第七章 多自由度系统的复模态理论基础.doc

第七章 多自由度系统的复模态理论基础7.1 概述当多自由度系统的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵都是实对称正定阵，且满足下列条件之一： （71）则在系统的主模态空间中，系统的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵是完全解耦的。当结构的阻尼矩阵可以假设为比例阻尼或者满足上面的解耦条件时，可以采用实模态理论进行振动分析，即用实模态构成的模态坐标变换式对方程进行坐标变换，使方程解耦后，采用模态叠加法进行动力学响应计算。但是对于一般的线性阻尼系统，系统的振动方程无法用实模态矩阵进行解耦。要仿照结构的实模态分析理论对结构用模态叠加法进行分析，就必须采用所谓的复模态理论在复模态空间来对结构进行解耦。本章介绍一种状态空间的复模态理论。 7.2复模态的概念线性多自由度有阻尼系统的自由振动方程为：（72）设其解为：（73）代入方程（72）得到：（74）矩阵称为系统的特征矩阵。方程（74）是一个“二次特征值”问题，要（74）式有非零解的充要条件为： （75）上方程是一个关于的次代数方程，有个特征根，通常都是复数，由于阻尼矩阵的正定性，而且由于质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵都是实数矩阵，一定具有负的实部，且共轭成对出现。与复特征值对应的特征矢量也都是共轭复数形式。每一对共轭复数特征根，都对应着系统中具有的特定频率与衰减率的一种衰减振动。假定系统无重特征值，则系统的各个特征运动可以表示为： （76）系统的个复模态复特征矢量，可以构成一个在系统位形空间的阶的矩阵，称为复模态矩阵： （77）由于系统在位形空间中的物理坐标只有个，而复模态却有个，所以不能用（77）的复模态矩阵对（71）中的进行坐标变换，来对方程（71）进行解耦。为了解决这个困难，我们将（71）式转换到状态空间：（78）其中： （79）（710）称为系统的状态变量，系统在状态空间的自由振动方程为： （711）设其特征解为： （712）代入方程（711），得到：（713）其特征方程为：（714）将的定义式代入： （715）即：（716）由于正定，所以有：（717）与（74）比较可知: （718）故（712）式可以写为：（719）又因为：（720）所以有：（721）即在状态空间中，对应于复特征根的特征向量为：（722）它被定义为系统在状态空间中的第阶复模态。7.3复模态的正交性及其归一化对应于复特征对，系统的特征方程分别为：（723）（724）用左乘（723）式，并用左乘（724）式并转置得到：（725） （726）上两式相减得到：（727）由此得到复模态对和的加权正交关系如下：当（728）当时，则有： （729）且有（730）而： （731）令： （732）并将（731）式做为复模态的归一化条件，为第r阶归一化复模态。显然，对于阵有：（733）7.4求解振动响应的复模态叠加法与实模态分析相同，利用系统在复模态空间中的复模态矩阵：（734）对状态向量进行模态坐标变换；（735）将（735）代入（78），并前乘得到个完全解耦的方程： （736）其中， （737）或写成： （738）因为： （739）所以： （740）而： （741）在零初始条件下，（740）的解为：（742）因为： （743）其中，