第6讲[1].综合应用题.教师版.doc

第六讲：综合应用题教学目标1、 本讲主要学习归一及归总问题；2、 通过本节课的学习，学生应了解归一及归总问题的类型，以及解决归一及归总问题的一般方法；3、 掌握归一及归总问题的基本关系式，并会将这种方法应用到一些实际问题中.4、 封闭与非封闭植树路线的讲解及生活运用。知识精讲一、归一归总问题（1）归一问题归一问题是一类典型应用题，这类问题是用等分除法求出一个单位的数值(单一量)之后，再求出题目所要求解的问题，解答归一问题的方法叫做归一法。归一问题可以分为两种：一种是求总量的，求出一个单位量之后，然后利用乘法求出结果，这种问题叫做正归一问题（也称正归一）；另一种是求份数的，求出一个单位量后，再用包含除法求出所求的结果，这类问题叫做反归一问题（也称反归一）。归一问题的基本关系式：总工作量每份的工作量(单一量)份数 (正归一)份数总工作量每份的工作量(单一量) (反归一)每份的工作量(单一量) 总工作量份数（2）归总问题与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出“单一量”，而归总问题是找出“总量”，再根据其它条件求出结果所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总价等二、植树问题一、植树问题分两种情况，不封闭与封闭路线。不封闭的植树路线. 若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.全长、棵数、株距三者之间的关系是：棵数段数全长株距 如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为：全长株距棵数； 如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比中还少1棵.棵数段数全长株距.封闭的植树路线.在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数.棵数段数周长株距.例题精讲板块一、非封闭的植树问题【例 1】 马路的一边，相隔8米有一棵杨树，小强乘汽车从学校回家，从看到第一棵树到第153棵树共花了4分钟，小强从家到学校共坐了半小时的汽车，问：小强的家距离学校多远？【解析】 第一棵树到第153棵树中间共有153-1=152（个）间隔，每个间隔长8米，所以第一棵树到第153棵树的距离是：1528=1216（米），汽车经过1216米用了4分钟，1分钟汽车经过：12164=304（米）,半小时汽车经过：30430=9120（米），即小明的家距离学校9120米.【巩固】 马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少千米？【解析】 张军5分钟看到501棵树意味着在马路的两端都植树了；只要求出这段路的长度就容易求出汽车速度.解：5分钟汽车共走了： (米)，汽车每分钟走：(米)， 汽车每小时走： (米)(千米) 列综合式： (千米)【例 2】 一位老爷爷以匀速散步，从家门口走到第11棵树用了11分钟，这位老爷爷如果走24分钟，应走到第几棵树？（家门口没有树）【解析】 从家门口走到第11棵树是走了11个间隔，走一个间隔所用时间是：1111=1（分钟），那么走24分钟应该走了：241=24（个）间隔，所以老爷爷应该走到了第24棵树.【例 3】 晶晶上楼，从第一层走到第三层需要走36级台阶如果从第一层走到第六层需要走多少级台阶?(各层楼之间的台阶数相同)【解析】 题意的实质反映的是一线段上的点数与间隔数之间的关系线段示意图如下：解：每相邻两层楼之间有多少级台阶?(级)从第一层走到第六层共多少级台阶?(级)【巩固】 丁丁和爸爸两个人比赛跑楼梯，从一层开始比赛，丁丁到四层时，爸爸到三层，如此算来，丁丁到16层时，爸爸跑到了几层？【解析】 丁丁实际跑了三层的距离，爸爸跑了两层的距离，到16层需要跑15层的距离，所以丁丁跑了（个）三层的距离，爸爸同时跑了5个两层的距离所以爸爸跑到了（层）【例 4】 裁缝有一段16米长的呢子，每天剪去2米，第几天剪去最后一段？【解析】 如果呢子有2米，不需要剪；如果呢子有4米，第一天就可以剪去最后一段，4米里有2个2米，只用1天；如果呢子有6米，第一天剪去2米，还剩4米，第二天就可以剪去最后一段，6米里有3个2米，只用2天；如果呢子有8米，第一天剪去2米，还剩6米，第二天再剪2米，还剩4米，这样第三天即可剪去最后一段，8米里有4个2米，用3天，我们可以从中发现规律：所用的天数比2米的个数少1因此，只要看16米里有几个2米，问题就可以解决了16米中包含2米的个数：（个）剪去最后一段所用的天数：（天），所以裁缝第7天剪去最后一段【例 5】 有一根 180厘米长的绳子，从一端开始每3厘米作一记号，每4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断，绳子共被剪成了多少段？【解析】 每3厘米作一记号，共有记号： （个） 每4厘米作一记号，共有记号： （个） 其中重复的共有： （个） 所以记号共有： （个） 绳子共被剪成了： （段）【巩固】 大头儿子和小头爸爸一起攀登一个有300级台阶的山坡，爸爸每步上3级台阶，儿子每步上2级台阶，从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少级不同的台阶？【解析】 大头儿子踏过的台阶数是：（级），小头爸爸踏过的台阶数是（级），父子俩每（级）台阶要共同踏1级台阶，共重复踏了（级），所以父子俩共踏了：（级）【例 6】 同学们做操，小林站在左起第列，右起第列；从前数前面有个同学，从后数后面有个同学每行每列的人数同样多，做操的同学一共有多少人？【解析】 带领学生画图求解一共有几行？列式：（行） 一共有几列？列式：（列） 一共有多少人？列式：（人）【巩固】 一群小猴排成整齐的队伍做操，长颈鹿站在队伍旁边，一下子看到了他的好朋友金丝猴长颈鹿数了数，金丝猴的左边有只猴，右边也有只猴，前面有只猴，后面也有只猴小朋友，你能算出有多少只猴子在做操吗？【解析】 一共有多少行？列式：（行） 一共有多少列？列式：（列） 一共有多少只猴子？（只）【例 7】 北京市国庆节参加游行的总人数有60000人，这些人平均分为25队，每队又以12人为一排列队前进排与排之间的距离为1米，队与队之间的距离是4米，游行队伍全长多少米？【解析】 这道题仍是植树问题的逆解题，它与植树问题中已知树的棵数，树间的距离，求树列的全长相当逆解时要注意段数比树的棵数少1所以，每队的人数是： (人) 每队可以分成的排数是：(排) 200排的全长米数是： (米) 25个队的全长米数是： (米) 25个队之间的距离总米数是：(米) 游行队伍的全长是： (米)【巩固】 一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共辆，每辆车长米，前后每辆车相隔米。这列车队共排列了多长？如果车队每秒行驶米，那么这列车队要通过米长的检阅场地，需要多少时间？【解析】 车队间隔共有(个)，每个间隔5米，所以，间隔的总长为(米)，而车身的总长为(米)，故这列车队的总长为(米)由于车队要行(米)，且每秒行2米，所以车队通过检阅场地需要，(秒)6分40秒【例 8】 学而思学校三年级运动员参加校运动会入场式，组成的方块队(即每行每列都是6人)，前后每行间隔为2米他们以每分钟40米的速度，通过长30米的主席台，需要多少分钟？【解析】 通过下表理清解题思路 方块队通过主席台需要多少分钟？通过的路程总长方块队行进的速度(40米分钟) 方块队长+主席台长(30米)？运用植树问题的逆解思路，即前后每行间隔长间隔数=方块队长方块队长： (米)，方块队通过主席台行进路程总长：(米)，方块队通过主席台需要：(分钟)，综合算式：(分钟)【巩固】 有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站，全程要15分钟有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站，他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站，在路上，他又遇到了10辆迎面开来的电车才到达甲站，这时候，恰好又有一辆车从甲站开出，问：他从乙站到甲站用了多少分钟？【解析】 这个人前后一共看见了12辆电车，每两辆车的间隔是5分钟，开出12辆电车共有（个）间隔，这样可以计算出从第1辆电车开出到第12辆电车开出所用的时间，共经了（分钟），由于他出发的时候，第1辆电车巳到达乙站，所以这个人从乙站到甲站用了（分钟）板块二、归一问题 【例 9】 3名工人5小时加工零件90个，要在10小时完成540个零件的加工，需要工人多少名？【解析】 (方法一)3名工人5小时加工零件90个，就是说每人每小时加工（个），那么一 个人10小时可以加工个，540个零件在10小时做完就需要(人)(方法二)3名工人5小时加工零件90个，假设在时间相同的情况下3名工人10小时加工零件180个零件，要完成540个零件用倍比的思想，540个零件是180的3倍，时间相同，完成零件的数量是3倍，那么工人也是3倍的关系，(人)【巩固】 某车间用4台车床5小时生产零件600个，照这样算，增加3台同样的车床后，（1）8小时可以生产多少个零件？（2）如果要生产6300个零件几小时可完成？【解析】 此题要求的两个问题都需知1台1小时生产的零件数，因条件中有小时和台数两个量，需用“两次归一”，即先求出4台1小时生产多少，再求1台1小时生产多少。60054（43）830781680（个）630060054（43）630030730（小时）答：（1）8小时可以生产1680个零件。（2）如果要生产6300个零件30小时可以完成。【巩固】 7辆“黄河牌”卡车6趟运走336吨沙土现有沙土560吨，要求5趟运完，求需要增加同样的卡车多少辆？【解析】 (方法一)要想求增加同样卡车多少辆，先要求出一共需要卡车多少辆；要求5趟运完560吨沙土，每趟需多少辆卡车，应该知道一辆卡车一次能运多少吨沙土一辆卡车一次能运沙土：(吨)；560吨沙土，5趟运完，每趟必须运走：(吨)；需要增加同样的卡车：(辆)(方法二)在求一辆卡车一次能运沙土的吨数时，可以列出两种不同情况的算式： ，.算式先除以6，先求出7辆卡车1次运的吨数，再除以7求出每辆卡车的载重量；算式，先除以7，求出一辆卡车6次运的吨数，再除以6，求出每辆卡车的载重量在求560吨沙土5次运完需要多少辆卡车时，有以下几种不同的计算方法：(辆) (其中112是所需的卡车一趟运走的吨数)(辆) (其中70是运走560吨沙土需要的车次)(辆) (其中40是一辆卡车5次运走的吨数)【巩固】 4辆大卡车运沙土，7趟共运走沙土336吨现有沙土420吨，增加了3辆相同的卡车，问：几趟可以运完？【解析】 1辆卡车1趟运沙土：(吨)，现在有(辆)卡车，需要(趟)就可以运完【巩固】 王奶奶家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头奶牛12天可生产牛奶多少千克？【解析】 以1头奶牛1天产的牛奶为单一量，1头奶牛1天产奶：(千克)，8头奶牛1天产奶：(千克)，8头奶牛12天产奶：(千克)。 【例 10】 花果山上桃树多，5只小猴分200棵.现有小猴60只，按刚才的分法分后还余90棵，请算出桃树有几棵？【解析】 每只小猴分：(棵)，现在一共分：(棵)，一共有桃树：(棵)【例 11】 一列火车从甲地开往乙地，开出2.5小时，行了150千米。照这样的速度，再行驶3小时到达乙地。甲、乙两地相距多少千米？【解析】 先求火车每小时行多少千米，再求共行了几小时，最后求出共行了多少千米（即甲、乙两地距离）。火车每小时行多少千米：1502.5=60（千米）火车共行了多少小时：2.5+3=5.5（小时）甲乙两地相距多少千米：605.5=330（千米）综合算式： 1502.5（2.5+3）=1502.55.5=605.5=330（千米）。【例 12】 10辆小车和3辆卡车一次运货32吨，15辆小车和3辆卡车一次运货42吨每辆卡车和每辆小车每次各运货多少吨？【解析】 摘录条件：10辆小车3辆卡车32吨 15辆小车3辆卡车42吨比较条件，看看什么量变了，什么量没变，两个变化的量之间的关系是什么？从对应量的变化，可以看出吨正好与辆小车的载重量相对应，因此每辆小车每次可以运货：(吨)，那么每辆卡车每次可以运货4吨其实这就是二元一次方程的思想【巩固】 30辆小车和3辆卡车一次运货75吨，45辆小车和6辆卡车一次运货120吨.每辆卡车和每辆 小车每次各运货多少吨？【解析】 摘录条件： 30辆小车+3辆卡车75吨 45辆小车+6辆卡车120吨 比较条件，转化为： 60辆小车+6辆卡车150吨 45辆小车+6辆卡车120吨从对应量的变化，可以看出（）吨正好与（）辆小车的载重量相对应，因此每辆小车每次可以运货吨，那么每辆卡车每次可以运货吨.【巩固】 学校买来一些足球和篮球.已知买3个足球和5个篮球共花了281元；买3个足球和7个篮球共花了355元.现在要买5个足球、4个篮球共花多少元？【解析】 要求5个足球和4个篮球共花多少元，关键在于先求出每个足球和每个篮球各多少元.根据已知条件分析出第一次和第二次买的足球个数相等，而篮球相差(个)，总价差(元).74元正好是两个篮球的价钱，从而可以求出一个篮球的价钱，一个足球的价钱也可以随之求出，使问题得解列式为： 一个篮球的价钱：(元） 一个足球的价钱：(元) 共花多少元？(元)【巩固】 妈妈买了2斤苹果，4斤菠萝，花去14元；爸爸买了3斤苹果，2斤菠萝，花去13元；那么1斤苹果，1斤菠萝各多少钱？【解析】 1斤苹果3元，1斤菠萝2元板块二、归总问题【例 13】 有20人修筑一条公路，计划15天完成动工3天后抽出5人植树，留下的人继续修路如果每个人的工作效率不变，那么修完这段公路实际用多少天？【解析】 有20人修筑一条公路，计划15天完成，说明这条公路的总工作量有：人次，动工3天后抽出5人植树，20人修3天完成了人次，那么总工作量还剩下人次，这些剩下的工作给15人做，每人就还需要工作（天），这样，实际工作就有（天）【巩固】 修一条公路，原计划60人工作，80天完成现在工作20天后，又增加了30人，这样剩下的工作再用多少天可以完成？【解析】 修完这条公路共需要：(个)劳动日，60人工作20天后，还剩下：(个)劳动日，剩下的工作又增加30人，也就是90人需要再用：（天）【巩固】 光明小学有50个学生帮学校搬砖，要搬2000块，4次搬了一半。照这样算，再增加50个学生，还要几次运完？【解析】 先求出每个学生每次运的砖数: (块).再求出现在的学生一次过运的砖数: (50+50)5=500(块).最后求出还要运的次数: (次).简便方法: 4(50+50)50=2(次)。【例 14】 学校买来一批粉笔，原计划18个班可用60天，实际用45天后，有3个班外出了，剩下的粉笔够用多少天？【解析】 剩下的粉笔18个班可用（天），现在有（个）班级，可用的天数为：（天）【巩固】 某厂运来一批煤，计划每天用5吨，40天用完，如果改进锅炉，每天节约1吨，这批煤可以用多少天？【解析】 从“计划每天用5吨，40天用完”中，可求出煤的总吨数，把总吨数除以改进锅炉后每天用煤量，可得用煤天数。540（51）200450（天）答：这批煤可以用50天。【例 15】 某工程队预计30天修完一条水渠，先由18人修了12天后完成工程的一半，如果要提前9天完成，还要增加多少人？【解析】 18人修12天水渠共：个劳动日，故总工程量为个劳动日，还剩216个劳动日，现需（天）完成，故需（人），所以还需补6人【例 16】 小红生病住院了，为了祝她早日康复，三(一)班和三(二)班一起为她叠千纸鹤两个班的同学3天一共叠了2400只千纸鹤，现在两个班级的同学同时开始叠，在相同的时间内，三(一)班叠了2430只千纸鹤，三(二)班叠了2370只千纸鹤那么三(一)班和三(二)班每天各叠多少只千纸鹤？【解析】 （方法一)三(一)班和三(二)班每天共叠千纸鹤：(只)，“相同时间”是：(天)，三(一)班每天叠的个数：(只)，三(二)班每天叠的个数：(只)(方法二)这道题的已知条件可以分两层第一层：两个班的同学3天一共叠了2400只千纸鹤，第二层：在相同的时间内，三(一)班叠了2430只千纸鹤，四(二)班叠了2370只千纸鹤.由这两个条件可以求出在相同的时间内，两个班共叠千纸鹤(个)；叠2400只用3天，叠4800只用几天呢？先求出4800是2400的几倍，也一定是3天的几倍，即“相同时间”“相同时间”是：(天)，三(一)班每天叠的个数：(只)，三(二)班每天叠的个数：(只)【巩固】 甲、乙两个打字员4小时共打字3600个现在二人同时工作，在相同时间内，甲打字2450个，乙打字2050个求甲、乙二人每小时各打字多少个？【解析】 (方法一)甲、乙二人每小时共打字：(个)；“相同时间”是：(小 时)；甲打字员每小时打字的个数：(个)；乙打字员每小时打字的个数：(个)(方法二)这道题的已知条件可以分两层.第一层，甲乙二人4小时共打字3600个；第二层，在相同时间内甲打字2450个，乙打字2050个.由这两个条件可以求出在相同的时间内，甲乙二人共打字 (个)；打字 3600个用4小时，打字4500个用几小时呢？先求出4500是3600的几倍，也一定是4小时的几倍，即“相同时间”“相同时间”是：(小时)；甲每小时打字：(个)；乙每小时打字：(个)【例 17】 甲、乙、丙三人在外出时买了8个面包，平均分给三个人吃甲没有带钱，乙付了5个面包的钱，丙付了3个面包的钱后来，甲带来了他应付的四元八角钱，请问，应还给乙、丙各多少钱？【解析】 由已知条件可知，甲要付出的钱是4元8角，即48角因为甲没有带钱，而三个人吃的面包一样多，可知乙、丙都应付48角这样三个人应付的总数是3个48角，正好是8个面包的总价这样就可以求出面包的单价，同时也可求出乙付的5个面包与丙付的3个面包的钱最后以每人应付的48角为标准，多付的就是应收回的钱即：8个面包的总价是：(角)面包的单价是：(角)乙应收回的钱是：(角)元2角丙应收回的钱是：(角)【例 18】 某车间需要加工3960个零件，3个工人10小时加工了1320个，其余的要求在15小时内完成，需要增加多少个工人？【解析】 每个工人每小时加工：（个），现在还剩下：（个）零件，15小时内完成需要工人（个），即需要增加1个工人【巩固】 5台拖拉机24天耕地12000公亩要18天耕完54000公亩土地，需要增加同样拖拉机多少台？【解析】 1台拖拉机1天耕地：(公亩)，18天耕完54000公亩土地需要拖拉机：(台)，需要增加 (台)拖拉机【例 19】 某工厂一个车间，原计划20人4天做1280个零件，刚要开始生产，又增加了新任务，在工作效率相同的情况下，需要15个人7天才能全部完成，问增加了多少个零件？【解析】 要求增加了多少个零件，只需先求出每人每天生产多少个零件，然后求出15个人7天生产的零件数，最后用它减去1280个零件就可得出所要求的问题。（1）每人每天生产的零件数1280204=16（个）（2）15人7天生产的零件数16157=1680（个）（3）增加的零件数1680-1280=400（个）综合算式（1280204）157-1280=16157-1280=1680-1280=400（个）答：增加了400个零件【巩固】 光华机械厂一个车间，原计划15人3天做900个零件。生产开始后，又增加一批任务，在工作效率相同下，要10个人8天完成。问增加了几个零件?【解析】 先求出每个人每天做的个数: 900153=20(个).再求出共做的个数: 20108=1600(个).最后求出增加的个数: 1600-900=700(个).【例 20】 姐妹二人在同一环境中学习，妹妹勤学，学一知三姐姐懒惰，学三忘二，请你算算妹妹在6年间所学懂的知识，姐姐需要多少年才能学懂？【解析】 已知妹妹学一知三，她用6年所学懂的知识由学一知一的人来学，需要 (年)姐姐学三忘二，也就是学三知一，学一知一的人一年所学懂的知识姐姐来学，需要(年)，所以学一知一的人18年所学懂的知识姐姐来学，需要(年)也就是妹妹6年学懂的知识，姐姐需要54年才能学懂课后练习练习1. 校门口放着一排花，共盆从左往右数茉莉花摆在第，从右往左数，月季花摆在第， 一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间算一算，一串红花一共有多少盆？【解析】 从左往右数茉莉花摆在第，那么从右往左数茉莉花就是第：（盆）花，从右往左数，月季花摆在第，从左往右数月季花就是第：（盆）花，一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间，一串红花一共有：（盆）练习2. 有三根木料，打算把每根锯成3段，每锯开一处需用3分钟，全部锯完需要多少分钟?【解析】 求锯的次数属植树问题思路一根木料锯成了3段，只要锯次，锯3根木料要次，问题随之可求 解：一根木料要锯成3段，共要锯多少次? (次) 锯开三根木料要多少次? (次) 锯三根木料要多少时间? (分钟) 综合算式：(分钟) 或(分钟)练习3. 有A、B、C三种货物，甲购A物3件、B物5件、C物1件付款20元；乙购A物4件、B物7件、C物1件付款25元；丙购A、B、C三种货物各1件，应付多少元？【解析】 摘录条件：（1）3 A + 5 B +1 C = 20 （2）4 A + 57B +1 C = 25（2）（1）可得条件（3）：1 A+ 2 B = 5 ；（3）2可得条件（4）：2 A + 4 B = 10 ；（1） （4）可得：1A + 1 B +1 C = 10 （元）。练习4. 家具厂生产一批桌椅，原计划每天生产30套，12天完成实际只用原来时间的一半就完成了任务，那么实际每天比计划多生产多少套？【解