2-5高等数学同济大学第六版本.doc

2-7 1. 已知y=x3-x, 计算在x=2处当Dx分别等于1, 0.1, 0.01时的Dy及dy. 解 Dy|x=2, Dx=1=(2+1)3-(2+1)-(23-2)=18, dy|x=2, Dx=1=(3x2-1)Dx|x=2, Dx=1=11; Dy|x=2, Dx=0.1=(2+0.1)3-(2+0.1)-(23-2)=1.161, dy|x=2, Dx=0.1=(3x2-1)Dx|x=2, Dx=0.1=1.1; Dy|x=2, Dx=0.01=(2+0.01)3-(2+0.01)-(23-2)=0.110601, dy|x=2, Dx=0.01=(3x2-1)Dx|x=2, Dx=0.01=0.11. 2. 设函数y=f(x)的图形如图所示, 试在图(a)、(b)、(c)、(d)中分别标出在点x0的dy、Dy及Dy-dy并说明其正负. 解 (a)Dy0, dy0, Dy-dy0. (b)Dy0, dy0, Dy-dy0. (c)Dy0, dy0, Dy-dy0. (d)Dy0, dy0. 3. 求下列函数的微分: (1); (2) y=xsin 2x ; (3); (4) y=ln2(1-x); (5) y=x2e2x ; (6) y=e-xcos(3-x); (7); (8) y=tan2(1+2x2); (9); (10) s=Asin(wt+j) (A, w, j是常数) . 解 (1)因为, 所以. (2)因为y=sin2x+2xcos2x , 所以dy=(sin2x+2xcos2x)dx. (3)因为, 所以. (4). (5)dy=ydx=(x2e2x)dx=(2xe2x+2x2e2x)dx=2x(1+x)e2x. (6) dy=ydx=e-xcos(3-x)dx=-e-xcos(3-x)+e-xsin(3-x)dx =e-xsin(3-x)-cos(3-x)dx . (7). (8) dy=dtan2(1+2x2)=2tan(1+2x2)dtan(1+2x2) =2tan(1+2x2)sec2(1+2x2)d(1+2x2) =2tan(1+2x2)sec2(1+2x2)4xdx =8xtan(1+2x2)sec2(1+2x2)dx . (9) . (10) dy=dAsin(w t+j)=Acos(w t+j)d(wt+j)=Aw cos(wt+j)dx . 4. 将适当的函数填入下列括号内, 使等式成立: (1) d( )=2dx ; (2) d( )=3xdx ; (3) d( )=costdt ; (4) d( )=sin wxdx ; (5) d( ); (6) d( )=e-2xdx ; (7) d( ); (8) d( )=sec23xdx . 解 (1) d( 2x+C )=2dx . (2) d()=3xdx . (3) d( sin t+C )=costdt . (4) d()=sin wxdx . (5) d( ln(1+x)+C ). (6) d()=e-2xdx . (7) d(). (8) d()=sec23xdx . 5. 如图所示的电缆的长为s, 跨度为2l, 电缆的最低点O与杆顶连线AB的距离为f, 则电缆长可按下面公式计算: ,当f变化了Df时, 电缆长的变化约为多少？ 解 . 6. 设扇形的圆心角a=60, 半径R=100cm(如图), 如果R不变, a 减少30, 问扇形面积大约改变了多少？又如果a 不变, R增加1cm, 问扇形面积大约改变了多少？ 解 (1)扇形面积, . 将a=60, R=100, 代入上式得 (cm2). (2) . 将a=60, R=100, DR=1代入上式得 (cm2). 7. 计算下列三角函数值的近似值: (1) cos29; (2) tan136. 解 (1)已知f (x+Dx)f (x)+f (x)Dx, 当f(x)=cos x时, 有cos(x+Dx)cos x-sin xDx , 所以 cos29=. (2)已知f (x+Dx)f (x)+f (x)Dx, 当f(x)=tan x时, 有tan(x+Dx)tan x+sec2xDx, 所以 tan136=. 8. 计算下列反三角函数值的近似值 (1) arcsin0.5002; (2) arccos 0.4995. 解 (1)已知f (x+Dx)f (x)+f (x)Dx, 当f(x)=arcsin x时, 有 ,所以 3047. (2)已知f (x+Dx)f (x)+f (x)Dx, 当f(x)=arccos x时, 有 ,所以 602. 9. 当较小时, 证明下列近似公式: (1) tan xx (x是角的弧度值); (2) ln(1+x )x ; (3),并计算tan45 和ln1.002的近似值. (1)已知当|Dx|较小时, f(x0+Dx)f(x0)+f (x0)Dx, 取f(x)=tan x, x0=0, Dx=x, 则有 tan x=tan(0+x)tan 0+sec20x=sec20x=x . (2)已知当|Dx|较小时, f(x0+Dx)f(x0)+f (x0)Dx, 取f(x)=ln x , x0=1, Dx=x, 则有 ln(1+x)ln1+(ln x)|x=1x=x . (3)已知当|Dx|较小时, f(x0+Dx)f(x0)+f (x0)Dx, 取, x0=1, Dx=x, 则有 . tan45450.01309; ln(1.002)=ln(1+0.002) 0.002. 10. 计算下列各根式的的近似值: (1); (2). 解 (1)设, 则当|x|较小时, 有, . (2)设, 则当|x|较小时, 有, 于是 . 11. 计算球体体积时, 要求精确度在2%以内, 问这时测量直径D的相对误差不能超过多少？ 解 球的体积为, , 因为计算球体体积时, 要求精度在2%以内, 所以其相对误差不超过2%, 即要求 , 所以 , 也就是测量直径的相对误差不能超过. 12. 某厂生产如图所示的扇形板, 半径R=200mm, 要求中心角a为55. 产品检验时,