勾股定理的探索 (3).doc

：从形与数两方面加深对勾股定理内容的认识，应用定理分析解决问题；了解空间的直角问题。教学目标能力目标：能正确使用勾股定理求解直角三角形中的未知边，会通过观察分析应用知识解决问题。体会数形结合的思想方法。 情感价值观目标：通过解决问题过程，感受数学的应用价值，培养勇于挑战，积极思考的探索意识及合作意识，感受数学美。 教学重点、难点、关键点。重点：勾股定理的灵活应用。难点：将问题抽象成解直角三角形问题的过程；在空间发现直角并应用定理。关键点：作辅助线，然后发现或构建直角三角形是应用定理的关键。（考虑到学生空间感尚不高，自制教具长方体模型，帮助学生克服思维障碍。）教法设计：采用“启发引导式教学法”，“发现式教学法”来组织课堂教学。学生在老师引导之下，独立或通过合作完成由易至难的三个问题。充分体验观察分析应用解决问题的过程。教学过程：一、复习导入师生：（问答形式，以国际数学家大会会徽图引入课题内容。）师：勾股定理的内容是什么？生：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方师：用符号语言简洁的概述为生：a2+b2=c2师：有了勾股定理，我们对直角三角形的认识更加全面。从图形上生：有一个角为直角的三角形叫直角三角形。师：从边的数量关系上生：三边满足a2+b2=c2的三角形是直角三角形。师：下面我们通过应用来体会勾股定理在解决直角三角形问题方面的威力。二、定理应用师：（读题，要求学生独立完成并口答结果）*例1 练一练计算直角三角形未知边的长度。题目(略)生：齐答计算结果。师：除了单纯计算，勾股定理的价值更在于能帮助我们解决生活中的问题。下面看例二。（出示幻灯片4）*例2 身边数学宁晋县城某超市为方便顾客购物想建一传送电梯，已知楼高AC是5米，电梯底部与楼底距离BC是12米，请问传送电梯的履带AB需多长？生：（计算后回答结果）师：结果很正确。这道题目使我们重新体会解决数学应用题的过程。结果是怎样得到的？生：由勾股定理得到。师：既然用勾股定理，那么必有直角三角形。直角三角形在哪里？生：由题意，地面BC楼高CA履带AB构成直角三角形ABC，C=90师：很好，这样我们把一个生活问题抽象成了一个解直角三角形问题，并用勾股定理解决。大家口述一下，应用题的步骤怎么规范书写?师生共同完成口述过程（教师出示相应的幻灯片）师：同学们，前两个问题解决的都非常出色，如果说前两个例题我们把它看作思维上的电梯，那么现在咱们一起乘 “电梯”向高处走一走吧！下面看：*例3 “挑战思维”（师出示题目）如图所示：长方体的长宽高分别为a、b、c，你能表示出线段AC1的长度吗？（图略）师：（展示教具，解释题目要求。分发长方体立体图形卡片）生：（分小组讨论）师：（巡视几分钟后）下面小组甲、乙分别说一下你们的想法。生甲组：叙述求AC1的过程。生乙组：叙述求AC1的过程。师：（补充学生分析不完善的地方，并引导学生说出规范分析过程；出示分析过程幻灯片，黑板内板书结果。）师：刚才同学们分析出的这个题目结论是高中二年级立体几何部分的一个结论。同学们能得出正确结论非常了不起！其实数学知识之间都是盘根错节，相互联系的，只要同学们勤于思考，就会有了不起的发现，就像古代数学家发现这个非常有用的勾股定理一样。下面拿着这个结论，我们和另一个结论作一下对比，长方形对角线的平方等于什么？（黑板内画图并标出长与宽）生：a2+b2师：我们对比一下这两个结论可以感受到两维平面与三维空间有什么不同（出示幻灯片5中的 “探索成果”）。师：下面我们给大家留了这样的思考题。大家看看有没有思路（出示幻灯片6并读题）？生：只要求出长方体对角线，然后和7作比较就行了。师：大家的应用意识很强，看来数学定理的确能为我们的生活服务，所以说数学是一门很有用的学科。我们今天的讨论就到这里了，同学们说一说你有什么收获吧？三、课时小结。生：（小结内容）师：（出示幻灯片6中的“今天的收获”。）四、布置作业：规范的解答思考题。师：（出示幻灯片7宣布下课）板书设计品味数学经典勾股定理复习一、定理内容。二、定理应用例1练一练计算直角三角形未知边的长度。例2身边数学宁晋县某超市安装电梯问题。例3挑战思维 求长方体体对角线长度。*思考题：刘谦的魔术箱问题。三、课时小结四、作业布置图(2)是在北京召开的2002年国际数学家大会(TCM-2002)的会标,其图案正是弦图,它标志着中国古代的数学成就. 你能用不同方法表示大正方形的面积吗? 一、学前准备: 1、阅读课本第54页到第57页,完成下列问题: (1)我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的称为股,斜边称为弦。图(1)称为弦图,最早是由三国时期的数学家赵爽在为周髀算经作法时给出的。图(2)是在北京召开的2002年国际数学家大会(TCM-2002)的会标,其图案正是弦图,它标志着中国古代的数学成就. 你能用不同方法表示大正方形的面积吗? 2、剪四个完全相同的直角三角形,然后将它们拼成如图所示的图形。大正方形的面积可以表示为_,又可以表示为_.对比两种表示方法,看看能不能得到勾股定理的结论。用上面得到的完全相同的四个直角三角形,还可以拼成如下图所示的图形,与上面的方法类似,也能说明勾股定理是正确的方法(请逐一说明) 。 归纳其共有的证明思路:利用图形的割补,借助前后的面积相等形成关于三边的数量关系。一、教材分析（一）教材所处的地位这节课是九年制义务教育初级中学教材北师大版八年级第一章第1节探索勾股定理第一课时，勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起过重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。（二）根据课程标准，本课的教学目标是：1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。3、在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察猜想归纳验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。4、通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。（三）本课的教学重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。本课的教学难点：用面积法（拼图法）发现勾股定理。 二、教法与学法分析：教法分析：针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课可选择引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。引导学生自主探索，合作交流，这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性，基本教学流程是：提出问题实验操作归纳验证问题解决课堂小结布置作业六部分。学法分析：在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。 三、教学过程设计（一）提出问题：1、首先创设这样一个情境：人类一直想要弄清楚其他星球上是否存在着“人”，并试图与“他们”取得联系。那么我们怎么样才能与“外星人”接触呢？我国数学家华罗庚曾建议向宇宙发射勾股定理的图形与外星人联系。介绍勾股定理，进行点题：（1）介绍周髀算经中西周的商高（公元一千多年前）发现了勾三股四弦五这个规律（2）介绍西方毕达哥拉斯于公元前582493时期发现了勾股定理； （3）康熙数学专著勾股图解有五种求解直角三角形的方法,积求勾股法是其独创； （4）对比以上事实对学生进行爱国主义教育，激励他们奋发向上 2、问题：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高h=3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离x=2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火?问题设计具有一定的挑战性,目的是激发学生的探究欲望,教师引导学生将实际问题转化成数学问题,也就是“已知一直角三角形的两边，如何求第三边？”的问题。学生会感到困难，从而教师指出学习了今天这一课后就有办法解决了。这种以实际问题为切入点引入新课，不仅自然，而且反映了数学来源于实际生活，数学是从人的需要中产生这一认识的基本观点，同时也体现了知识的发生过程，而且解决问题的过程也是一个“数学化”的过程。（二）、勾股定理的探索，发现过程1、实验操作（探索-猜想）：（1）、投影课本图1-1，图1-2的有关直角三角形问题，让学生计算正方形A、B、C的面积，学生可能有不同的方法，不管是通过直接数小方格的个数，还是将C划为4个全等的等腰直角三角形来求等等，各种方法都应给予肯定，并鼓励学生用语言进行表达，引导学生发现正方形A、B、C的面积之间的关系容易发现对于等腰三角形而言满足此关系。这样做有利于学生参与探索，感受学习的过程，也有利于培养学生的语言表达能力，体会数形结合的思想。（2）接着让学生思考：如果是其它的一般直角三角形，是否也具备这一结论呢？于是投影图1-3，1-4，同样让学生计算正方形的面积，但正方形C的面积不易求出，可先让学生思考、小组合作再利用计算机演示处理过程（割补法）。这样设计不仅有利于突破难点，而且为归纳结论打下基础，让学生体会到观察、猜想、归纳的思路，也让学生的分析问题解决问题的能力在无形中得到提高，这对以后的学习有帮助。2、归纳验证：（1）引导学生议一议，通过小组间合作交流学习，充分调动学生观察、思考、归纳的积极性从而得出勾股定理的雏形。让学生用数学语言概括出一般结论，尽管学生可能讲的不完全正确，但对于培养学生用数学语言进行抽象、概括的能力是有益的，同时发挥了学生的主体作用，也便于记忆和理解，这比教师直接给学生一个结论要好的多。（2）教师又问：是不是所有的直角三角形都具有这种性质呢？是不是所有的三角形都具有这种性质呢？教师用计算机（几何画板动态显示）的优越条件，提供足够充分的典型材料形状、大小、位置发生变化的各种直角三角形，让学生观察分析，归纳概括，探索出直角三角形三边之间的关系式。并通过与锐角、钝角三角形的对比，强调直角三角形的这个特有性质，启发学生独立分析问题，发现问题、总结规律。（3）引导学生用符号语言表示，因为将文字语言转化为数学语言是学习数学学习的一项基本能.接着教师向学生介绍“勾，股，弦”的含义.强调只有直角三角形才具备。这样通过从特殊一般更一般的过程可有利于学生接受。（三）解决问题：1、让学生解决开头的实际问题，前呼后应，学生从中能体会到成功的喜悦。完成课本“想一想”进一步体会勾股定理在实际生活中的应用，数学是与实际生活紧密相连的。2、课堂练习1.错例辨析：（1）ABC的两边为3和4，求第三边解：由于三角形的两边为3、4所以它的第三边c=5（2）若告诉ABC是直角三角形，第三边C也不一定是满足，题目中并为交待C是斜边综上所述这个题目条件不足，第三边无法求得。进一步体会勾股定理成立的前题直角三角形。2.练习P61.11（四）课堂小结主要通过学生回忆本节课所学内容，从内容、应用、数学思想方法，获取新知的途径方面先进行小结，后由教师总结。（五）布置作业：课本P6习题1.12，3，4一方面巩固勾股定理，另一方面进一步体会定理与实际生活的联系 四、设计说明1、本节课是公式课，根据学生的知识结构，我采用的教学流程是：提出问题实验操作归纳验证问题解决课堂小结布置作业等部