第一章行列式.doc

9线性代数辅导 行列式【基本要求】 1. 理解n阶行列式的定义，掌握行列式的性质。 2. 熟练掌握行列式的计算方法。3. 掌握克莱姆法则。【主要内容】重要公式：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.9.范德蒙行列式：主要知识网络图：概念 性质 行列互换，行列式值不变，即行列式与其转置行列式相等。互换两行（列），行列式值变号。某行（列）有公因数，可提到行列式之外。某行（列）的k倍加到另一行（列）上去，行列式值不变。 行列式某行（列）的所有元素均为两项之和，则行列式可拆成两行列式之和。若行列式有两行（列）对应成比例，则值为零。行列式某行元素与另一行对应的元素的代数余子式乘积之和为零。计算 三角化、递推法、加边法、公式法、拆项法应用 Grame法则 奇次线性方程组有非零解的充分条件【典型例题】计算以数值为元素的行列式，一般的方法是利用行列式的性质把某一行（列）的元素尽量多化出一些零，然后再按该行（列）展开，降低阶数计算；或者是利用行列式的性质把行列式化为一些特殊形式的行列式，如上（下）三角形行列式、范德蒙行列式等。但是以字母为元素的行列式就比较复杂了，这里根据行列式的特殊类型介绍几种最常用的方法。 1. 按某行（列）展开行列式 例1 计算 解: 按第一列展开 2. 化为上（下）三角形行列式计算 例2 计算n阶行列式 解: 把的各列加到第1列上去得3. 递推法 例3 计算 解: 按第一行展开得 (1) 设 (2)比较（1）与（2）系数得，所以或 。分别代入（2）得（3）其中，消去（3）中得 4. 用范德蒙行列式计算 例4 计算 解: 此式不是范德蒙行列式. 将第+1行，第行，第2行分别向上与相邻行交换次，-1次，1次，共交换了次；将列也作同样的变换。这样一共交换了次，即偶数次，得 由范德蒙行列式的计算公式得5. 拆为多个行列式的和例5 计算 解:利用性质3把行列式拆为两个行列式的和（最后一列拆项）+等号右边第一个行列式按最后一列展开，第二个最后一列提出后，第列减去最后一列的倍（），即得=+=+=例6计算n阶行列式 解: 先对的第1列提出公因数a1，然后将第j列减去第1列的aj倍(j=2,3,n)，即得例7利用矩阵与行列式的关系计算解：令原式=|A|，因为 故，得。再比较两边的系数，取正号，则。例8计算n阶行列式 (其中n是奇数)解：先把转置为，再对Dn的每一行提取公因子1，得【自我练习及解答】习题：计算下列行列式：1. 2. 3. 4. 5. 已知，求 6. 7. 8. 9. 10. 证明11解关于x的方程 答案与提示:1. 0； 2. 154 ； 3. ；4. 提示：第一行减第二行，第三行减第四行，然后提取公因子； 5. 1 ； 6.提示：将第二、三、四列全加到第一列，提取公因子后第一列加上第二列，再减去第三列与第四列，再提取公因子即可算出结果。7. 8.将第n列加到n1列；将新的n1列加到n2列；将新的第2列加到第1列。则得一上三角行列式，其值为； 9. 1 ；10.提示：从D的第2行开始，每行乘以-1加到前一行上去，然后再按第一列展开，整理后，再从第1行开始，每行都减下一行即可证明。11.由行列式的定义可知，方程左边这个