方程解的理论.doc

方程解的理论2010.12人们在1617世纪时已熟知代数方程根与系数的关系，设为下列次方程的个根（其中容许有重根），则.如果将上式乘积展开出来，则比较同次幂系数可得联立方程这就是根与系数的韦达关系，其中各等式左端均为诸根的对称式，即诸根互换位置后等式形式均不变。所谓代数方程的根式解，实质上可以看作是上述联立方程的代数解，即利用文字系数间的有限次四则运算与开方根运算，表出诸的一般解。在欧拉时代以前，人们已经知道对带有文字系数的二次方程、三次方程及四次方程而言（相当于的情形），确实能利用系数的四则运算与开方根运算作成的公式表示出各个根。既然代数方程中的多项式是由本身和它的各次乘方构成的，求根是个逆过程，所以理所当然地在计算根的过程中将会包含各次开方运算，即，等运算；而且正是这些开方根，的多值性，将能用以区别各个根。试以表示的一个复数根（幅角最小的复数），则共有个复数根.特别的两个平方根为；的三个立方根为其中，.因此，次方程的根式解问题，就是如何利用诸系数以及各次单位方根的有理运算及各次开方运算，来表示出各个根的问题.拉各朗日精心分析了二次、三次、四次方程的的根式解结构之后，发现方程的预解式概念，并且还进一步看出预解式和诸根排列置换下的形式不变性有关。因此，他最后得出结论说：高次代数方程根式解的可能性问题最终还是归结到诸根的排列置换性质的问题。什么叫做拉格朗日预解式？我们不妨取二次方程与三次方程为例来说明问题。大家知道二次方程的求根公式是，.在这个公式中果然只用到了系数间的有理运算与开方运算，而且借助于的双值性区分了两个根与.那么是怎样形成了呢？它与诸根有何关系？很显然，这个运算式可表成.简记为，则即称为二次方程的预解式.由韦达关系已知所以只要能将用表示出，则由立即可得两根，.显而易见，故满足二项方程.这就是二次方程的预解方程。由此得.由上可见，只要求得预解方程，则原方程的根式解即随手可得。下面再来考察三次方程的根式解问题.试考虑既约三次方程.它的三个根与系数的关系是根据16世纪意大利数学家塔塔里亚与卡丹发现的解法，首先，应作变换.代入原方程，经过简化则得 . (1)这个简记为 ， (2)其中.由于这是一个二次方程，立即可解出，最后再经过开立方可求得的6个值，这里是关于的二次方程的两个根，即最后，经过恰当搭配可把原三次方程的三个根明确表示如下：， ，.这里实际上，而若，则有，也即对应的.这些公式果然也只用到了系数间的有理运算与平方根、立方根运算，且诸根的区别是借助于的双值性和的三值性表示出来的.我们已经看出，导出上述公式的重要关键是由于 得到了关于的二次方程，这个二次方程就是关于三次方程根式解法过程中的拉格朗日预解方程.这个预解方程的得来是由于作了变数代换.对于这个一个变数代换而言，拉格朗日不是着眼于如何依赖于，而是考虑如何依赖于的问题.反过来分析问题，这便是他的高明之处.拉格朗日观察到各个值可以表成.(因为).这里三个字母共有个排列，故对应各个排列可得的6个值，所以理应满足一个6次方程.再者，对诸的6种排列而言，实际上只给出两个不同形式的值，这也说明为什么恰好满足一个二次方程预解方程，其中就是拉氏预解式.上述分析表明预解方程的次数与字母（根）的排列所导致的不变形式的个数有关.为详细说明 这一情况，可把6个排列所对应的一切置换简记如下， 显然对上述6个转换而言，的不同形式值也有6个，但在上施行上述6个置换时，只有两个不同形式的值，即和.分别对应的是上面6个置换. 所以在拉格朗日的分析研究中，已经发现了函数形式在一类置换下的形式不变性如何同预解方程的结构特征相关联.循着上述思路，拉格朗日考察了更一般的情形，即假设是方程 （*）的个根，经过分析研究，他曾在1770年证明了两个重要命题.熟知个字母的全排列共有个，故相应的全部置换构成的置换类中共有个不同置换，当然此类中的一部分置换可作成置换子类，凡由方程系数及字母间的有理运算构成的表达式即称为有理式或有理函数，于是拉格朗日的两个重要命题可陈述如下：（一） 设和是两个有理函数（有理式），如果使得不改变形式的某类置换，也对不变形，则必可用及（*）的系数的某种有理形式表示出来.（二） 对使不变形的置换类而言，如果取个不同形式的值，则必为某个次方程的根，该方程之系数可用及（*）的系数的某种有理形式表示出来.根据上述二命题，拉格朗日曾设想了一个理论上（原则性）的求解方程步骤：例一：考虑二次方程的求解问题，设为方程的两个根，则有置换类：.按根与系数的关系知这些关系都对置换类不变形，所以它们不能用原二次方程的系数表出，是理所当然的（这里不妨假定）.今若选取，而考虑，则易见对使不变形的置换类而言，将取两个不同的形式的值和， 因此由上述基本命题，必为某二次方程的根，事实果然如此，即，也即.由此，引入这个预解方程的根式解，利用与便得到，.例二：试考虑三次方程试考虑既约三次方程，并令表示该三次方程的三个根，今取，由于这个有理式对中的6个置换而言，它只取两个不同值和，因此取，则由基本命题（二），可知，作为的两值和必为某二次方程（预解方程）的根，于是再从下列诸式而，即与前面结果相一致了.阿贝尔定理是说