三维表面粗糙度测量中的高斯递归滤波算法.doc

第xx卷第x期 VoxxxNo.x xxxx年x月 三维表面粗糙度测量中的高斯递归滤波算法【摘要】基于中心极限定理，提出了一个高斯滤波器逼近模型，并利用冲激响应不变法设计了一个数字高斯滤波器。通过级联方法，该滤波器的幅度传输特性偏差可控制在(-0.28%+1.14%)以内，扩展为二维高斯滤波器，其三维幅度传输特性偏差可控制在(-0.42%+1.12%)以内。该滤波器采用递归实现算法，算法简便，易于实现。在递归算法的基础上，引入一种边缘初始值的预测方法，有效抑制了递归算法的边缘效应。实验结果表明：该滤波器能够稳定可靠地提取三维表面参考面，在普通计算机上处理20002000点的三维采样数据仅需要7s，效率很高。关键词：计量学；表面粗糙度；二维高斯滤波器；边缘效应 中图分类号：TP2 文献标识码：A Gaussian Recursive Filtering Algorithm to 3D Surface Roughness Measurement AbstractBased on the central limit theorem, an approximation model of Gaussian filter is put forward. Then, a digital Gaussian filter is designed by combination with impulse invariant transformation and this model. Through the cascaded use, the amplitude transmission deviation of this filter can be controlled within (-0.28%+1.14%). When extended to a two-dimensional(2D) Gaussian filter, the deviation of three-dimensional(3D) transmission characteristic can be controlled within (-0.42%+1.12%). Its recursive algorithm is so simple that it is implemented easily. A method of forecasting the initial value of the edge is proposed to restrain the end effect caused by this recursive algorithm. Experimental results show that this filter can extract the reference surface of 3D surface stably and reliably, once extraction of 20002000 3D sampled data on a general computer only consumes 7s, efficiency is demonstrated.Key words：Metrology; Surface roughness; 2D-Gaussian filter; End effect 引言长期以来表面形貌的表征一直是二维的，即以扫描获得的轮廓线作为表征的基础。但随着表面分析的深入和光学仪器性能的提高，二维参数表征已不能满足工程界的要求，只有三维的检测和定量化计算才能对表面形貌进行完整的表征1。在二维表面测量中，中线(Mean Line)是轮廓评定的基准线，众多的表面特征参数与之有关2，他的确定是进行表面参数评定的基础。在三维表面测量中，首先需要确定的则是三维基准面(Reference surface)，有关三维表面参数评定的国际标准正在酝酿中3。二维中线和三维基准面的提取都是依靠滤波器完成的。国际标准曾经规定2RC滤波中线作为二维表面评定基准线，但由于2RC中线本身的非线性相移会扭曲滤波结果，最终被淘汰。1996年，ISO11562推荐高斯滤波器中线作为新的国际标准，时至今日，仍然被广泛采用4。高斯滤波的幅度特性是一个高斯函数，既要精确又要快速地进行高斯滤波并不是一件容易实现的事情。围绕着如何准确快速地实现国际标准中规定的传输特性，国际上众多学者进行了广泛的研究，继而出现了许多高斯滤波器的逼近算法和快速算法5-7。本文叙述了一种用高斯函数的逼近法和冲激响应不变法设计出的数字高斯滤波器，并给出了其零相移的递归滤波算法，算法简单，易于实现。但值得注意的是，由于采用递归的计算方法，其运算结果难免会出现边缘数据失真（也被称为边缘效应）。相对于二维表面评定，三维表面评定在x或y轴单方向上的采样点数要少得多，这是因为采样率过高，计算效率严重下降。正因为单方向上采样点数减少，所以就要尽量利用采样值，保留有效值点，这时，对于边缘数据点的处理显得更加重要。因此，本文还给出了一种预测边缘初始值的方法，在最小二乘的原则下抑制边缘失真，有效保留了边缘特征。1 高斯滤波器的逼近方法根据ISO115624，高斯滤波器的权函数和传输特性分别为：和 (1)其中是常数，为波长，是截止波长。，为采样间距，为采样点数，为截止波长内采样点数。高斯滤波器具有线性相位，而且当，高斯滤波器的传输特性为50%，所以=0.4697。对于高斯函数，可以由泰勒级数展开为。当时， (2)定义函数 (3)由中心极限定理可知，的级联可以逼近高斯函数，表示如下： (4)其中，为级联标识符。例如，时，式(4)为二阶级联，时，式(4)为十六阶级联。因为时的幅度传输特性为50%，所以 (5)对于单个逼近单元式(3)，由于且，所以 (6)将代入上式，得到 (7)极点为，只有在左平面，所以 (8)即为设计高斯逼近滤波器的模拟滤波器原型。3 IIR型高斯逼近滤波器对式(8)应用冲激响应不变法，设计IIR型数字滤波器8,9。得到如下： (9)其中，同样对应的z变换为 (10)由式(9)(10)的两个数字滤波器就可以构成零相移滤波器，有： (11)由，可得 (12)以式(11)(12)这样的零相移滤波器，经2n-1阶级联，就可构成IIR型高斯逼近滤波器。 (13)图1给出了一阶，四阶，八阶，十六阶高斯逼近滤波器的幅度传输特性图。可以看出，逼近滤波器的幅度传输特性随着级联阶数的增加逐渐逼于高斯滤波器。阶数越高，偏差越低，当采用十六阶级联时，其传输特性偏差仅为(-0.28%+1.14%)，接近1%，远小于ISO11562规定的高斯简化算法5%的传输偏差。图1 高斯滤波器与逼近滤波器幅度传输特性4 二维高斯滤波器二维表面测量是在单一轮廓曲线上评定表面特征参数，他包含的信息量少，不能综合反映表面特征。三维表面形貌测量是在一定区域中评定表面特征参数，能整体反映表面情况，更接近于真实情况。下面我们利用高斯逼近滤波器建立参考面。将一维高斯滤波器的权函数扩展到二维，就构成了三维表面形貌测量中的二维高斯滤波器。二维高斯滤波器的权函数如下 (14)其中lxc和lyc分别是x轴和y轴方向上的截止波长，当lx =lxc，ly=或ly =lyc，lx=时，二维高斯滤波器的幅度传输特性为50%，所以r=ln2/p3。由式(14)可以得到 (15)可以看出，二维高斯滤波器具有分离特性，他可以在x轴和y轴方向上分解成两个一维高斯滤波器，并且分别计算。两组一维逼近滤波器分别沿着x轴和y轴方向处理采样点，最终合成建立三维表面滤波的参考面。二维16阶高斯逼近滤波器的幅度传输特性如图2所示。图3给出了二维高斯逼近滤波器与二维高斯滤波器的幅度传输特性偏差，偏差范围为(-0.42%+1.12%)。图2 二维16阶高斯逼近滤波器幅度传输特性图3 二维16阶高斯逼近滤波器与高斯滤波器幅度传输特性偏差5 差分递归算法方程(13)是零相移的无限冲激响应(IIR)数字滤波器。设x(i)是输入序列，r(i)是中间计算结果，y(i)是滤波器的输出序列。则输入信号x(i)经过一级滤波后，将结果反序，再经过同一滤波器，就可以得到零相移滤波输出。方程(11)对应差分方程为： (16) (17)其中，N为评定长度上总的采样点数，i=1N。对于2n-1阶数字高斯逼近滤波器，就需要经过2n-1次式(16)(17)给出的两步递归运算。逼近滤波器的级联阶数越多，逼近精度越高，但计算时间也越长；反之，逼近精度降低，效率也就变高。由于具有零相移特性，因此滤波器结果不会出现相位失真。但由于采用递归算法，不可避免的要出现边缘失真。6 边缘效应的抑制边缘效应是存在于有限采样数据经过滤波器滤波后在数据边缘产生的数据失真10。在数据量充足的时候，边缘效应不会有很大影响，但需要测量边缘数据时，边缘效应就会影响轮廓评定。为此，给出一种边缘效应的抑制方法，改善滤波结果边缘，从而加大表面评定长度。研究式(16)的计算过程，产生边缘效应的主要因素在于，如果的初始值即给定理想值，在很大程度上能够抑制边缘效应。设 (18)其中，是零输入且不为零时，式(16)的滤波输出；而是输入不为零且的情况下，式(16)的滤波输出。可以利用最小二乘法来确定，即寻找到使式(19)最小的， (19)(1) 首先研究，设,，由式(16)可知， (20)(2) 研究，设，为待处理数据，由式(16)可知， (21)将式(20)和(21)代入到(19)中，并对建立导数为零的方程： (22)可得 (23)且。于是，由式(23)可以在最小二乘方式下确定初始值。同理，式(17)的计算也需要初始值，与确定初始值的方法相同，可以得到 (24)从而确定了。将式(23)确定的和式(24)确定的分别代入式(16)和式(17)中，即可有效地抑制高斯递归算法中的边缘效应。利用二维高斯逼近滤波器，对图4中给出的模拟三维表面轮廓进行滤波， 其中沿x轴和y轴的截止波长lxc和lyc分别设定为400T。在一台Intel Core(TM)2 E7400 2.8GHz且内存2G的微机上使用matlab编程运算，完成一次三维表面滤波基准面的提取耗时7s。滤波结果即三维表面滤波基准面如图5所示。可以看出，在滤波参考面的边缘部分，边缘效应很小，增大了评定范围，保留了有效数据。图4 原始表面数据图5 二维高斯逼近滤波器滤波基准面7 结 论利用高斯逼近函数与冲激响应不变法，构造出了用于表面粗糙度测量的IIR型数字高斯滤波器。当使用十六阶级联时，该滤波器的幅度传输特性偏差仅为(-0.28%+1.14%)，远小于国际标准推荐的高斯简化算法传输偏差，扩展为二维高斯滤波器，其幅度传输特性偏差也仅为(-0.42%+1.12%)。该滤波器采用两步递归算法实现，具有很高的计算效率，适用于三维表面测量。针对递归算法的边缘失真，给出了一种预测递归运算初始值的方法，他能在最小二乘准则下抑制边缘效应。实验表明，该滤波器不但能够稳定可靠地实现高斯滤波器滤波特性，还能有效抑制边缘效应，加大评定长度，在普通计算机上，对20002000点数据提取一次滤波基准面仅耗时7s，效率很高。参考文献1 冯秀, 顾伯勤. 表面形貌的研究现状及发展趋势. 润滑与密封. 2006, 174(2):960971.2 Whitehouse D J. Survey of reference Lines in the assessment of surface texture. Annals CIRP, 1972, 21(2): 267-273.3 曾文涵, 高咏生, 谢铁邦. 三维表面粗糙度高斯滤波快速算法. 计量学报. 2003, 24(1):10134 ISO 11562, Geometrical product specification (GPS) surface texture: profile method metrological characteristics of phase correct filters. 1996.5 Krystek M. A fast gauss filtering algorithm for roughness measurements. Prec Eng, 1996, 19(2): 599-601.6 Luo N L, Sullivan P J, Stout K J. Gaussian filtering of three dimensional engineering surface topography. Proc SPIE, 1993, 2101: 527-538.7 Yuan Y B, Qiang X F, Song J F, et al. A fast algorithm for determining the Gaussian filtered mean l