线性代数与概率统计作业.doc

一问答题1叙述n阶行列式的余子式和代数余子式的定义，并写出二者之间的关系。答：定义：在n阶行列式D中划去所在的第i行和第j列的元素后，剩下的元素按原来相对位置所组成的（n1）阶行列式，称为的余子式，记为，即称为的代数余子式，记为，即2 叙述矩阵的秩的定义。答：定义：设A为mn矩阵。如果A中不为零的子式最高阶为r，即存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式皆为零，则称r为矩阵A的秩，记作（秩）r或R（A）r3 齐次线性方程组的基础解系是什么？答：定义：设T是的所有解的集合，若T中存在一组非零解满足（1）线性无关；（2）任意，都可用线性表出则称是此方程组的一个基础解系4试写出条件概率的定义。5 试写出全概率公式和贝叶斯公式这两个定理。=答：定理1（全概率公式）设事件构成完备事件组，且，则对任意事件B，有 . 特别地，当n=2时，全概率公式为 .定理2（贝叶斯公式）设事件构成完备事件组，则对任意事件B，有 L 二填空题1行列式4 2设均为3阶矩阵，且，则 72 。3如果齐次线性方程组的系数行列式，那么它有 唯一零 解4用消元法解线性方程组，其增广矩阵经初等行变换后,化为阶梯阵 ，则 (1)当 s=0，t0 时, 无解;(2)当 s=0，t=0 时, 有无穷多解;(3)当 s0， t 是任意实数时, 有唯一解。5设有N件产品，其中有M件次品，若从N件产品中任意抽取n件，则抽到的n件中检有件次品的概率为P 。6随机变量数学期望的性质有 （1） aE(X)+b （a，b为常数）；（2）设有两个任意的随机变量X，Y，它们的期望存在，则有 E(X)+E(Y) 。（3）设是 相互独立 的两个随机变量，且各自的期望均存在，则有。7设为总体的一个容量为的样本，则称统计量（1） 为样本均值；（2） 为样本方差。8由概率的加法公式知，（1）对任意两个事件A，B，有 P(A)+P(B)-P(AB) ； （2）如果事件A，B互不相容，则 P(A)+P(B) ；三计算题1 计算行列式 2 设，求。 3 求矩阵的秩。解：所以，矩阵的秩为24 解齐次线性方程组。解：对系数矩阵施以初等变换：A与原方程组同解的方程组为：所以：方程组的一般解为（其中，为自由未知量）5 试问取何值时，齐次线性方程组有非零解？解：系数行列式为：所以，当=-8时，该齐次线性方程组有非零解。6设有甲、乙两名射手，他们每次射击命中目标的概率分别是0。8和0。7。现两人同时向同一目标射击一次，试求：（1）目标被命中的概率；解：设A=甲命中目标，B=乙命中目标，C=目标被命中。 则：C=A+B 故：目标被命中的概率为：P(C)=p(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) =0.8+0.7-0.80.7 = 0.94 （2）若已知目标被命中，则它是甲命中的概率是多少？ 解：P(A|B)=7一袋中有m个白球，n个黑球，无放回地抽取两次，每次取一球，求： （1）在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的条件概率；（2）在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的条件概率。 解：设A=第一次取到白球，B=第二次取到白球 （1）第一次取到白球后，袋中还有m+n-1个球，其中白球还有m-1，故 P(B|A)= (2)第一次取到黑球后，袋中还有m+n-1个球，其中白球还有m，故 P(B|)=8 某工厂生产一批商品，其中一等品点，每件一等品获利3元；二等品占，每件二等品获利1元；次品占，每件次品亏损2元。求任取1件商品获利X的数学期望与方差。解： 9设某仪器总长度X为两个部件长度之和，即X=X1+X2，且已知它们的分布列分别为X12412X267Pk0.30.50.2Pk0.40.6求：（1）；（2）；（3）。解：因为 EX1=20.3+40.5+120.2=5 EX2=60.