（全国通用）2020版高考数学第四层热身篇专题检测（五）数学文化.docx

专题检测（五） 数学文化一、选择题1.我国古代数学著作九章算术中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣()A.104人B.108人C.112人 D.120人解析：选B由题设可知这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为300300108.故选B.2.大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列第20项为()A.180 B.200C.128 D.162解析：选B根据前10项可得规律：每两个数增加相同的数，且增加的数构成首项为2，公差为2的等差数列.可得从第11项到20项为60，72，84，98，112，128，144，162，180，200.所以此数列第20项为200.3.(2019昆明市高三调研测试)法国学者贝特朗于1899年针对几何概型提出了贝特朗悖论，内容如下：如图，在半径为1的圆内随机地取一条弦，则弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率等于多少？基于对术语“随机地取一条弦”含义的不同解释，存在着不同答案.现给出其中一种解释：固定弦的一个端点A，另一端点在圆周上随机选取，其答案为()A. B.C. D.解析：选B记等边三角形为ABC，弦的另一个端点为P.如图，弦AP的长超过AB的长，则点P落在劣弧上，所以所求概率为.故选B.4.欧拉公式eixcos xisin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，e2i表示的复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：选B依题可知eix表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos x，sin x)，故e2i表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos 2，sin 2)，显然该点位于第二象限，选B.5.如图所示是2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标图案，该图案的设计基础是赵爽弦图，以纪念我国古代数学家赵爽用此图证明了勾股定理.如图是用4个全等的直角三角形以斜边为边长拼成的一个正方形.假设直角三角形的直角边长分别为3，5，在正方形ABCD中随机取一点，则此点取自四边形EFGH内的概率是()A. B.C. D.解析：选A因为直角三角形的直角边长分别为3，5，所以正方形ABCD的面积为325234，易知四边形EFGH的面积为(53)24.故此点取自四边形EFGH内的概率P.故选A.6.我国古代的天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(u)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始.若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是()A.五寸 B.二尺五寸C.三尺五寸 D.四尺五寸解析：选B设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列an，公差为d，a115，a13135，则1512d135，解得d10.所以a2151025，所以小暑的晷长是25寸.故选B.7.算数书是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式VL2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么，近似公式VL2h，相当于将圆锥体积公式中的近似取为()A. B.C. D.解析：选A依题意，设圆锥的底面半径为r，则Vr2hL2h(2r)2h，化简得.故选A.8.五进制是以5为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指.中国古代的五行学说也是采用的五进制，0代表土，1代表水，2代表火，3代表木，4代表金，依此类推，5又属土，6属水(减去5即得)如图，这是一个把k进制数a(共有n位)化为十进制数b的程序框图，执行该程序框图，若输入的k，a，n分别为5，1 203，4，则输出的b()A.178 B.386C.890 D.14 303解析：选A执行该程序框图，可得当输入k5，a1 203，n4时，该程序框图的功能是计算并输出b350051252153178.故选A.9.天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推.已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为_年()A.丙酉 B.戊申C.己申 D.己酉解析：选D天干以10循环，地支以12循环，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，80108，则2029年的天干为己；801268，则2029年的地支为酉.10.九章算术是我国古代数学成就的杰出代表，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.其中方田章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积(弦矢矢矢).弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田，其弧田弦AB等于6米，其弧田弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则cosAOB()A. B.C. D.解析：选D如图，依题意AB6，设CDx(x0)，则(6xx2)，解得x1.设OAy，则(y1)29y2，解得y5.由余弦定理得cosAOB，故选D.11.为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为a0a1a2，ai0，1(i0，1，2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0a0a1，h1h0a2，的运算规则为000，011，101，110.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是()A.11010 B.01100C.10111 D.00011解析：选C对于选项C，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中的运算规则知h0011，h1h0a2110，故传输信息应是10110.12.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.定义：图像能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，给出下列命题：对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个；函数f(x)ln(x2 )可以是某个圆的“太极函数”；正弦函数ysin x可以同时是无数个圆的“太极函数”；函数yf(x)是“太极函数”的充要条件为函数yf(x)的图像是中心对称图形.其中正确的命题为()A. B.C. D.解析：选A过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个，故正确；函数f(x)ln(x2 )的图像如图所示，故其不可能为圆的“太极函数”，故错误；将圆的圆心放在正弦函数ysin x图像的对称中心上，则正弦函数ysin x是该圆的“太极函数”，从而正弦函数ysin x可以同时是无数个圆的“太极函数”，故正确；函数yf(x)的图像是中心对称图形，则yf(x)是“太极函数”，但函数yf(x)是“太极函数”时，图像不一定是中心对称图形，如图，故错误.故选A.二、填空题13.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称.从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为_.(容器壁的厚度忽略不计)解析：表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1，2，6的长方体的外接球.设其半径为R，(2R)2622212，解得R2，所以该球形容器的表面积的最小值为4R241.答案：4114.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中“勾股”章讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的三条边分别称为“勾”“股”“弦”.设F1，F2分别是椭圆y21的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，若线段PF2，PF1分别是RtF1PF2的“勾”“股”，则点P的横坐标为_.解析：由题意知半焦距c，又PF1PF2，故点P在圆x2y23上，设P(x，y)，联立，得得P.故点P的横坐标为.答案：15.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值约为0.618，这一数值也可以表示为m2sin 18，若m2n4，则_.解析：由题设n4m244sin2184(1sin218)4cos218，2.答案：216.(2019合肥市第一次质检)部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1