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污水排放问题摘要：我国是一个干旱缺水严重的国家，淡水资源总量为28000亿立方米，占全球水资源的6%，仅次于巴西、俄罗斯和加拿大，居世界第四位，但人均只有2300立方米，仅为世界平均水平的四分之一，美国的五分之一，在世界上排名121位，是全球13个人均水资源最贫乏的国家之一。而污水处理是我国走可持续发展路线亟待解决的问题。本文研究了污水排放问题，从处理污水总开支最少考虑，首先对管道长与管道费用，排污量与建站费用数据处理，进行拟合得出相关方程，并在可接受的误差范围内，用得到的方程计算相关费用。根据实际问题，建立了五种方案。通过对五种方案分别计算并进行比较得出最优方案。费用分担问题上综合各方面因素拟定了五种分担方案，多定方案有利于各工厂依据实际进行有针对的选择。本模型利用了MATLAB软件模拟曲线、Lingo软件编程求解数据关系和最终解，费用分担使用了对实际的分析和Shapley合作对策公平分配的方法得出费用分担的五种方案，此模型能够解决污水的排放问题和费用的分担问题，具有较强的规律性，可以推广到业、商业、交通运输、工程技术、行政管理等领域。在文章的最后，分析了在模型中还需进一步考虑的问题。关键词：污水排放 开支最少 费用分担1 问题重述1.1问题的背景与简化 随着国民经济的快速发展和结构转型，企业在追求经济效益的同时，越来越重视环境保护问题。如何减少污染物的排放以保护环境，使经济得以稳健及可持续发展，是许多企业亟待解决的重要问题。假设沿河有若干工厂，每天都会排放一定量的污水，这些污水必须经过处理才能排入河中。通常的解决办法是建造污水处理站，将污水进行处理，使之达到排放标准后再予以排放。污水处理站可以由每个工厂单独建造，也可以几个工厂联合建造。联合建造时，处理站必须建在下游位置，上游工厂将污水通过管道送往下游的处理站集中处理。处理站的建造费用与污水处理量及铺设的管道总长度有关，题目所给表中显示了不同污水处理量和不同管道铺设总长度的建造费用及管道铺设费用。1.2问题提出问题1：建立适当的数学模型，给出合理的污水处理站建造方案，从不同的方案中得出费用最低的方案。如果是联合建造，应给出建造费用的分担方法。问题2：若沿河从上游到下游有A，B，C三家工厂，各厂的排污量分别为4.5 t/s，2.5 t/s和6 t/s。已知AB之间的距离为20 km，BC之间的距离为40 km。用已经建立的模型给出具体的污水处理站建造方案和费用分担方法。问题3：分析说明你所给方案的合理性。2 问题分析2.1问题1的分析在对污水排放的问题上，由题可知污水处理站的建造费用与污水处理量及铺设的管道总长度有关且题中表格给出建站费和管道费两种费用。由实际情况可知建站费只可能与排污量有关，故求建站费的问题时只需要考虑排污量；管道费应该与排污量和管道长度都有关，故求解管道费问题时需要两个因素综合考虑。两项费用与管道的长度、排污量之间的关系可以由MATLAB中的cftool进行曲线拟合得出，将曲线拟合得到的关系式带入预设的方案则可得出最优方案。根据实际和已有的经验拟定了五种费用分担方案，方案的最终确立一定要由工厂共同商量得出。 2.2问题2的分析 沿河从上游到下游有A，B，C三家工厂，三家工厂建设污水处理厂可用有五种不同的组合方案，通过问题1得出的方程式将五种方案的总费用lingo软件求解出来然后进行比较从而得出最佳的方案。确定方案后拟定费用的分担方法，将公式输入lingo软件中最后求得各厂所需支付的总费用。3 模型假设1) 题目所给出的表格中可以反映全国污水处理站的费用与管道长度、排污量之间的关系；2) 实际中河边的工厂个数为有限个，可以使用列举法得出多种建厂方案；3) 联合建站费按排污量或函数值之比进行分担；4) 管道费按谁使用谁投资的原则或直接按排污量、函数值的比例进行分担；5) 由已有经验使用Shapley合作对策公平分配的方法进行合理分担费用。4 符号说明表1 模型符号排污量 单位（立方米/秒）管道长度 单位（公里）管道费 单位（万元）建站费 单位（万元）总费用 单位(万元)工厂单独建站的费用 单位(万元)特征函数 单位(万元)Shapley值 单位(万元)5 模型的建立与求解5.1模型的建立5.1.1费用关系式的建立通过题目所给的以下表格可以做出散点图：表2 不同污水处理量和不同管道铺设长度的建造费用及管道铺设费用排污量(t/s)管道总长(km)建站费(万元)管道费(万元)总费用(万元)28125.187.08132.26415195.819.91215.716.521265.2136.41301.62826332.5649.58382.14930322.9362.06384.999.538372.6379.55452.181045363.2997.06460.351151374.56116.66491.2212.556430.18141.12571.31565459.29181.18640.47图 1 建站费与排污量关系散点图图 2 管道费与管道长度关系散点图图 3 管道费与排污量关系散点图观察数据所得的散点图可以猜测方程模型为： （1） （2）通过MATLAB中cftool可以模拟出一下曲线：图 4 建站费与排污量的曲线拟合图 5 管道费与排污量、管道长度的曲线拟合从拟合曲线中可以得出方程： （3） （4）5.1.2费用分担的模型建立因为实际情况中河边工厂的数量为有限个，所以建造污水处理站的方案可以用列举法一一列出，如果某工厂独立建造污水处理站则费用自然由自己承担，如果几个工厂联合建造污水处理站则由以下方案分担费用：（1）联合建站费按排污量或函数值之比进行分担；（2）管道费按谁使用谁投资的原则或直接按排污量、函数值的比例进行分担；（3）由已有经验使用Shapley合作对策公平分配的方法进行合理分担费用。通过以上描述总共可以拟定五种费用分担方案，最终方案应由所有公司共同商议给出。5.2模型的求解5.2.1下面通过以上模型对问题1进行求解：用（i=1,2,3n）表示n个工厂设每个工厂距离下一个工厂的距离分别为（i=1,2,3n），每个工厂的排污量分别为（i=1,2,3n）对应的管道费用为（i=1,2,3n）对应的建厂费为（i=1,2,3n），每个工厂单独建立污水处理厂的费用分别为（i=1,2,3n），第i个和第j个工厂联合建立污水处理厂的费用为（i，j=1,2,3n）。（1）对n个厂的问题进行讨论可组合出以下几种方案：方案1：各工厂分别建站,总费用： （5）方案2：利用组合的方式对n个中某些工厂进行联合建立污水处理厂：假设n个工厂中有k（k=2,3,n）个工厂采用联合建厂的方式，剩余(n-k)个单独建厂。a将n-k个单独建厂的工厂按从上游到下游的位置重新记为到，则其建厂费用为: （6）bK个采用联合建厂的工厂重新按从上游到下游位置记为（i=1,2,k）,用表示第i个工厂与第j个工厂之间的距离，也就是管道长度。则管道费用： （7）总管道费为： （8）建站费用： （9）总联合建厂费为： （10）总费用： （11）通过组合共可得到种建厂方式。方案3：所有工厂一起联合建立污水处理厂： （12）（2）费用分担方法由问题分析所给原则可以列出五种方案：方案1：管道费用根据谁使用谁投资的原则，及由处于管道上游的工厂按排污量比例分担费用；建站费由每个工厂排污量的比例进行费用分担。单独建厂费用：联合建厂第个工厂所需费用：表示个联合建厂中的第个厂的排污量，表示个联合建厂中的第个厂的建站费，表示个联合建厂管道总费用，表示个联合建厂中的第个厂的管道费用。 （13） （14） （15） （16）方案2：管道费用根据谁使用谁投资的原则，及由处于管道上游的工厂按管道费方程中的比例分担；建站费按建站费方程中的比例分担费用。a 单独建厂费用： （17）b联合建厂第个工厂所需费用：表示个联合建厂中的第个厂的排污量，表示个联合建厂中的第个厂的建站费，表示个联合建厂中的第个厂的管道费用。 （18） （19） （20）方案3：联合建的建污水处理站总费用都按各个工厂的排污量之比分担。 （21）方案4：联合建的污水处理站的建站费按各个工厂的比例分担，管道费按各个工厂的比例分担。a 单独建厂费用： （22）b联合建厂第个工厂所需费用：表示个联合建厂中的第个厂的排污量，表示个联合建厂中的第个厂的建站费，表示个联合建厂管道总费用，表示个联合建厂中的第个厂的管道费用。 （23） （24） （25） （26）方案5：按Shapley方案。定义1 设集合I=1,2,n, 如果对于I 的任一子集s 都对应着一个实值函数, 满足方程：。称I,V为n 人合作对策, v 为对策的特征函数。定义2 用表示的成员i从合作的最大效益中应得到的一份入。，叫作对策的分配( Imputation) ,满足，。公式Shapley 值为： （27）其中是I 中包含i 的所有子集, 是子集中的元素数目( 人数) , 是加权因子, 表示去掉后的集合。第i个工厂所需承担的费用为： （28）5.2.2下面通过以上模型对问题2进行求解：由 （29）得 （30）记为一工厂单独建站的费用（i=A,B,C）则：可以算得：记为i,j工厂合作,两家工厂需要的总费用则： （31） （32）（33）对三个厂的问题进行讨论可组合出以下5种方案：方案1：各工厂分别建站,总费用： （34）方案2：工厂A,B联合建站,工厂C单独建站,总费用： （35）方案3：工厂A,C联合建站,工厂B单独建站,总费用： （36）方案4: 工厂B,C联合建站,工厂A单独建站 ,总费用： （37）方案5：三厂联合在城3建站,总费用为：（38）通过结果的对比可见方案5最优。由以上所得结论可以制定以下费用分担方法：方案1：管道费用根据谁使用谁投资的原则，及由处于管道上游的工厂按排污量比例分担费用；建站费由每个工厂排污量的比例进行费用分担。（1）建站的费用的分担方法：三厂联合建站费用： （39）按三城污水量比例9:5:12分担，厂A,B,C分别负担费用： （40） （41） （42）（2）管道费用的分担方法：工厂A到工厂B的管道费用由工厂A承担： 工厂A承担的费用： （43）工厂B到工厂C的管道费用由工厂A与工厂B按排污量共同分担：因为 （44）所以A工厂应承担费用： （45）B工厂应承担费用： （46）根据费用分担的原则可以得出每个工厂需要分担的总费用： （47） （48） （49）方案2：管道费用根据谁使用谁投资的原则，及由处于管道上游的工厂按管道费方程中的比例分担；建站费按建站费方程中的比例分担费用。（例如：A，B两个工厂联合建污水处理站时费用A分担的方程为）（1）建站的费用的分担方法：三厂联合建站费用： （50）按三个工厂比例分担，厂A,B,C分别负担费用： （51） （52） （53）（2）管道费用的分担方法：工厂A到工厂B的管道费用由工厂A承担： 工厂A承担的费用： （54）工厂B到工厂C的管道费用由工厂A与工厂B按排污量共同分担：因为 （55）所以A工厂应承担费用： （57） （58）根据费用分担的原则可以得出每个工厂需要分担的总费用： （59） （60） （61）方案3：联合建的建污水处理站总费用都按各个工厂的排污量之比分担。三厂联合建站费用： （62）按三城污水量比例9:5:12分担，厂A,B,C分别负担费用： （63） （64） （65）所需的总的管道费用：（66）按三城污水量比例9:5:12分担，厂A,B,C分别负担费用： （67） （68） （69）根据费用分担的原则可以得出每个工厂需要分担的总费用： （70） （71） （72）方案4：联合建的建污水处理站的建站费按各个工厂的比例分担，管道费按各个工厂的比例分担。（1）建站的费用的分担方法：三厂联合建站费用： （73）按三个工厂比例分担，厂A,B,C分别负担费用： （74） （75） （76）（2）管道费用的分担方法：所需的总的管道费用：按三个工厂比例分担，工厂A,B,C分别负担费用： （77） （78） （79）根据费用分担的原则可以得出每个工厂需要分担的总费用： （80） （81） （82）方案5：按Shapley方案。定义联合建厂比单独建厂节约的投资为特征函数，于是，i=1,2,3； （83） （84） （85） （86）由MATLAB求解可得：6 模型的检验检验方法是将所有费用分担方案得出的各厂所需费用与每个厂单独建立污水处理厂的费用进行比较。（1）费用分担方案1的检验：工厂A分担费用为工厂B分担费用为工厂C分担费用为（2）费用分担方案2的检验：工厂A分担费用为工厂B分担费用为工厂C分担费用为（3）费用分担方案3的检验：工厂A分担费用为工厂B分担费用为工厂C分担费用为（4）费用分担方案4的检验：工厂A分担费用为工厂B分担费用为工厂C分担费用为（5）费用分担方案5的检验：工厂A分担费用为工厂B分担费用为工厂C分担费用为对于建厂方案来说，所选的方案是所有方案中需要费用最少的，做到了使费用降到了最低的情况。对于费用分担问题，拟定的五种方案通过以上检验可以看出方案1、方案2对工厂A太不公平所以工厂A不可能同意这两种方案。方案3、方案4、方案5没有明显的不公平性，最终方案可以按照各工厂的实际情况共同商议来确定。7 模型的评价与推广（1）本模型利用了Lingo软件、MATLAB软件编程共同求解的方法；（2）本模型着重考虑了实际问题，通过实际可能进行了有针对性的求解，具有一定的实际指导意义；（3）本模型的假设具有一定合理性，为节省开支和费用的分担提供了便利；（4）模型具有一般性，在一定条件下能使用于其他工业生产组织、经济计划、输气管道建设、联合配电、污水处理等一系列问题；（5）模型也带有主观性，联合建立污水处理厂时费用分担问题给定的五种方案都具有一定的局限性，实际使用时可能会有一些问题，如Shapley方法的问题是它需要知道所有合作的获利，这在实际上常常做不到，因此还可以考虑使用，如协商解.均衡解。满意解。Raiffa解等等。参考文献1叶其孝.大学生数学建模竞赛辅导教材（一）.长沙湖南教育出版社，1993。2姜启源.数学建模.2版.北京：高等教育出版社，1993。3任福田等泽，道路通行能力手册，北京工业大学交通工程室：建筑工业出版社, 1985。4 李进平,张乐文，交通流的流体动力学模型研究J,武汉理工大学学报(交通科学与工程版)，Vo1.26.No.6.,Dec2002：748751。5甘应爱等，运筹学，北京：清华大学出版社，2005。6茆诗松，贺思辉，概率论与统计学，武汉：武汉大学出版社，2010。7叶其孝，姜启源译，数学建模，北京：机械工业出版社，2005。附录散点图的绘制：clc,clearload data2.txtpaiwu=data2(1,:);paiwu=paiwu;paiwu=paiwu(:);changfei=data2(2,:);changfei=changfei;changfei=changfei(:);plot(paiwu(1:10),changfei(1:10),*)建厂费与排污量的散点图clc,clearload data1.txtguanchang=data1(1,:);guanchang=guanchang;guanchang=guanchang(:);guanfei=data1(2,:);guanfei=guanfei;guanfei=guanfei(:);plot(guanchang(1:10),guanfei(1:10),*)管道费与管道长度的散点图clc,clearload data3.txtpaiwuliang=data3(1,:);paiwuliang=paiwuliang;paiwuliang=paiwuliang(:);guanfei=data3(2,:);guanfei=guanfei;guanfei=guanfei(:);plot(paiwuliang(1:10),guanfei(1:10),*)管道费与排污量的散点图总费用方案一求解：X1=4.5;X2=2.5;X3=6;Y1=20;Y2=40;P1=82.06*X10.6451;P2=82.06*X20.6451;P3=82.06*X30.6451;P12=82.06*(X1+X2)0.6451+0.5452*X10.6022*Y1;P13=82.06*(X1+X3)0.6451+0.5452*X10.6022*(Y1+Y2);P23=82.06*(X2+X3)0.6451+0.5452*(X1+X2)0.6022*Y2;S1=P1+P2+P3;S2=P12+P3;S3=P13+P2;S4=P23+P1;S5=82.06*(X1+X2+X3)0.6451+0.5452*X10.6022*Y1+0.5452*(X1+X2)0.6022*Y2;Z=82.06*(X1+X2+X3)0.6451;Z1=Z*9/26;Z2=Z*5/26;Z3=Z*12/26;G12=0.5452*X10.6022*Y1;G23=0.5452*(X1+X2)0.6022*Y2;G231=G23*9/14;G232=G23*5/14;SA=Z1+G12+G231;SB=Z2+G232;SC=Z3;总费用方案二求解：XA=4.5;XB=2.5;XC=6;YAB=20;YBC=40;P1=82.06*XA0.6451;P2=82.06*XB0.6451;P3=82.06*XC0.6451;P12=82.06*(XA+XB)0.6451+0.5452*XB0.6022*YAB;P13=82.06*(XA+XC)0.6451+0.5452*XA0.6022*(YAB+YBC);P23=82.06*(XB+XC)0.6451+0.5452*(XA+XB)0.6022*YBC;S1=P1+P2+P3;S2=P12+P3;S3=P13+P2;S4=P23+P1;S5=82.06*(XA+XB+XC)0.6451+0.5452*XA0.6022*YAB+0.5452*(XA+XB)0.6022*YBC;WAB=0.5452*XA0.6022*YAB;WBC=0.5452*(XA+XB)0.6022*YBC;WBCA=WBC*XA0.6022/(XA0.6022+XB0.6022);WBCB=WBC*XB0.6022/(XA0.6022+XB0.6022);Z=82.06*(XA+XB+XC)0.6451;ZA=Z*XA0.6451/(XA0.6451+XB0.6451+XC0.6451);ZB=Z*XB0.6451/(XA0.6451+XB0.6451+XC0.6451);ZC=Z*XC0.6451/(XA0.6451+XB0.6451+XC0.6451);SA=ZA+WAB+WBCA;SB=ZB+WBCB;SC=ZC;总费用方案三求解：XA=4.5;XB=2.5;XC=6;YAB=20;YBC=40;P1=82.06*XA0.6451;P2=82.06*XB0.6451;P3=82.06*XC0.6451;P12=82.06*(XA+XB)0.6451+0.5452*XA0.6022*YAB;P13=82.06*(XA+XB)0.6451+0.5452*XA0.6022*(YAB+YBC);P23=82.06*(XB+XC)0.6451+0.5452*(XA+XB)0.6022*Y2;S1=P1+P2+P3;S2=P12+P3;S3=P13+P2;S4=P23+P1;S5=82.06*(XA+XB+XC)0.6451+0.5452*XA0.6022*YAB+0.5452*(XA+XB)0.6022*YBC;SA=S5*9/26;SB=S5*5/26;SC=S5*12/26;总费用方案四求解：XA=4.5;XB=2.5;XC=6;YAB=20;YBC=40;P1=82.06*XA0.6451;P2=82.06*XB0.6451;P3=82.06*XC0