芜湖一中研究性学习课题论文——递推数列问题的研究.doc

芜湖一中研究性学习课题论文递推数列问题的研究研究目的：探究如何解决递推数列问题，主要研究通过递推公式求通项公式的各种类型问题研究计划：确定探究对象及探究方向 查找资料，以及相关文献 整理资料，并确定主要论述的问题 完成论文研究成果形式：论文 制作人：高二（14）班江翔宇 引子这是印度的一个古老传说，舍罕王打算重赏象棋发明人宰相达依尔。这位聪明的大臣跪在国王面前说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，用这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍。陛下，把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”“爱卿，你所求的并不多啊。”国王说道，心里为自己对这样一件奇妙的发明赏赐的许诺不致破费太多而暗喜。“你当然会如愿以偿的，”国王命令如数付给达依尔。计数麦粒的工作开始了，第一格内放粒，第二格内放粒第三格内放粒，还没有到第二十格，一袋麦子已经空了。一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。但是，麦粒数一格接一格飞快增长着，国王很快就看出，即便拿全印度的粮食，也兑现不了他对达依尔的诺言。原来，所需麦粒总数这个数究竟有多大？折合成质量究竟是多少呢？首先需要的就是对上式求和，而对上式求和首先要做的，就是通过递推公式求出通项公式，也就是下文我们要探讨的问题。数列是中学数学中一个非常重要的内容，也是高考和数学竞赛的重要组成部分。数列大体上讨论两种问题：一是求数列的通项公式；二是数列求和问题。本文就以第一类问题为侧重点，介绍处理数列递推问题的常见方法、常见思想。首先，我们先给出数列的定义： 按照一定规律排列的一列数称为数列例如：1. 按照从小到大顺序排列，从1开始的全体自然数1，2，3，4，5， （1）称为自然数列。2.按照从小到大的顺序排列，从2开始的全体正偶数2，4，6，8，10， （2）称为正偶数数列。3. 按照从小到大的顺序排列，从1开始的全体正奇数1，3，5，7，9， （3）称为正奇数数列。4. 按照从小到大的顺序排列，从2开始的全体正素数2，3，5，7，11， （4）称为素数数列。5. 按照从小到大的顺序排列，从1开始的全体平方数1，4，9，16，25， （5）称为平方数数列。6. 按照从小到大的顺序排列，从1开始的全体自然数的倒数1， （6）称为倒数数列。数列中的数，称为数列中的项，第n个数称为第n项。第一个数也称为首项。对于一个数列，如果我们想研究它的性质，我们希望知道它的项是由哪些数组成？这些书是怎样排列的？对于上面的数列，有些我们可以很明白的知道这些答案。但如果仔细推敲，对于（4）还存在疑问：给定一个自然数，如何判定它是否其中的项呢？如果给定其中一项，那我们又如何确定它是第几项呢？这些关于素数的问题是非常深奥的，自此我就不再累述了。定义数列还有两种常用方式。一是给出它的通项。上面的数列（1）（2）（3）（5）（6）的通项分别为一个数列，可以记为，而表示的公式称为通项公式。除了给出通项外，一个数列也可以通过开始的几项及递推公式来确定，例如定义为：这个数列称为斐波那契数列。可以求出斐波那契数列的通项公式为我们接下来就来介绍如何通过递推公式来求通项公式。一、等比差数列递推关系式（注：以下）1.等差数列 （1） （2）由（1）（2）式得 以此类推 2.等比数列 （1） （2）由（1）（2）式得 以此类推 3.等比差数列 我们可以设递推公式为 可以解出 ，代入得 则 ， 进而得出 4.一次广义等比差数列 ，其中为的2次多项式 类比上题可设 解出使得 代入后，由等比差数列的方法求出 其中，使得5.多次广义等比差数列，其中为的次多项式 我们亦可以类比上面两例，使用待定系数法，再根据实际情况求出所需的通项公式，进而进一步解题。接下来，我们再来看一类利用待定系数法求解通项公式的问题特征根法。二、常系数线性递推关系式（注：以下）1. 常系数线性2阶齐次递推关系式 设存在实数，使得 比较原递推关系可得 是方程的两个根（我们称二次方程为常系数线性2阶递推数列的特征方程，是方程的特征根）（1） 特征方程有两个不同的根 从而可得 设，则上面两式可写为 ，从而 ， 即 两式相减，得设，则 这里为待定系数，可由初始值来确定反之，对任意常数，该通项公式满足递推关系。（2） 特征方程有两个相同的根，即在这种情况下，上面的从，得 把上面各式相加有 因为，故，记，则 反之亦真。 综上所述，我们可以得到这样的结论： 定理 如果是常系数2阶线性递推关系的特征方程的两个根，则（1） 当时，；（2） 当时，。这里都是由初始值确定的常数。2. 常系数线性k阶齐次递推关系式 我们在介绍此种关系式之前，首先先看一下什么是幂和式 一元幂和式 二元幂和式 三元幂和式 广义一元幂和式 广义二元幂和式 广义三元幂和式 很显然常系数线性2阶齐次数列的通项公式满足广义的二元幂和式。那么，如果一个数列的通项公式满足幂和式，它的递推关系又是什么呢？ 1 满足的递推关系式 2 满足的递推关系式 3 满足的递推关系式 4 满足的递推关系式 5 满足的递推关系式 6 满足的递推关系式 7 满足的递推关系式 8 ，是的常系数次多项式 其中，为以下个数 个，个，个 （*） 的基本对称多项式，亦即为（*）中任取m个数的乘积之和通过上面各式，我们可以发现常系数线性k阶齐次递推数列的通项公式很容易表示，我们可以得出：定理 如果k阶常系数线性齐次递推数列的特征方程 的全部根为（重），（重），（重），其中，且，则 其中，为次多项式。三、常系数线性分式1阶递推关系式（注：以下） 在这种递推关系下，我们将使用不动点法解决问题（我们称的根称为的不动点）。由于篇幅限制，就不再累述不动点的有关性质。有兴趣的朋友可以