线面平行面面平行二面角.doc

习题精选精讲线面平行【直线与平面平行的判定】 定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 【判断直线与平面平行的方法】 （1）利用定义：证明直线与平面无公共点； （2）利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行； （3）利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。 【平面与直线平行的性质】 定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 此定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行。通过直线与平面平行可得到直线与直线平行。这给出了一种作平行线的重要方法。 注意：直线与平面平行，不代表与这个平面所有的直线都平行，但直线与平面垂直，那么这条直线与这个平面内的所有直线都垂直。 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行 线线平行”）1.已知直线平面，直线平面，平面平面=，求证分析： 利用公理4，寻求一条直线分别与a，b均平行，从而达到ab的目的可借用已知条件中的a及a来实现证明：经过作两个平面和，与平面和分别相交于直线和，平面，平面，又平面，平面，平面，又平面，平面平面=，又，所以，2已知：空间四边形中，分别是的中点，求证：证明：连结，在中，分别是的中点，3、如图（1），在直角梯形P1DCB中，P1D/BC，CDP1D，且P1D=8，BC=4，DC=4，A是P1D的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置（如图（2），使二面角PCDB成45，设E、F分别是线段AB、PD的中点. （I）求证：AF/平面PEC； 解：（I）如图，设PC中点为G，连结FG， 则FG/CD/AE，且FG=CD=AE，四边形AEGF是平行四边形AF/EG，又AF平面PEC，EG平面PEC，AF/平面PEC4 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.求证：PQ面BCE.证法一：如图9-3-4（1），作PMAB交BE于M，作QNAB交BC于N,连接MN,因为面ABCD面ABEF=AB,则AE=DB.又AP=DQ,PE=QB.又PMABQN,.PMQN.即四边形PMNQ为平行四边形.PQMN.又MN面BCE，PQ面BCE，PQ面BCE.证法二：如图9-3-4(2)，连结AQ并延长交BC或BC的延长线于点K，连结EK.ADBC,.又正方形ABCD与正方形ABEF有公共边AB，且AP=DQ，.则PQEK.EK面BCE，PQ面BCE.PQ面BCE.点拨：证明直线和平面平行的方法有：利用定义采用反证法；判定定理；利用面面平行，证线面平行.其中主要方法是、两法，在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线.5 如图1，在直角梯形ABCP中，APBC，APAB，AB=BC=AP=2，D为AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将PCD沿CD折起，使点P在平面ABCD内的射影为点D，如图2. （I）求证：AP平面EFG；解：由题意，PCD折起后PD平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，PD=2. （I）E、F、G分别为PC、PD、BC的中点.EFCD，EGPB.又CDAB EFAB，PBAB = B，平面EFG平面PAB.PA平面EFG.6.P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC面BDQ.证明：如答图9-3-2，连结AC交BD于点O.ABCD是平行四边形，AO=OC.连结OQ，则OQ在平面BDQ内，且OQ是APC的中位线，PCOQ.PC在平面BDQ外，PC平面BDQ.7.在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证：(1)E、F、B、D四点共面；（2）面AMN面EFBD.证明:(1)分别连结B1D1、ED、FB，如答图9-3-3，则由正方体性质得B1D1BD.E、F分别是D1C1和B1C1的中点，EFB1D1.EFBD.E、F、B、D对共面.（2）连结A1C1交MN于P点，交EF于点Q，连结AC交BD于点O，分别连结PA、QO.M、N为A1B1、A1D1的中点，MNEF，EF面EFBD.MN面EFBD.PQAO,四边形PAOQ为平行四边形.PAOQ.而OQ平面EFBD，PA面EFBD.且PAMN=P，PA、MN面AMN，平面AMN平面EFBD.8 ，线段GH、GD、HE交、于A、B、C、D、E、F，若GA=9，AB=12，BH=16，求。证明：ACBD AEBF 9 正方形ABCD交正方形ABEF于AB（如图所示）M、N在对角线AC、FB上且AM= FN。求证：MN /平面BCE证：过N作NP/AB交BE于P，过M作MQ/AB交BC于Q 又 MQPN 10. P为 ABCD所在平面外一点，且求证：. 证：连BF交CD于H，连PH AB/CD 在中 11三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行.已知：平面平面a，平面平面b，平面平面c.求证：a、b、c相交于同一点，或abc.证明：a，ba、ba、b相交或ab.(1)a、b相交时，不妨设abP，即Pa，Pb而a、b，aP，P，故P为和的公共点又c由公理2知Pca、b、c都经过点P，即a、b、c三线共点.(2)当ab时c且a，aac且ababc故a、b、c两两平行.12如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1EBF.求证：EF平面BB1C1C.证法一：连AF延长交BC于M，连结B1M.ADBCAFDMFB又BDB1A，B1EBFDFAEEFB1M，B1M平面BB1C1CEF平面BB1C1C.证法二：作FHAD交AB于H，连结HEADBCFHBC，BCBB1C1CFH平面BB1C1C由FHAD可得又BFB1E，BDAB1EHB1B，B1B平面BB1C1CEH平面BB1C1C，EHFHH平面FHE平面BB1C1CEF平面FHEEF平面BB1C1C说明：证法一用了证线面平行，先证线线平行.证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内.END的面积为(m+p)2平方单位.如何证明面面平行 线面平行线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。 线面平行面面平行 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 面面平行线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 线线垂直线面垂直 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 线面垂直线线平行 如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 线面垂直面面垂直 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 线面垂直线线垂直 线面垂直定义：如果一条直线a与一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面。 面面垂直线面垂直 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 三垂线定理 如果平面内的一条直线垂直于平面的血现在平面内的射影，则这条直线垂直于斜线。 面面平行训练习题精选一、选择题1设 是两个平面， 是两条直线，下列命题中，可以判断 的是（ ）A 且 B 且 C ， 且 D ， 且 2已知 是互不垂直的异面直线， 是两个平面， ， ，则下列结论中不可能成立的是（ ）A B C D 3已知直线 和平面 ，则 的一个必要但不充分条件是（ ）A B ， C ， D 及 与 成等角4给出下列四个命题：经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行；过平面外一点且平行于这个平面的所有直线，都在过该点且平行于这人平面的一个平面内；平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等，则 与 平行或相交；夹在两平行平面之间的平行线段的长相等其中正确命题的个数是（ ）A4 B3 C2 D1二、填空题5夹在两个平面间的三条平行线段相等，则这两个平面间的位置关系是_6 中， ， ，点 平面 若 平面 ，且 在平面 内的射影是等腰直角三角形，则 与平面 所成的角为_7给出下述四个命题：若直线 与平面 、平面 成相等的角，则 ；若平面 平面 ，直线 与 平面相交，则直线与 也相交；两条直线被三个平行平面所截，则所截得的对应线段成比例；若直线 直线 ， 平面 ， 平面 ，则 其中正确命题的序号是_三、解答题8如图， ， 是两个平行平面， ， ，且直线 与 是异面直线已知 ， ， ，又直线 ， 异面成 的角求异面直线 ， 所成角的大小9已知点 是 所在平面外一点，点 ， ， 分别是 ， ， 的重心，求证：平面 平面 10已知 ， 是平面 内的两条平行直线， 和 的距离是 直线 是平面 外的一条直线，且 并与 的距离是 ，若 与平面 的距离是 ，求 与 的距离 参考答案：一、选择题：1D 2C 3D 4A二、填空题：5平行或相交 6 7、三、解答题：8 9略证：设 分别是边 的中点，则 ， 且 ，从而得 ， 面 ；同理 平面 10 或 定义平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角（这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面). 编辑本段二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 平面角是直角的二面角叫做直二面角。 两个平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 编辑本段二面角的大小范围0 既然是空间立体图形，那么可以将180360的另一边看成0180。 编辑本段二面角的求法作二面角的平面角的常用方法有六种： 1.定义法 2.垂面法 3.射影定理 4.三垂线定理 5.向量法 6.转化法 二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。有时也经常做两条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中。 由公式S射影=S斜面cos，作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得 也可以用解析几何的办法，把两平面的法向量n1,n2的坐标求出来。然后根据n1n2=n1n2cos，=为两平面的夹角。这里需要注意的是如果两个法向量都是垂直平面，指向两平面内，所求两平面的夹角=- 二面角的通常求法： （1）由定义作出二面角的平面角； （2）作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角； （3）利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角； （4）空间坐标求二面角的大小。 其中，（1）、（2）点主要是根据定义来找二面角的平面角，再利用三角形的正、余弦定理解三角形。 求二面角大小的基本步骤 （1）作出二面角的平面角： A：利用等腰(含等边)三角形底边的中点作平面角； B：利用面的垂线（三垂线定理或其逆定理）作平面角； C：利用与棱垂直的直线，通过作棱的垂面作平面角； D：利用无棱二面角的两条平行线作平面角。 （2）证明该角为平面角； （3）归纳到三角形求角。 另外，也可以利用空间向量求出。 利用空间向量：（设二面角平面角为A） 1）先建立直角坐标系，求出个点坐标； 2）设面S1的法向量为N(X1，Y1，Z1)，面S2法向量为M(X2，Y2，Z2)； 3）在S1内找两条线L1，L2，让NL1=0，NL2=0求出N的坐标，M也是如此求出； 4）然后利用cosA=NM/|N|M|即可求出A的值 编辑本段二面角与平面角的关系二面角的大小就用它的“平面角”来度量。二面角的平面角大小数值就等于二面角的大小。 编辑本段二面角的找法1、定义法。在棱上取一点，然后再两个平面内分别作棱的垂线。有时也可以在两个平面内分别作棱的垂线，再过其中的一个垂足作另一条垂线的平行线。 2、垂面法。作与棱垂直的平面，两条交线的夹角即为所求。 3、三垂线1. 如图, 已知在三棱柱中，三个侧棱都是矩形，点为的中点 ， () 求证;() 求证;() 求异面直线与所成角的余弦值定理及其逆定理法。先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角。2如图，已知正方形ABCD和正方形ABEF所在平面成600的二面角，求直线BD与平面ABEF所成角的正弦值。AFEBDCABCDA1D1C1B13如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求：（1）面A1ABB1与面ABCD所成角的大小；（2）二面角C1BDC的正切值（3）二面角4.过正方形ABCD的顶点A作，设PA=AB=a，(1)求二面角的大小;(2)求二面角C-PD-A5. 如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形