第四章 中值定理与导数的应用答案.doc

第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用 一 填空题一 填空题 1 2 3 1 2 2 3 3 4 3 恒为零 3 4 15 4 5 6 7 a 2 2 0 2 2 1 1 1 1 2ln 1 2ln 1 0 x f 30 b 85 8 必要 9 00 xfx 4 3 4 7 10 1 11 0 12 e 1 13 e 1 14 3 0 二 选择题二 选择题 1 A 2 B 3 D 4 C 5 C 6 D 7 A 8 D 9 B 10 D 11 B 12 A 13 B 14 A 15 B 三 基本计算三 基本计算 一 用洛必达法则求下列极限 1 1 2 2 1 1 3 3 4 4 5 5 1 1 6 6 1 1 7 7 8 9 1 10 8 1 2 1 2 1 2 e 3 1 2 1 11 12 13 1 14 15 16 17 18 5 3 2004 af af e n aaa 21 a2 1 2 1 e 2 1 二 极值 拐点 单调区间 凹凸区间 1 的极大值为4 极小值为 最大值为 200 最小值为 xf 2 f0 0 f xf50 2 在取得极大值 10 在处取得极小值 f x1x 3x 22 3 处取得极大值 2 在处取得极小值 2x 10 x 2 4 极大值 21 f 5 单调增加 在单调减少 3 1 3 1 6 为极大值点 3 2 x 7 在上单调增加 在上单调减少 在上单调增加 3 2 1 3 2 1 8 在是凸的 在是凹的 点是拐点 y 0 2 3 aey 2 3 ae 2 3 2 3 2 3 e ae 9 曲线的凹区间为 凸区间为 拐点为 2 1 2 1 6 65 2 1 10 凹区间为 凸区间为 拐点为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ee 11 是凹的 是凸的 拐点是 2 3 e 0 2 3 e 2 3 3 2 3 ee 12 是最小值 没有最大值 27 3 y 13 在上函数的最大值为 1 5 4 5 4 3 y 14 处取得最小值 在处取得最大值3x 3 23f 4x 4 142f 四 综合计算四 综合计算 一 一 洛必达法则 1 1 2 lim 2 lim 2 lim 00 2 0 xf hxfhxf h hxfhxf h xfhxfhxf hhh 2 2 0 2 lim h xfhxfhxf h lim 2 1 0 xf h xfhxf h xfhxf h 2 连续 二 极值 拐点 单调区间 凹凸区间 1 由 由极限的保号性定理知 在2 2 1 0 lim cos1 lim 2 00 x fxf x xf xx 01 0 lim 2 0 x fxf x 的邻域内 故在 x 0 处取极小值 0 x0 0 0 0 2 fxf x fxf xf 2 3 2 3 ba 2 3 c 3 2 9 2 3 ba 4 4 9 4 3 4 3 4 1 23 xxxxf 三 证明不等式 1 提示 应用拉格郎日中值定理 tan ttf 2 在区间上应用格郎日中值定理 tf 0 x 3 取对数然后利用单调性 4 连续应用单调性 5 利用最大值 xx xexfxexxf 1 1 令 6 设 在区间上应用拉格郎日中值定理 ln 1f tt 0 x 四 中值定理 1 证明等式 2 1 arctan1arcsin 2 2 x x x 2 xfexF x 3 设 x xf xF 4 设 xfexF x 5 x xf xF 五 应用题 最值问题 1 1 2 2 每月每套租金为 350 元时收入最高 六 提高题 1 1 1 时没有实根 2 2 时有两个实根 3 3 时只有一个实根 e a 1 e a 1 0 e a 1 ex 2 设 xfexF 3 且不恒为常数 故至少存在一点 使得 不妨设 bfaf xf bac bfafcf 由拉格朗日定理 至少存在一点使得 bfafcf baca 0 ac afcf f 4 设 则在上连续 在内可导 且 由罗尔定理知 1 xfxfxF xF 1 0 1 0 0 1 0 FF 至少存在一点使得 即 故有 1 0 0 F0 1 1 ffff 1 1 f f f f 5 设 在应用拉格朗日定理的条件 再令 同样应用拉格朗日定理 xfexF x ba x ex 6 1 考虑函数 由罗尔定理知 存在 使得 dxcxbxaxxF 234 1 0 0 F 2 因为 所以保持定号 在 0 1 内cbxaxxFxf2612 2 acb83 2 xf xf 只有一个根 7 设 则在 0 1 上连续 在 0 1 内可导 且xax