又ADBC，ADBC， ADB=ADB=90, ABDABD， ABAB=ADAD=k.你能得到什么结论？【归纳结论】相似三角形对应边上的高的比等于相似比.3.如图，ABC和ABC是两个相似三角形，相似比为k，求这两个三角形的角平分线AD与AD的比.解：ABCABC,B=B,ABC=ABC,AD,AD分别是ABC与ABC的角平分线，BAD=BAD,ABDABD.（有两个角对应相等的两个三角形相似)=k根据上面的探究，你能得到什么结论？【归纳结论】相似三角形对应角平分线的比等于相似比.4.在上图中，如果AD、AD分别为BC、BC边上的中线，那么，AD和AD之间有什么关系？你能证明你的结论吗？【归纳结论】相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.5.如图ABCABC，ABAB=k，AD、AD为高线.(1)这两个相似三角形周长比为多少？(2)这两个相似三角形面积比为多少？分析：（1）由于ABC ABC,所以ABAB=BCBC=ACAC=k. 由并比的性质可知，（AB+BC+AC) (AB+BC+AC)=k.（2）由题意可知,因为 ABDABD, 所以ABAB=ADAD=k. 因此可得, ABC的面积ABC的面积 =（ADBC）（ADBC） =k2.【归纳总结】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.【教学说明】通过这两个问题，引导学生通过合情推理，得出结论.学生可以通过合作交流，找出解决问题的方法.三、运用新知，深化理解1.见教材P86例9、P88例11、例12.2.已知ABCABC，BD和BD是它们的对应中线，且=，BD=4，则BD的长为_. 分析：因为ABCABC，BD和BD是它们的对应中线，根据对应中线的比等于相似比，【答案】 63.在ABC和DEF中，AB=2DE,AC=2DF,A=D，如果ABC的周长是16，面积是12，那么DEF的周长、面积依次为（）A8，3B8，6C4，3D4，6分析：根据相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方可得周长为8，面积为3，所以选A.【答案】 A4.已知ABCABC且SABCSABC=12，则ABAB=_分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求ABAB=1.【答案】 15.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的，那么边长应缩小到原来的_.分析：根据面积比等于相似比的平方可得相似比为，所以边长应缩小到原来的.【答案】 6.如图，CD是RtABC的斜边AB上的高. （1）则图中有几对相似三角形;（2）若AD=9 cm,CD=6 cm,求BD; （3）若AB=25 cm,BC=15 cm,求BD.解：（1）CDAB，ADC=BDC=ACB=90.在ADC和 ACB中，ADC=ACB=90，A=A，ADCACB，同理可知，CDBACB.ADCCDB.所以图中有三对相似三角形.7.如图 ，梯形ABCD中，ABCD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G（1）求证：CDFBGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EFCD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长.（1）证明：在梯形ABCD中，ABCD， CDF=FGB，DCF=GBF，CDFBGF （2） 由（1）知CDFBGF，又F是BC的中点，BF=FC，CDFBGF，DF=FG,CD=BG.又EFCD，ABCD，EFAG，得2EF=AB+BG BG=2EF-AB=24-6=2，CD=BG=2cm8.已知ABC的三边长分别为5、12、13，与其相似的ABC的最大边长为26，求ABC的面积S.分析：由ABC的三边长可以判断出ABC为直角三角形，又因为ABCABC，所以ABC也是直角三角形，那么由ABC的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出ABC的两条直角边长，再求得ABC的面积解：设ABC的三边依次为：BC=5,AC=12,AB=13，AB2=BC2+AC2，C=90又ABCABC，C=C=90又BC=5,AC=12，BC=10,AC=24 S=ACBC=2410=120（2）已知：两相似三角形对应高的比为310，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长分析：（1）用同一个字母k表示出x，y，z再根据已知条件列方程求得k的值，从而进行求解；（2）根据相似三角形周长的比等于对应高的比，求得周长比，再根据周长差进行求解.【教学说明】通过例题的拓展