第六章 有限元法基础1.doc

第六章 有限元法概述第一节 单元分析简例1、单元分析的主要任务：求出单元节点位移和节点力之间的转换关系。在推导此关系时规定：力和位移的方向若和坐标轴正方向一致者为正。先举一个简单例子，图1示一拉压弹簧，弹簧系数为常量c，其轴线和x坐标轴重合，令此弹簧为一个单元，则弹簧的两端点i, j是此单元的两个节点。设在节点i, j上分别有轴向力和轴向位移。则当节点对单元有的作用力时，单元对节点有大小相等、方向相反的反作用力，节点力：这节点和单元之间的作用力和反作用力都称为节点力，对单元来讲节点力是作用于单元之力。2、节点力和节点位移的关系。图1可分解为两步1）设节点j被固定，节点i产生正位移，则此时节点i作用在单元上的力是iUiuiyjujUjx而节点j作用在单元上的力是2）是设节点i被固定，节点j产生正位移，此节点j对单元的作用力是节点i对单元的作用力是将两式合并，就得到由式可以看出一个节点上的节点力不仅决定于本节点的位移，而且也决定于本单元其他节点的位移。设以表示单元节点力向量：以表示节点位移向量：则式（1.1）可改写成：式中式中（1.2）就是单元节点位移和节点力之间的转换关系。是转换矩阵，称为单元刚度矩阵。所以单元分析的任务就是要求出本单元的刚度矩阵。2单元位移模式对于一个复杂的弹性体，要想用某种函数来描述整体内任一点的位移是不大可能的。但当把弹性体离散化为许多细小的单元，则在一个单元的局部范围内是可以把某一点的位移近似的表达为其坐标的函数，这表达式称为单元位移模式。在单元范围内建立位移模式是有限元法的特色。一般，位移模式都是用待定系数法求得。为了说明之，还以上述图1的拉压弹簧为例，设式中单元中任一点的位移x单元中任一点的坐标待定系数可由已知的节点坐标及位移来确定，这是因为既然位移模式代表了单元内任一点的位移，那么也应包括节点的位移，所以每代入一个节点的坐标及位移，就有一个解待定系数的方程，单元上有几个节点位移，或者说有几个自由度，就可以确定几个系数。上述弹簧单元只有两个自由度，故只能列出具有两个待定系数的多项式令时， 时，式中节点的坐标节点的位移解方程（1.3），得将式代入得到 (1.6)式（1.6）就是弹簧单元的位移模式：它表明单元中任一点的位移都是其坐标的函数。同时也表明只要已知单元节点位移，就可以通过位移模式推算出单元内任一点的位移。平面问题的单元形式有很多种，其中最基本的形式是三节点三角形单元，以下将以这种单元为典型，讨论平面问题的单元分析及整体分析。3、三角形单元的位移模式xmyisjuivivuviui(x,y)umvmO图2示一个三角形单元，节点的坐标分别是其沿坐标轴方向的位移分别为显然，此单元共有六个自由度，故其位移模式可写成具有六个待定系数的多项式： （1、 7）式中单元中任一点的坐标该点沿轴的位移1）先讨论水平X方向的位移：将三个节点的坐标及其水平位移代入式（1.7）中的第一式，得：解方程，可得式（1.9）中三组和都是只和节点坐标有关的常数i, j, m （110）记号 表示格式（1.10）中的进行顺序轮换后，可以得出另外两组的表达式。为了使三角形面积不为负值，应是逆时钟方向排列。将式（1.9）代入（1.7）的第一式，得 令（）同样可证明（1.14）式（1.13），（1.14）就是三角形单元的位移模式，将式（1.13），（1.14）合在一起得：或简写成这就是由单元节点位移求得单元内部各点位移的转换式，是转换矩阵。由（1.13），（1.14）可知，当或而其他节点位移为零时，单元内任一点的位移为这就是说，节点i发生单位位移时，函数表示单元内部的位移分布形状，故也称为位移的形状函数，简称为形函数，矩阵称为形函数矩阵。通过形状函数，就可以由单元体各接点位移计算出单元体内各点位移由式（1.12）可知，三节点三角形单元的形函数是坐标的线性函数，从而其位移模式（1.13），（1.14）也是坐标的线性函数。线性位移模式的一个特点：单元中的任一条直线在位移后，仍然是一条直线。所以相邻的三节点三角形单元的公共边线，在变形后仍是一条直线，只要两单元在公共节点处保持位移相等，则公共边线在变形后仍然保持密合。第二节 单元应变在上节中研究了由单元节点位移求单元内各点位移的方法，本节将研究如何由各点位移求各点相应的应变，并进一步导出由单元节点位移求单元内各点应变的方程。 （17）为几何方程。将式（1.13），（1.14）de u ,v分别代入式（1.17）得：或写成：简写成（）这就是由节点位移求单元内各点应变的转换式，其转换矩阵为称为几何矩阵，他的每项元素是由单元三个节点的坐标按式（1.10）直接算出。由于矩阵的元素是常数，则由（1.19）式可知，单元内各点的应变也都是常数，这是采用了线性位移模式的必然结果。所以三节点三角形单元也叫做常应变三角形单元。4 单元应力上节中已求出单元节点位移求单元内各点应变的转换式，现在推导由应变求应力的转换式。由平面应力问题的物理方程 应变求应力的物理方程 或写成 式就是由应变求应力的转换关系。其转换矩阵为D称为弹性矩阵。由于三角形单元内各点的位移是坐标的线性函数，其应变是常数，所以应力自然也是常数，这常数可以看作是单元形心处的应力值。在相邻两个单元中，应力是两个不同的常数，因此在公共边界处应力有突变，但随着单元尺寸的缩小，突变的程度也相应减少。现在研究平面应变问题。 将换成原则得平面应变问题的弹性方程仍可写成其中弹性矩阵D则变成应该指出，上式中D的分母中有项，故若材料的泊桑系数接近于0.5，就不能计算平面应变问题。而平面应力问题不会出现此情况。 单元节点力本节研究如何由单元应力求单元节点力。在3中已说明，对于单元来说节点力是指通过节点作用于本单元的力，所以单元节点力是作用于单元的外力，显然在单元内部会引起相应的应力。设此单元各节点有虚位移，则在单元内有相应的虚应变。根据虚功原理：外力虚功应等于内力虚功。所以节点力在节点的虚位移上所作的虚功应等于单元内部应力在虚应变上所作的虚功。由此可得到单元应力及单元节点力之间的转换关系。设单元的节点力和由之而引起的单元内应力分别为设单元的节点虚位移及其相应的单元内虚应变分别为：则外力虚功W为计算内力虚功时，仍以图1-11(a)中的微小矩形作为分析对象。设单元厚度为t，则此微小矩形的应力状态如图1-14(a)所示，而其虚应变状态如图1-14(b)所示。当略去三阶微量后，此微小矩形的内力虚功为整个单元的内力虚功为根据虚功原理，外力虚功W应等于内力虚功Q，得由式（1.19）可知则代入上式，并因虚位移是任意的，可以在等号两边同时消去，得对于常应变三角形单元和都是常量，厚度t也是常量，所以上式又可写成：显然是三角形单元的面积，用表示之，得这就是单元应力和单元节点力的转换式。8 单元刚度矩阵前面所述的多次转换关系总括起来可用下图表示：D33B36图中注明了各矩阵的阶数.由此图得出(1)由节点位移求应力的公式:(2)由节点位移求节点力的公式:或写右其中称为单元刚度矩阵。它就是由节点位移求节点力的转换矩阵。得到了单元刚度矩阵，单元分析就完成了。三节点三角形单元的是66阶矩阵，式（1.31）的完整形式是下面对单元刚度矩阵的性质作一些讨论：一、物理意义矩阵中每一个元素是一个刚度系数，它的物理意义是单位节点位移分量所引起的节点力分量。例如是m节点有单位垂直位移而其它节点位移分量均为零时，在i节点上所引起的水平节点力。再如是只在i节点有单位水平位移，而其它节点位移分量均为零时，在m节点上所引起的垂直节点力。二、对称性矩阵是个对称矩阵，也就是说，其元素之间有如下关系：这个特性是由弹性力学中的功的互等定理所决定的。功的互等定理可表述如下：若力和分别作用在弹性体的两点r和s上，在s点引起位移，在r点引起位移，则有这个定理对上述单元分析同样适用。例如节点i作用有水平节点力，节点m作用有垂直节点力，在节点m的垂直方向引起位移，在节点i的水平方向引起位移，则根据功的互等定理，有但由前述刚度系数的物理意义可知： 从而得到这就证明了单元刚度矩阵是对称矩阵。三、奇异矩阵单元刚度矩阵是奇异矩阵。可证明如下：以式（1.33）的第一行为例：当节点力时，单元仍可作刚体移动，此时则由于及为任意数，得同样可以证明单元刚度矩阵的每行元素之和均为零。从而证明了单元刚度矩阵是奇异阵。其物理意义就是：在无约束的条件下，单元可作刚体运动。四、分块形成式（1.33）按节点进行了分块。分块形式还可简写成：式（1.34）中i节点上各节点力分量组成的向量i节点上各位移分量组成的向量j节点产生单位位移时在i节点上引起的节点力对单元刚度矩阵按节点进行分块将便利于整体刚度矩阵的建立。第二章 平面问题的整体分析1 整体刚度矩阵的集成在建立整体刚度矩阵之前，先得研究单元的节点力整体结构的节点力之差别。从式（1.34）中取出行： （2.1）式（2.1）说明：某一单元中第j个节点上的节点力等于该单元三个节点i, j, m的节点位移在节点j上引起的节点力之迭加。这是一个单元对它的一个节点的节点力。而在整体结构中一个节点往往为几个单元所共有，则这个节点上的节点力就应该是：共有这节点的几个单元的所有节点位移在该节点上引起的节点力之迭加。为了叙述方便，以下称同一单元上的节点为相关节点，该单元为相关单元。现在通过下述例子，说明整体刚度矩阵的建立。图2-1为一个四单元六节点的结构，节点及单元都已编号。在节点1，4上有水平支承，在节点4，6上有垂直支承，在节点1，2，3上作用有节点载荷。若暂不考虑节点的支承及载荷，则每个节点应有水平及垂直方向的两个位移分量和两个节点力分量，整个结构共有12个节点位移分量及12个节点力分量，其转换关系可用下式表示：Py11Py3Px3Px223456aaaa式中 式（2.2）可简写成：式中 整体结构的节点力向量 整体结构的节点位移向量 整体刚度矩阵整体刚度矩阵是用刚度集成法求得的。现以子块为例以说明之。从式（2.2）中取出一行：可见子块是节点3产生单位位移时，在节点2上产生的节点力。由图2-1可以看出，使节点2和节点3相关联的单元有两个，即单元和单元，当节点3发生单位位移时，通过单元和单元同时在节点2上引起节点力，所以应将相关单元作用在节点2上的节点力相迭加，才能得到节点2上的节点力。由此可见，整体刚度矩阵中的子块应该是相关单元的单元刚度矩阵中相应子块的迭加。由此也可以知道，假如两个节点并不直接相关，则他们在整体刚度矩阵中的子块应为零。根据以上所述，整体刚度矩阵的集成规则可简述如下：先对每个单元求出单元刚度矩阵，然后将其中的每个子块送到整体刚度矩阵中的对应位置上去，在同一位置上若有几个单元的相应子块送到，则进行迭加以得到整体刚度矩阵的子块从而形成整体刚度矩阵。现在按此方法集成出图2-1的整体刚度矩阵。图中四个单元的节点号以及其单元刚度矩阵的分块形式列于表2-1。表2-1单元号节点号1，2，32，4，52，5，33，5，6kek11k12k13k22k24k25k22k25k23k33k35k36k21k22k23k42k44k45k52k55k53k53k55k56k31k32k33k52k54k55k32k35k33k63k65k66将每个单元刚度矩阵的子块分别送到整体刚度矩阵的对应位置中去，例如：单元的子块及单元的子块都应送到分块的整体刚度矩阵的第二行第三列中去，相迭加后得到。依此类推，就可形成整体刚度矩阵。654132564321 为简洁起见，式（2.5）中相迭加的子块写成以代替。在这里应该指出，整体刚度矩阵中每个是2子块2阶矩阵，所以假如整体结构分为N个节点，则整体刚度矩阵的阶数是2N2N。3 载荷向量将式（2.5）代入式（2.2），则式（2.4）可写成：式（2.7）说明，节点2在整体结构中为，三个单元所共有，这三个单元上的1，2，3，4，5五个节点的位移都通过其相关联的单元，分别对节点2产生作用力，所以整体结构上节点2的节点力就是这些作用力的迭加。根据静力平衡原则，假如节点2上没有外力载荷时，（2.7）式等号右边各项迭加之和应为零，而当节点2上作用着已知的外加载荷时，则右边各项之和就应等于这外加载荷。现在根据这个原则来分析图2-1中的各个节点力。按图2-1上所示，有：，而节点4带有水平和垂直支承，其节点力为未知量，所以暂设，节点1带有水平支承，水平节点力为未知量，而垂直方向有作用力，故，节点6带有垂直支承，水平方向无约束，故，这样方程（2.3）的左边项节点力向量就处理成：此式等号右边统称为载荷向量，以代表之，于是式（2.3）可改写成：4 支承条件的处理结构的支承条件可分为两类：一、节点上有支承，使节点在一定方向上的位移为零。二、节点位移为已知非零值。这两种支承条件都应使整个结构不能有刚体位移。先研究第一种支承情况。为了便于说明，另举一最简单的例子：设一结构只有一个单元，如图2-4所示。在节点1上作用有水平力和垂直力，而在节点2，3上有铰支承。Px1Py1123对于这问题，整体的平衡方程式（2.8），就是单元的平衡式（1.33），考虑到载荷状况及支承条件，式（1.33）变成其中需要求的基本未知量是，为此只需在方程（2.9）中抽出前两行：或写成：由式（2.10）可解出。将式（2.10）和式（2.9）相比较，可以看出，如果在式（2.9）中将刚度矩阵中和零位移相对应的各行和同号的各列都划去，同时将右边载荷向量中的相应元素，即未知的支承力也都划去，就可以直接得到式（2.10）。为了便于编写计算程序，希望修改后的矩阵仍保留原刚度矩阵的阶数和排列顺序，为此将式（2.10）扩大成如下形式：节点号321654321654显然式（2.11）完全等效于（1.33）和支承条件。所以当支承条件是使节点位移为零时，对方程（2.8）进行修改的办法是：在刚度矩阵中找出和零位移对应的行和列，将其主对角线元素改为1，其它元素改为0，在载荷向量中，将和零位移相对应的元素改为0。经过这样修改，式（2.8）就可以解出了。根据上述方法，图2-1的平衡方程（2.8）可写成（2.12）式。方程（2.12）是个线性方程，其求解有成熟的方法这里不详述。显然，有支承限制的的解将是零。以上解决了有第一种支承条件时方程（2.8）的解法。现在研究第二种支承条件。设节点n的水平位移为已知非零值b，则为了满足的条件，应对式（2.8）中的第个方程作如下修改：将主对角线元素乘以一个大数A，（例如），将右边项换成，其余各项保持不变，则式（2.8）中的第个方程改成为：式中除包含大数A的两项外，其余各项相对都比较小，可以忽略不计，于是十分近似的满足了的条件。5 非节点载荷的移置在方程（2.8）中载荷向量的每个元素都是作用在节点上的载荷，所以，假如结构上受有不直接作用在节点上的载荷，则应向节点移置，根据弹性力学圣维南原理，这种移置若按静力等效的原则进行，则因移置而引起的应力差异只是局部的，不会影响整体的应力分布。所谓静力等效是指原载荷和移置到节点的载荷在任何虚位移上所作的虚功都相等。对于静力等效原则的普遍应用形式将在第四章讨论，而对于现在讨论的三角形单元，由于是采用线性位移模式，此原则的应用是比较简单的。例如有一均质等厚度的三角形单元ijm（图2-5），其形心c上作用有垂直方向的重力载荷W，显然。现在来求出应当移置到各节点的载荷。先求应当移置到i节点的垂直载荷。假如节点i沿y方向作单位位移，而其余两节点都不