圆和圆的位置关系.doc

年级初三学科数学编稿老师田一鹏课程标题圆和圆的位置关系一校张琦锋二校林卉审核孙永涛一、考点突破1. 理解圆和圆的五种位置关系。2. 掌握圆和圆的位置关系的判定方法及有关性质。3. 能熟练运用圆和圆的位置关系的判定方法及有关性质进行计算与证明。二、重难点提示 重点：圆和圆的位置关系的判定。 难点：利用相切两圆的性质解决问题。 1. 两圆的位置关系：按公共点的个数和相对位置关系，两圆的位置关系可分为五类：（1）外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。（2）外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切。这个公共点叫做切点。（3）相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两个圆相交。（4）内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切。这个公共点叫做切点。（5）内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含。两圆同心是两圆内含的一种特例。2. 两圆位置关系的判定：设两圆的半径为R和r，圆心距为d（两个圆的圆心间的距离叫做圆心距），那么有：两圆外离dRr。两圆外切dRr。两圆相交RrdRr（Rr）。两圆内切dRr（Rr）。两圆内含dRr（Rr）。3. 相关概念和性质经过两圆圆心的直线，叫做两圆的连心线。圆是轴对称图形，两个圆也组成一个轴对称图形，连心线是它的对称轴。连结相交两圆交点的线段，叫做两相交圆的公共弦。相交两圆的连心线，垂直平分两圆的公共弦。如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上（两个圆外切和内切，统称为相切）。 和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线。两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线。公切线上两个切点间的距离叫做公切线的长。 设两圆O1、O2的半径分别为R和r，圆心距O1O2=d（dRr），则外公切线的长为：；内公切线的长为：。4. 两圆位置关系与公切线条数的关系两圆外离dRr4条公切线（2条外公切线，2条内公切线）。两圆外切dRr3条公切线（2条外公切线，1条内公切线）。两圆相交 Rr dRr（Rr）2条公切线（2条外公切线，无内公切线）。两圆内切dRr（Rr）1条公切线（1条外公切线，无内公切线）。两圆内含dRr （Rr）无公切线。5. 由圆的对称性可知，若两圆有两条外（内）公切线，那么这两条外（内）公切线长相等，若两条外（内）公切线相交，则交点在连心线上，并且连心线平分两条公切线所夹的角。6. 涉及两圆公切线长的问题关于两圆公切线的问题，可化归为一个直角梯形或者直角三角形求解，两圆相交时常用辅助线“公共弦”，两圆相切时常添加公切线，此时切点、两个圆心三点共线。能力提升类例1 已知：如图，O1与O2相交于A、B两点，经过点A的直线CD与O1交于点C，与O2交于点D，经过点B的直线EF与O1交于点E，与O2交于点F。求证：CEDF。一点通：可利用圆内接四边形找角之间的关系，证两直线平行。证明：连结AB。ABEC是O1的内接四边形，BADE。ADFB是O2的内接四边形，BADF180。EF180。CEDF。点评：两圆相交时，公共弦是常添加的辅助线。例2 已知：如图，两圆内切于点P，大圆的弦AD与小圆相离，PA、PD分别与小圆交于点E、F，直线EF交大圆于B、C。求证：APBCPD.一点通：作出两圆公切线，利用弦切角与圆周角的关系来证明。证明：过P作两圆的公切线GH，则GPAADPEFP，GPBBCP。EFPDPCBCP，GPADPCGPB。GPAGPBCPD。APBCPD。点评：两圆相切时，常常作出它们的公切线作为辅助线。综合运用类例3 已知：O1、O2的半径分别为R和r，圆心距O1O2=d（dRr），AB是O1和O2的外公切线，切点分别是A、B。求：外公切线AB的长。一点通：为了求外公切线的长AB，首先应想到切线性质，故连结O1A、O2B，由切线的性质O1AAB、O2BAB得直角梯形AO1O2B，其次作直角梯形的高O2C，得到直角三角形O1CO2，转化为解直角三角形问题。解：连结O1A、O2B，则O1AAB，O2BAB.过O2作O2CO1A，垂足为C，则四边形O2CAB为矩形，于是有O1CCO2，O2C=AB，O2B=CA.在RtO2CO1中，AB=O2C=。由圆的对称性可知，O1和O2还有另一条外公切线，并且这两条外公切线的长相等。例4 已知：如图，O1和O2外切于点A，BC是O1和O2的外公切线，B、C为切点。求证：ABAC。一点通：两圆相切，常用辅助线是两圆的公切线。证明：过点A作O1和O2的内公切线交BC于点O。OB、OA是O1的切线，OBOA。同理OCOA。OBOAOC。ABAC。思维拓展类例5 已知：如图，O1与O2相交于点M、N，公切线为AB、CD，直线MN交AB、CD于点E、F。求证：EF2AB2MN2。一点通：在本例中有圆的割线和切线，要证EF2AB2MN2，可用切割线定理试一试。证明：由题设可知EA2EMENEB2， EAEB。考虑到图形的对称性，有EMFN，AB2MN2（EAEB）2MN2EA22EAEBEB2MN2EMEN2EAEBEMENMN2。EMEN2EAEAEMENMN2EMEN2EA2EMENMN2EMEN2EMENEMENMN24EMENMN24EM（EMMN）MN24EM24EMMNMN2（2EMMN）2（EMFNMN）2EF2即EF2=AB2+MN2。例6 已知：如图，大、中、小三圆两两相切，它们又都与直线l相切，若大、中两圆的半径分别为R、r，求小圆的半径。一点通：作出所有过切点的半径，并构成RtO1EO3，AB的长即为O1、O2的外公切线长，抓住EO3FO3AB，可求出小圆的半径。解：如图，设O3的半径为x，则，同理，。由EO3FO3AB得，故小圆的半径为。例7 已知：如图，O1和O2外切于点P，过点P的直线AB分别与O1、O2相交于点A、B，BD切O1于点B，交O2于点C、D，AE是O2的直径。求证：（1）AEBD；（2）APDCPB；（3）AD2BCBDAB2。证明：（1）连结AC，过点P作两圆的公切线交BD于T，则12，45。BD切O1于B，3B。DCA1B，CPB23，DCACPB。四边形APCD内接于O2，ADCCPB。DCAADC。AE为直径，AEBD。（2）34B，B5。PADPCB，APDCPB。（3）BCD、BPA为O2的两条割线，BCBDBPBA。B5，PADBAD，ADPABD。AD2APAB。AD2BCBDAPABBPBA AB（APBP）AB2。即AD2BCBDAB2。1. 两圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含。2. 两圆相切，连心线必过切点。3. 两圆相交，连心线垂直平分两圆公共弦。4. 两圆相交时常用的辅助线为公共弦；两圆相切时常用的辅助线为公切线。问题：如何作两圆的外公切线？解答：设圆O1半径为R1，圆O2半径为R2（R1R2），以O1为圆心，（R1R2）为半径作圆O1，以O1O2为直径作圆，交O1于P点，连结O1P，并延长交圆O1于A点，过A作O2的切线交O2于B点（或者过A作O2P的平行线，交O2于B点），则AB即为O1，O2的公切线。（答题时间：50分钟）一、选择题1. 如果半径分别为10cm和8cm的两圆相交，公共弦长12cm，且两圆的圆心在公共弦两旁，则圆心距为（ ）A. cm B. （）cm C. cm D. cm 2. 两圆的半径之比为2：3，当两圆内切时，圆心距是4cm；则当两圆外切时，圆心距为（ ）A. 20cm B. 14cm C. 11cm D. 5cm 3. O1和O2的半径之比为R：r=4：3，当O1O2=21cm时，两圆外切；则当两圆内切时，O1O2的长度为（ ）A. B. C. D. 以上结论都不对二、填空题 4. 已知等边三角形的边长为4，则它的内切圆与外切圆组成的圆环面积为_。 5. 已知两圆的圆心距是5，两圆的半径是方程的两实根，则两圆的位置关系是_。 6. 已知两圆外离，圆心距d=12，大圆半径R=7，则小圆半径r的所有可能的正整数值是_。 7. 用半径R=8mm，r=5mm的钢球测量口小内大的零件的内径D，测得钢球顶点与孔口平面的距离分别为a=12.5mm，b=10.5mm（如图），则内径D的大小为_。三、解答题8. 如图，工地放置的三根外径是1m的水泥管两两外切，求其最高点到地平面的距离。9. 已知：如图，O1与O2相交于A，B两点，O1的圆心O1在O2上，过B点作两圆的割线CD分别交两圆于C、D，射线DO1交AC于E点。求证：DEAC10. 已知：如图，O1与O2相交于A，B两点，过A点的割线分别交两圆于C，D，弦CEDB，连结EB，试判断EB与O2的位置关系，并证明你的结论。1. B 提示：注意两圆圆的位置。2. A 提示：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，由解得R，r并可求解。3. C 提示：由求出R、r的长度。4. 5. 外切6. 1. 2. 3. 47. 25mm 示：由题意得：，由勾股定理求出，所以内孔直径D。8. 解：连接三个圆的圆心则形成等边三角形，边长为1m，即=1，最高点到地面的距离即为三角形